2017 PM Aula01 Dinâmica dos eixos

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Aula 1 – Dinâmica dos eixos 
09/08/2017 
Curso: Engenharia Mecânica 
Série: 10º Semestre 
PROJETOS MECÂNICOS 
Aula 1 – Dinâmica dos eixos 
Quarta 19:00 às 20:40 
 
Aula 1 – Dinâmica dos eixos 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Introdução 
Três tipos de efeitos dinâmicos: 
Vibração lateral 
Na vibração lateral, estudamos 
as variações das amplitudes d1, 
d2 e d3 com a abordagem de que 
estas estão contidas no plano do 
desenho ao lado. 
Consideram-se a rigidez do eixo 
ao deslocamento vertical e os 
valores das massa m1, m2 e m3. 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Introdução 
Três tipos de efeitos dinâmicos: 
Rodopio 
No rodopio do eixo, a 
abordagem é de que a 
excentricidade do sistema causa 
a deflexão do eixo (ou amplitude 
do rodopio A), a qual varia com a 
velocidade de rotação do eixo. 
Pontos: 
C = Centro do eixo; 
CG = Centro de 
gravidade do disco. 
CG 
A 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Introdução 
Três tipos de efeitos dinâmicos: 
Vibração torcional 
Neste caso, estudam-se os movimentos 
angulares do disco na figura ao lado, 
considerando-se a rigidez torcional do eixo 
(kt) e o momento de inércia de massa do 
disco (Im). 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibrações mecânicas [9] 
Vibração livre não amortecida 
No sistema com um grau de 
liberdade, temos que o tempo 
necessário para que o 
sistema complete um ciclo de 
movimento, tn, é 
numericamente igual a: 
com 
wn = frequência natural de 
vibração do sistema 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibrações mecânicas [9] 
EP EP 
EC 
EP 
EC 
EP = Energia potencial; 
EC = Energia cinética. 
Na vibração de sistemas mecânicos, temos que a energia no sistema 
alterna-se entre energia cinética e energia potencial 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibrações mecânicas [9] 
Na vibração amortecida, o amortecimento retira energia do 
sistema, causando redução de amplitude do movimento ao 
longo do tempo. 
Vibração livre amortecida 
0mx cx kx  
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibrações mecânicas [9] 
Quando a frequência do carregamento atuante coincide com a frequência natural do eixo, (razão de 
frequências = 1) temos o fenômeno da ressonância, caracterizado pela amplificação dos 
deslocamentos e esforços atuantes, podendo causar a falha dos componentes do sistema (eixo, 
engrenagens, mancais, entre outros). Os eixos precisam ser dimensionados para que não operem com 
rotações próximas de suas frequências naturais. 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Sistemas de unidades [2] 
Sistemas de unidades usuais 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração lateral [2] 
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[rad/s] 
[rpm] 
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Vibração lateral [1] 
Eixo contínuo 
l = comprimento [m] 
E = módulo de elasticidade 
[N/m2] 
I = momento de inércia da 
seção resistente [m4] 
m = massa [kg] 
g = aceleração da gravidade 
[m/s2] 
A = área da seção [m2] 
g = peso específico [N/m3] 
Unidades do Sistema 
Internacional: 
w1 = primeira frequência natural de vibração do 
eixo com massa distribuída. 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Eixo contínuo 
l = comprimento [m] 
E = módulo de elasticidade 
[N/m2] 
I = momento de inércia da 
seção resistente [m4] 
m = massa [kg] 
g = aceleração da gravidade 
[m/s2] 
A = área da seção [m2] 
g = peso específico [N/m3] 
Unidades do Sistema 
Internacional: 
w1 = primeira frequência natural de vibração do 
eixo com massa distribuída. 
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Exercício 1: 
Na figura abaixo, apresenta-se um eixo cilindrico em aço com diâmetro de 
25,0 mm e comprimento de 500,0 mm. Determine a velocidade crítica usando a 
equação apropriada para o eixo contínuo. 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração lateral [1] 
Eixo discretizado 
Obtenção das frequências naturais para o eixo discretizado 
Coeficientes de influência [m/N]: 
Ao aplicarmos uma 
força unitária no ponto j, 
temos o deslocamento 
observado no ponto i 
j i 
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Vibração lateral [1] 
Considerando-se um sistema com três massas: 
F1 F2 F3 
Segundo o teorema da reciprocidade de Maxwell dij = dji 
Representação gráfica dos valores de d 
1 2 3 
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Vibração lateral [1] 
Considerando-se um sistema com três massas: 
Fi = mi w
2yi 1 2 3 
y1(t) = y1 sen(wt) 
y1(t) = wy1 cos(wt) 
y1(t) = -w
2y1 sen(wt) 
Aceleração 
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Vibração lateral [1] 
Considerando-se um sistema com três massas: 
1 2 3 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração lateral [1] 
Considerando-se um sistema com três massas: 
1 2 3 
Expandindo o determinante, temos: 
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Vibração lateral [1] 
... e que depois de certo trabalho algébrico, demonstra-se que: 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração lateral [1] 
Considerando-se um sistema com três massas: 
Equação de Dunkerley Equação de Rayleigh-Ritz 
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Vibração lateral [1] 
Considerando-se um sistema com três massas: 
1 2 3 1 2 3 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Exercício 2: 
Na figura abaixo, apresentam-se duas massas, fixas a um eixo sólido, o qual é 
suportado nas duas extremidades por mancais. As massas m1 e m2 são de 32 kg 
e 14 kg, respectivamente. Determine a velocidade crítica usando a equação de 
Dunkerley e a equação de Rayleigh-Ritz. A massa do eixo pode ser 
desconsiderada neste problema. 
32 kg 
14 kg 
Equação de Dunkerley: 
Equação de Rayleigh-Ritz: 
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09/08/2017Bibliografia 
 
Bibliografia Básica 
[1] BUDYNAS, R. G.; NISBETT J. K. Elementos de Máquinas de Shigley – Projeto de 
engenharia mecánica. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
[2] JUVINALL, Robert & MARSHEK, Kurt M., Projeto de Componentes de Máquinas, Rio de 
Janeiro: Editora LTC, 2008. 
[3] NORTON, Robert L., Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada, Porto Alegre: 
Bookmann, 2013. 
 
Bibliografia Complementar 
[4] CUNHA, Lamartine. – Elementos de Máquinas – Rio de Janeiro – Editora LTC – 2009. 
[5] RESHETOV, D. N. Atlas de construção de Máquinas. São Paulo: Hemus Editora, 2005. 
[6] NIEMANN, G. Elementos de Máquinas. Ed. Edgard Blücher ,2002. (3v). 
[7] COLLINS, J. A. Projeto mecânico de elementos de máquinas. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
[8] MELCONIAN, S, Fundamentos De Elementos De Máquinas: Transmissões, Fixações E 
Amortecimento. São Paulo: Saraiva, 2014. 
[9] Rao, Sighiresu S., Vibrational Mechanics, Pearson, 2011. 
 
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