19° arquivo Derivada de Inversas

Prévia do material em texto

Derivadas – Funções Inversas 
 Anteriormente, calculamos a inversa da função f (x) dada por: 
 como sendo: 
1 
 Derivando estas funções, tem-se que: 
22)(1  xxf
1
2
)( 
x
xf
2
1
1
2
)( 






x
dx
d
xf
dx
d
  222)(1  x
dx
d
xf
dx
d
recíprocas 
 Na verdade, ao refletir qualquer reta não horizontal ou não vertical 
 em torno da reta y = x, a reta obtida terá coeficiente angular inverso 
 ao coeficiente angular da reta original. 
 
OBS: Deve-se tomar cuidado para comparar os coeficientes angulares em 
 pontos correspondentes. 
Derivadas – Funções Inversas 
2 
Se b = f (a), tem-se que: 
OBS: Se y = f (x) apresenta uma tangente horizontal no ponto (a, f (a)), então 
sua inversa apresentará tangente vertical em (f (a), a)), o que significa que a 
função inversa não é derivável em (f (a), a). 
 Se o coeficiente angular de y = f (x) no ponto (a, f (a)) é : 
 então o coeficiente angular da inversa y = f -1(x) no 
 ponto (f (a), a)) é o recíproco . 
0)(e)(  afaf
)(/1 af 
))((
1
)(
1
)()(
1
1
bffaf
bf






Derivadas – Funções Inversas 
3 
 Teorema: Regra da Derivada para Funções Inversas 
f 
1f
 
 Se f apresenta um intervalo I como domínio e existe e nunca 
 
 é nula em I, então a inversa é derivável em qualquer ponto 
 
 de seu domínio. 
 
 O valor de no ponto b do domínio de é a recíproca do 
 
 valor de no ponto : 
 
 
)(xf 
)(1 xf 
)( 1 f
)(1 bfa 
)(
1
1
1
bfx
bx
dx
dfdx
df




))((
1
)()(
1
1
bff
bf




ou 
1f
f 
Derivadas – Funções Inversas 
4 
 Exemplo 1: Sendo f (x) = x3 – 2, determine a derivada da sua função 
 inversa em x = 6 = f (2) sem obter a expressão da função inversa. 
)(tfytx 
 Parametrizando funções inversas 
 Como foi visto anteriormente, pode-se representar parametricamente o 
 gráfico de qualquer função y = f (x) fazendo: 
 Para obter as equações paramétricas para a função inversa, troca-se 
 o parâmetro t por f (t) e vice-versa. Assim: 
tytfx  )(
Derivada – Função Logaritmo 
5 
 Sabe-se que a função f (x) = ex é derivável em qualquer ponto. Desta 
 forma, o teorema apresentado anteriormente (Slide 3) pode ser aplicado 
 para a derivada de sua função inversa: logaritmo natural. 
 Aplicando o teorema, tem-se que: 
))((
1
)()(
1
1
xff
xf




)(1
1
)(ln
xfe
x
dx
d


xe
x
dx
d
ln
1
)(ln 
x
x
dx
d 1
)(ln 
 Pode-se chegar ao mesmo resultado usando derivação implícita: 
Se y = lnx, pode-se dizer que ey = x. Assim: 
)()( x
dx
d
e
dx
d y 
y
y
edx
dy
dx
dy
e
1
1 
x
x
dx
d 1
)(ln 
 Função Logaritmo Natural 
Derivada – Função Logaritmo 
6 
 Exemplo 2: a. Sendo y = ln(3x), encontre dy/dx. 
 b. Sendo y = ln(5x), encontre dy/dx. 
 É importante ressaltar que se u é 
 uma função derivável de x, com u > 0: dx
du
u
u
dx
d 1
)(ln 
Sol item 
a.: 
xxdx
dy 1
)3(
3
1

Sol item 
b.: 
xxdx
dy 1
)5(
5
1

Isto ocorre para y = ln(bx), desde bx > 0. Assim: 
x
b
bx
bx
dx
d 1
)(
1
)(ln 
No caso especial em que b = -1 e x < 0 (bx > 0), tem-se que: 
x
x
dx
d 1
)(ln 
Como: 






0para
0para
xx
xx
x
x
x
dx
d 1
ln 
Derivada – Função Logaritmo 
7 
 Função Logaritmo em uma base qualquer 
)(ln
ln
1
ln
ln
log x
aa
x
xa 
 Lembrando a expressão para mudança de base: 
tem-se que: 
ax
x
dx
d
a
x
dx
d
a
ln
1
)(ln
ln
1
log 






 Exemplo 3: Calcule dy/dx, sabendo que: 









x
x
y
1
1
ln
2
1
 Generalizando a partir da Regra da Cadeia, pode-se dizer que se u é 
 uma função derivável de x, e u > 0, tem-se que: 
 
dx
du
au
u
dx
d
a
ln
1
log 
a. b. 5ln
5
23
7
log 







x
x
y
Função Exponencial 
8 
 Sendo , qual a derivada de da função a x? 
a > 0 
 Função Exponencial ax 
axax eea
x lnln 
dx
axd
e
dx
ed
dx
da ax
axx )ln()( ln
ln
 aa
dx
da x
x
ln
Se a = e: , pois ln e = 1. 
x
x
e
dx
de

 Generalizando a partir da Regra da Cadeia, pode-se dizer que se u 
 é uma função derivável de x, e a > 0, tem-se que au é uma função 
 derivável de x: 
 
dx
du
aa
dx
da u
u
ln
Derivada – Função Exponencial 
9 
Agora é possível calcular o valor deste limite L: 
1L
aLaaL
x
x lnln
0


 OBS: Quando as derivadas de funções exponenciais foram 
 mencionadas anteriormente, foi dito que o “Limite L” era igual à 
 derivada da função exponencial f (x) = a x em x = 0: 
L
h
a
f
h
h




)1(
lim)0(
0
Quando 
a = e 
 Exemplo 4: Calcule dy/dx, sabendo que: )3(sen2 xy 
Derivadas – Funções Inversas 
10 
 Exercício 1: Calcule as derivadas a seguir: 
a. 
 
 
b. 
 
 
c. 












e
e
y
1
ln
))cos(ln)(lnsen(  y
)8(log 2ln2 ty 
Derivação Logarítmica 
11 
 É uma técnica que consiste em aplicar o logaritmo natural dos dois 
 lados antes de derivar. As regras dos logaritmos são utilizadas para 
 simplificar as expressões antes da derivação. 
 Exemplo 5: Calcule dy/dx, sabendo que: 
1;
1
)3()1( 2/12



 x
x
xx
y
Voltando para a regra da potência: 
1 n
n
xn
dx
dx
tem-se que, a partir do que foi estudado até o momento, a regra pode 
ser definida para qualquer número real n e qualquer valor de x > 0. 
xnexex xnnxnn ln)ln()ln( lnln 
Derivação Logarítmica 
12 
Utilizando a regra e derivando a definição em 
relação a x: 
xnn ex lnyx
y
x
a
a
a 
1lnln
ln 11)ln()( 











 nnxxn
xnn
xn
x
nx
x
ne
dx
xnd
e
dx
ed
dx
dx n
Generalizando, tem-se, a partir da Regra da Cadeia, que se u é uma 
função derivável de x e n é qualquer número real, então un é uma função 
derivável de x: 
dx
du
un
dx
du n
n
1
 Exemplo 6: Calcule dy/dx, sabendo que y = f (x) = xx, x > 0. 
Número e 
13 
 Anteriormente, foi dito que a função exponencial natural apresenta 
 coeficiente angular unitário ao cruzar o eixo y. 
Assim, o número e é a constante que 
satisfaz a relação: 
1ln
)1(
lim
0



e
h
eh
h
 O número e pode ser calculado como o limite: 
x
x
xe /1
0
)1(lim 

Prova: 
1)1(e
1
)(ln)(Se  f
x
xfxxf
Usando a definição de derivada: 
x
fxf
h
fhf
f
xh
)1()1(
lim
)1()1(
lim)1(
00





Número e 
14 
Continuando o desenvolvimento: 
x
x
x
fxf
f
xx
)1ln()1ln(
lim
)1()1(
lim)1(
00





0 
x
xx
xx
x
f /1
00
)1ln(lim)1ln(
1
lim)1( 







Como a função ln é contínua: 
1)1(limln)1( /1
0




 

x
x
xf
Aplicando a exponenciação,tem-se que: 
ex x
x


/1
0
)1(lim
O valor de e é determinado aproximando o limite com valores muito pequenos 
de x. 
7182818284,2e
Funções Trigonométricas Inversas 
15 
 Sabe-se que a função x = sen y é derivável no intervalo - /2 < y < /2 e 
 sua derivada, a função cosseno, é positiva neste intervalo. 
 Desta forma, o Teorema da Regra da Derivada para Funções Inversas 
 nos garante que a função inversa y = arcsen x é derivável no intervalo 
 - 1 < x < 1. 
)()sen( x
dx
d
y
dx
d

ydx
dy
dx
dy
y
cos
1
1)(cos 
 Derivada da função y = arcsen u 
 Fazendo e usando derivação implícita, tem-se que: 
xy sen
Por outro lado, sabe-se que: 
2222 1sen1cos1cossen xyyyy 
Finalmente, chega-se a: 
21
1
xdx
dy


Funções Trigonométricas Inversas 
16 
 Derivada da função y = arctg u 
Generalizando, tem-se, a partir da Regra da Cadeia, que se u é uma 
função derivável de x com | u | < 1, tem-se: 
dx
du
u
u
dx
d
21
1
)arcsen(


 O arco tangente de x é o ângulo cuja tangente é x. O gráfico dessa 
 função é simétrico em relação à origem, o que significa que: 
)(arctg)(arctg xx 
xy arctg
Pode-se ainda dizer que é o número em (- /2, /2 ) 
para o qual . 
xy tg
Funções Trigonométricas Inversas 
17 
 Como a derivada da função f (x) = tg x é positiva em (- /2 < x < /2 ), 
 tem-se pelo Teorema da Regra da Derivada para Funções Inversas 
 que: 
))((
1
)()(
1
1
xff
xf




)arctg(
1
))((
1
)arctg(
1 xfxff
x
dx
d





xx
dx
d 2sec)tg( 
Lembrando que tem-se: 
)arctg(sec
1
)arctg(
2 x
x
dx
d

Como , tem-se: 
xxxx  )arctg(tgetg1sec 22
)arctg(tg1
1
)arctg(
2 x
x
dx
d

 21
1
)arctg(
x
x
dx
d


Sendo u uma função derivável de x, tem-se: 
dx
du
u
u
dx
d
21
1
)arctg(


Funções Trigonométricas Inversas 
18 
 Derivada da função y = arcsec u 
 Sendo a derivada da função secante positiva para 0 < x < /2 e 
 /2 < x < , o Teorema da Regra da Derivada para Funções Inversas 
 nos garante que a função inversa y = arcsec x é derivável. 
 
 
 Fazendo e utilizando derivação implícita, tem-se que: 
xy sec
)()sec( x
dx
d
y
dx
d

)tg)((sec
1
1)tg)((sec
yydx
dy
dx
dy
yy 
Sabe-se que: 
11sectgtg1sec 2222  xyyyy
1
1
2 

xxdx
dyAssim: 
Funções Trigonométricas Inversas 
19 
 A partir do gráfico da curva y = arcsec x, percebe-se que o coeficiente 
 angular é sempre positivo. 
 
 













1se
1
1
1se
1
1
)arcsec(
2
2
x
xx
x
xx
x
dx
d
Assim: 
 Pode-se resumir como: 
 
 
1
1
)arcsec(
2 

xx
x
dx
d
Generalizando, tem-se, a partir da Regra da Cadeia, que se u é uma 
função derivável de x com | u | > 1, tem-se: 
dx
du
uu
u
dx
d
1
1
)arcsec(
2 

Funções Trigonométricas Inversas 
20 
 Derivadas das demais funções trigonométricas inversas 
 Essas derivadas são obtidas a partir de relações de identidade e das 
 derivadas estudadas anteriormente. 
 
 
Relações de identidade 
xx
xx
xx
secarc
2
cosecarc.3
tgarc
2
cotgarc.2
senarc
2
cosarc 1.






Assim, tem-se que: 
1;
1
1
)cosecarc(
1
1
)cotgarc(
1;
1
1
)cos(arc
2
2
2








u
dx
du 
uu
u
dx
d 
dx
du 
u
u
dx
d 
u
dx
du 
u
u
dx
d 
Funções Trigonométricas Inversas 
21 
21)senarc(.3
)(cosarc.2)tgarcln( 1.
xxxy
eyxy x

 
 Exemplo 7: Calcule dy/dx para as funções abaixo: 
 Exercício1: Calcule as derivadas a seguir: 
a. b. 
)(cosarc1 2 sssy 







2
tgarc)4ln( 2
x
xxy
 Exercício2: Use derivação logarítmica para determinar dy/dx da 
 função: 
)1(  xxy
Resp: 
2
2
1
2
.
2
arctg.
s
s
ds
dy
b
x
dx
dy
a


Resp: 
)1(2
12



xx
x
dx
dy