A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
40 pág.
Alg_Aula06 vetores

Pré-visualização | Página 1 de 2

Álgebra Linear
Autovalores e Autovetores
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 1
Prof. Carlos Alexandre Mello
cabm@cin.ufpe.br
Autovalores e Autovetores
• Dada uma transformação linear de um espaço 
vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de 
saber quê vetores seriam levados neles mesmos 
por essa transformação
• Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais 
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 2
• Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais 
que T(v) = v?
• v é chamado de vetor fixo
• Obviamente, a condição é válida para v igual ao 
vetor nulo (pela definição de transf. linear), logo, 
vamos desconsiderá-lo
Autovalores e Autovetores
• Aplicação:
�Solução de equações diferenciais
�Equações do tipo: a.x’ + bx + c = d, onde x’=dx/dy
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 3
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1:
� I:R2 → R2
� (x, y) → (x, y)
Transformação Identidade
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 4
�Neste caso, todo R2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) 
para todo (x, y)∈R2
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2:
� rX:R2 → R2
� (x, y) → (x, -y)
�Ou
Reflexão no Eixo-x
x 1 0 x→
→
rXw
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 5
�Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x é 
mantido fixo pela transformação rx. De fato:
x
y
1 0
0 -1
x
y→
rX(w)
x
0
1 0
0 -1
x
0 = Ou seja rx(x, 0) = (x, 0)
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2:
�Ainda mais, esses vetores são únicos com essa 
propriedade já que:
Reflexão no Eixo-x
x
y
1 0
0 -1
x
y
=
Cont.
⇒
x + 0y = x
0x – y = y
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 6
y0 -1 y
= ⇒
0x – y = y
⇒
x = x
y = -y y = 0⇒
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3:
�N:R2 → R2
� (x, y) → (0, 0)
Transformada nula
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 7
�Nesse caso, o único vetor fixo é N(0, 0) = (0, 0)
Autovalores e Autovetores
• Considere o seguinte problema: dada uma 
transformação linear de um espaço vetorial 
T:V→V, estamos interessados em saber quais 
vetores são levados em um múltiplo de si 
mesmos; isto é, procuramos um vetor v∈V e um 
escalar λ∈R tal que:
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 8
escalar λ∈R tal que:
�T(v) = λ.v
• Neste caso, T(v) será um vetor de mesma direção 
que v
Autovalores e Autovetores
• Como v = 0 satisfaz a equação para todo λ, 
estamos interessados em v≠0
• O escalar λ é chamado de autovalor ou valor 
característico de T
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 9
característico de T
• O vetor v é chamado de autovetor ou vetor 
característico de T
• Chamaremos de Operador Linear à 
transformação T:V→V
Autovalores e Autovetores
• Definição: Seja T:V→V um operador linear. Se 
existirem v∈V, v≠0 e λ∈R tais que Tv = λv, λ é 
um autovalor de T e v é um autovetor de T 
associado a λ
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 10
associado a λ
• Observe que λ pode ser zero enquanto v não 
pode ser o vetor nulo
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1:
�T:R2 → R2
�v → 2v
x
y
2 0 x
y→ = = 2
2x
2y
x
y
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 11
�Neste caso, 2 é um autovalor e qualquer (x, y)≠(0, 0) 
é um autovetor associado ao autovalor 2
y
2 0
0 2 y
→ = = 22y y
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: Reflexão no eixo x
� rx:R2 → R2
� (x, y) → (x, -y)
x
y
1 0
0 -1
x
y→
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 12
�Os vetores da forma são tais que:
y 0 -1 y
0
y
1 0
0 -1
0
y = = -1
0
-y
0
y
Assim, todo vetor (0,y),
y ≠ 0, é autovetor de
rx com autovalor λ=-1
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: Reflexão no eixo x
�Como vimos antes, os vetores (x, 0) são fixos por
essa transformação
• rx (x, 0) = 1.(x, 0)
�Ou seja, (x, 0) é um autovetor associado ao 
autovalor λ = 1, com x ≠ 0
Cont.
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br
autovalor λ = 1, com x ≠ 0
�Assim, existem dois autovalores para essa 
transformação com um autovetor associado a cada 
autovalor
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: Rotação de 90º em torno da origem
� rx:R2 → R2
� (x, y) → (-y, x)
x
y
0 -1
1 0
x
y→ =
-y
x
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 14
�Nenhum vetor diferente de zero é levado por T num 
múltiplo de si mesmo
�Logo, T não tem autovalores (consequentemente, 
também não tem autovetores)
y 1 0 y x
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 4:
�Seja A = 
�Então 2 2
0 1
x
yA. = =
2x + 2y
y
2 2
0 1
x
y
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 15
�e TA(x, y) = (2x + 2y, y)
�Para procurar os autovalores e autovetores de TA
resolvemos a equação TA(v) = λv
�Ou seja....
0 1 y
A. = =
yy
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 4:
� i) Se y≠0, de (2) temos λ = 1 ⇒ 2x + 2y = x ⇒ y = -½x 
⇒ autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x≠0
λx
λy= λ. = ⇒
2x + 2y
y
x
y
Cont.
2x + 2y = λx
y = λy
(1)
(2)
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 16
⇒ autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x≠0
� ii) Se y = 0 ⇒ x ≠ 0 (senão, o autovetor seria o vetor 
nulo). De (1), 2x + 0 = λx ⇒ λ = 2. Logo, o outro 
autovalor é 2 com autovetor associado (x, 0), x ≠ 0
�Assim, para essa transformação T temos autovetores 
(x,-½x), x≠0, associados ao autovalor 1 e os 
autovetores (x, 0), x ≠ 0, associados ao autovalor 2
Autovalores e Autovetores
• Teorema: Dada uma transformação T:V→V e um 
autovetor v associado ao autovalor λ, qualquer 
vetor w = ααααv (αααα ≠≠≠≠ 0) também é autovetor de T 
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 17
associado a λ
• Definição: O subespaço V
λ
= {v∈V: T(v) = λv} é 
chamado de subespaço associado ao autovalor λ
Polinômio Característico
• Exemplo: Seja
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
A = 
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 18
�Procuramos vetores v∈R3 e escalares λ∈R, tais que 
A.v = λ.v
�Observe que, se I for a matriz identidade de ordem 3, 
então a equação acima pode ser escrita na forma 
Av=(λI)v, ou ainda (A – λI)v = 0
�Explicitamente.....
Polinômio Característico
• Exemplo:
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
Cont.
—
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
x
y
z
=
0
0
0
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 19
4-λ 2 0
-1 1-λ 0
0 1 2-λ
x
y
z
=
0
0
0
⇒
Polinômio Característico
• Exemplo:
�Para solução do sistema, se o determinante da matriz 
dos coeficientes for diferente de zero, a solução única 
será x = y = z = 0 que não nos interessa (vetor nulo)
�Como estamos procurando autovetores v≠0, para 
satisfazer a condição acima precisamos ter:
Cont.
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 20
satisfazer a condição acima precisamos ter:
= 0det
4-λ 2 0
-1 1-λ 0
0 1 2-λ
Polinômio Característico
• Exemplo:
⇒ (4 – λ).(1 – λ).(2 – λ) + 2.(2 – λ) = 0
⇒ -λ3 + 7λ2 - 16λ + 12 = 0
⇒ (λ – 2)2(λ - 3) = 0
�Logo, λ = 2 e λ = 3 são soluções do polinômio 
Cont.
Polinômio Característico
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 21
característico de A e, portanto, os autovalores da 
matriz A são 2 e 3
�Conhecendo os autovalores, podemos buscar os 
autovetores resolvendo a equação Av = λv para cada 
autovalor
Polinômio Característico
• Exemplo:
�λ = 2:
Cont.
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
x
y
z
= 2
x
y
z
4x + 2y = 2x
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 22
�Logo, os autovetores são do tipo (0, 0, z) para o 
autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço 
[(0,0,1)]
4x + 2y = 2x
-x + y = 2y ⇒ x = y
y + 2z = 2z ⇒ y = 0 ⇒ x = 0
Polinômio Característico
• Exemplo:
�λ = 3:
Cont.
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
x
y
z
= 3
x
y
z
4x + 2y = 3x
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 23
�Logo, os autovetores são do tipo (-2y, y, y) para o 
autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço 
[(-2,1,1)]
4x + 2y = 3x
-x + y = 3y ⇒ x = -2y
y + 2z = 3z ⇒ y = z