lista derivada 5

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Quinta Lista de Exercı´cios
Ca´lculo Diferencial
Prof. Flausino Lucas
Exerc´ıcio 1. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = sin(2x+ 1)
b) f(x) = ecos(x)
c) f(x) = 2x2 · sin(x2 − 2x)
d) f(x) = ln(cos(x))
e) f(x) = 2xx2−1
f) f(x) = cos(x)x
g) f(x) = tan(x) Comenta´rio:
Lembre que tan = sincos
h) f(x) = ln(x2 + 1)
Exerc´ıcio 2. A reta tangente a` curva y = 2x5 no ponto (1, 2) tem coeficiente
angular igual a:
(A) 10
(B) 20
(C) 15
(D) 12
(E) 5
Exerc´ıcio 3. Qual a equac¸a˜o da reta tangente a` func¸a˜o y = 4x3 + 3x2 + x+ 5
em x = 0 ?
(A) y = x+ 5
(B) y = 5x+ 1
(C) y = −x+ 1
(D) y = x− 5
(E) y = x− 1
Exerc´ıcio 4. Derive.
a) y = xe3x
b) y = e−x sinx
1
c) y = (cos 2x+ sin 3x)3
d) f(t) =
te2t
ln(3t+ 1)
e) y = sin(cosx)
f) g(t) =
et − e−t
et + e−t
Exerc´ıcio 5. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o deriva´vel e considere g(x) =
f(cosx). Calcule g′(pi3 ) supondo f
′( 12 ) = 4.
Exerc´ıcio 6. Seja g uma func¸a˜o deriva´vel. Verifique que
a)
[
eg(x)
]′
= eg(x)g′(x)
b) [ln g(x)]
′
=
g(x)
g′(x)
c) [cos g(x)]
′
= −g′(x) sin g(x)
d) [sin g(x)]
′
= g′(x) cos g(x)
Exerc´ıcio 7. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o deriva´vel ate´ 2a ordem e seja g dada
por g(x) = f(x2). Calcule g′′(2), supondo f ′(4) = 2 e f ′′(4) = 3.
Exerc´ıcio 8. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o deriva´vel e g uma func¸a˜o dada por
g(x) = f(e2x). Supondo f ′(1) = 2, calcule g′(0).
Exerc´ıcio 9. A func¸a˜o diferencia´vel y = f(x) e´ tal que, para todo x ∈ Df ,
xf(x) + sin f(x) = 4
Mostre que
f ′(x) = − f(x)
x+ cos f(x)
para todo x ∈ Df , com x+ cos f(x) 6= 0.
Exerc´ıcio 10. Seja y = eαx, em que α e´ uma raiz da equac¸a˜o λ2 + aλ+ b = 0,
com a e b constantes. Verifique que
d2y
dx2
+ a
dy
dx
+ by = 0.
Exerc´ıcio 11. Seja y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel num intervalo aberto I,
com 1 ∈ I. Suponha f(1) = 1 e que, para todo x em I,
f ′(x) = x+ [f(x)]3.
a) Mostre que f ′′(x) existe para todo x em I;
b) Calcule f ′′(1);
c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa
1.
2
Exerc´ıcio 12. Considere o polinoˆmio
P (x) = A0 +A1(x− x0) +A2(x− x0)2 +A3(x− x0)3,
onde A0, A1, A2, A3 e x0 sa˜o nu´meros reais fixos. Mostre que
P ′(x) = P (x0) + P ′(x0)(x− x0) + P
′′(x0)
2!
(x− x0)2 + P
′′′(x0)
3!
(x− x0)3
Exerc´ıcio 13. Considere o polinoˆmio
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3,
onde a0, a1, a2 e a3 sa˜o nu´meros reais fixos. Seja x0 um nu´mero real fixo.
a) Mostre que existem A0, A1, A2 e A3 tais que
P (x) = A0 +A1(x− x0) +A2(x− x0)2 +A3(x− x0)3
[Sugesta˜o: Fac¸a x = (x− x0) + x0]
b) Conclua que
P (x) = P (x0) + P
′(x0)(x− x0) + P
′′(x0)
2!
(x− x0)2 + P
′′′(x0)
3!
(x− x0)3 (1)
Dizemos que a equac¸a˜o acima e´ o desenvolvimento de Taylor do polinoˆmio
P (x) em poteˆncias de x− x0.
c) Determine o desenvolvimento de Taylor de P (x) = x3 +2x+3, em poteˆncias
de (x− 1).
Exerc´ıcio 14. Calcule a derivada.
a) f(x) = 5x + log3 x
b) f(x) = (2x+ 1)x
c) f(x) = xsin 3x
d) y = xx
x
e) y = (1 + x)e
−x
f) y = (4 + sin 5x)x
g) y = (x2 + 1)pi
h) y = (3 + pi)x
2
Exerc´ıcio 15. Expresse dydx em termos de x e y, em que y = f(x) e´ uma func¸a˜o
diferencia´vel dada implicitamente pela equac¸a˜o:
a) x2 − y2 = 4
b) y3 + x2y = x+ 4
c) xy2 + 2y = 3
3
d) y5 + y = x
e) x2 + 4y2 = 3
f) xy + y3 = x
g) xey + xy = 3
h) y + ln(x2 + y2) = 4
i) 5y + cos y = xy
j) 2y + sin y = x
Exerc´ıcio 16. A func¸a˜o y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o xy+3 =
2x. Mostre que x dydx = 2− y. Calcule dydx |x=2.
Exerc´ıcio 17. A func¸a˜o y = f(x), y > 0, e´ dada implicitamente por x2+4y2 =
2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f , no ponto de abscissa
1.
Exerc´ıcio 18. Suponha que y = f(x) seja uma func¸a˜o deriva´vel dada implici-
tamente pela equac¸a˜o y3 + 2xy2 + x = 4. Suponha ainda 1 ∈ Df .
a) Calcule f(1);
b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa
1.
Exerc´ıcio 19. A figura mostra uma laˆmpada localizada treˆs unidades a` direita
do eixo y e uma sombra originada pela regia˜o el´ıptica x2 + 4y2 ≤ 5. Se o ponto
(−5, 0) estiver na borda da sombra, qual a altura da laˆmpada acima do eixo x?
Exerc´ıcio 20. Determine uma reta paralela a x + y = 1 e tangente a` curva
y3 + xy + x3 = 0 em um ponto (x0, y0), com x0 < 0 e y0 < 0.
Exerc´ıcio 21. Determine uma reta que seja tangente a` elipse x2 + 2y2 = 9 e
que intercepta o eixo y no ponto de ordenada 9/4.
4
Exerc´ıcio 22. Seja y = f(x) definida e deriva´vel num intervalo contendo 1 e
suponha que f seja dada implicitamente pela equac¸a˜o y3+x2y = 130. Determine
as equac¸o˜es das retas tangente e normal ao gra´fico de f , no ponto de abscissa
1.
Exerc´ıcio 23. Determine a para que as circunfereˆncias x2+y2 = 1 e (x−a)2+
y2 = 1 se interceptem ortogonalmente.
Exerc´ıcio 24. Mostre que, para todo a, as curvas y = ax2 e x2 + 2y2 = 1 se
interceptam ortogonalmente.
Exerc´ıcio 25. Calcule a derivada de:
a) y = arcsin(x).
b) y = arccos(x).
c) y = arctan(x).
d) y = arcsec(x).
e) y = arccossec(x).
f) y = arccot(x).
Exerc´ıcio 26. Determine a derivada.
a) y = x arctanx
b) y = e3x arcsin 2x
c) y =
x arctanx
cos 2x
d) y = e−3x + ln(arctanx)
e) y =
sin 3x
arctan 4x
f) y =
e−x arctan ex
tanx
Exerc´ıcio 27. Sejam f(x) = x+ex e g, a inversa de f . Mostre que g e´ deriva´vel
e que
g′(x) =
1
1 + eg(x)
E ainda, calcule g′(1) e g′′(1).
Exerc´ıcio 28. Seja f(x) = x+lnx, para x > 0. Mostre que f admite func¸a˜o in-
versa g, que g e´ deriva´vel e que g′(x) =
g(x)
1 + g(x)
. Em seguida, calcule g(1), g′(1)
e g′′(1).
Exerc´ıcio 29. Verifique que:
a)
d
dx
[
x arctanx− 1
2
ln(1 + x2)
]
= arctanx
5
b)
d
dx
[
x3
3
arcsinx+
x2 + 2
9
√
1− x2
]
= x2 arcsinx
c)
d
dx
[(x+ 1) arctan
√
x−√x] = arctan√x
d)
d
dx
[
−1
2
arcsin
(
2− x
x
√
2
)]
=
1
x
√
x2 + 4x− 4
e)
d
dx
[√
27x2 + 6x− 1
x
− 3 arcsin
(
1− 3x
6x
)]
=
1
x2
√
27x2 + 6x− 1
f)
d
dx
[
−
√
2
3
arctan
√
2(3− x)
3(x− 2)
]
=
1
x
√
5x− 6− x2
g)
d
dx
[
1
36
x(9x2 − 2)√4− 9x2 + 2
27
arcsin
3x
2
]
= x2
√
4− 9x2
6