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Apostila - Equações Diferenciais Ordinárias

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Para resolver este tipo de EDOL na˜o homogeˆnea:
1. Devemos obter a soluc¸a˜o geral yh = yh(x) da equac¸a˜o linear
homogeˆnea associada
L(y) ≡ ay′′ + by′ + cy = 0
isto e´, devemos garantir que L(yh) = 0.
2. Por algum me´todo matema´tico, obter uma soluc¸a˜o particular
yp = yp(x) para a EDO original, isto e´, L(yp) = d(x).
3. A soluc¸a˜o geral y = y(x) da EDO e´ a soma da soluc¸a˜o geral
da equac¸a˜o homogeˆnea associada, obtida em (1) com a soluc¸a˜o
particular obtida em (2), isto e´:
y(x) = yh(x) + yp(x)
Assim, garantimos que
L(y) = L(yh + yp) = L(yh) + L(yp) = d(x)
3.5 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o Homogeˆnea Associada
Para resolver uma EDOL com coeficientes constantes, devemos ob-
ter a equac¸a˜o caracterı´stica associada a` mesma, que e´ dada por:
ar2 + br + c = 0
Obter as raı´zes da equac¸a˜o caracterı´stica equivale a obter os auto-
valores do operador diferencial linear:
L = aD2 + bD + cI
Como a equac¸a˜o caracterı´stica e´ do segundo grau, ela possui exata-
mente duas raı´zes no conjunto dos nu´meros complexos.
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3.6 Me´todo de d’Alembert para obter uma outra soluc¸a˜o 23
Quando a, b, c ∈ R, existem treˆs possibilidades para obter as raı´zes:
1. Duas raı´zes reais e distintas: Se r e s sa˜o raı´zes reais e distintas
as duas autofunc¸o˜es (autovetores) associadas a estes autovalo-
res em relac¸a˜o ao operador L, formam o conjunto:
{erx, esx}
2. Duas raı´zes reais e iguais: Se r e´ um autovalor real (multipli-
cidade 2), as duas autofunc¸o˜es (autovetores) associadas a estes
autovalores em relac¸a˜o ao operador L, formam o conjunto:
{erx, xerx}
3. Duas raı´zes complexas conjugadas: Se r = a + ib e s = a − ib
sa˜o raı´zes complexas conjugadas, as autofunc¸o˜es associadas a
tais autovalores em relac¸a˜o ao operador L, formam o conjunto:
{eax cos(bx), eax sin(bx)}
Se {y1, y2} e´ um dos conjuntos citados acima, este conjunto e´ linear-
mente independente (LI) no espac¸o vetorial das func¸o˜es reais sobre
o corpo R dos nu´meros reais, assim, toda combinac¸a˜o linear destas
func¸o˜es da forma y = c1y1 + c2y2 tambe´m e´ soluc¸a˜o da EDOL:
ay′′ + by′ + cy = 0
3.6 Me´todo de d’Alembert para obter uma outra soluc¸a˜o
Seja uma EDOL homogeˆnea de segunda ordem da forma:
L(y) = a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = 0
Quando temos uma soluc¸a˜o conhecida y1 = y1(x) da EDOL dada,
o me´todo de d’Alembert, permite construir uma segunda soluc¸a˜o
y2 = y2(x) para esta EDOL de modo que o conjunto {y1, y2} das
soluc¸o˜es de L(y) = 0 seja linearmente independente (LI).
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3.6 Me´todo de d’Alembert para obter uma outra soluc¸a˜o 24
O me´todo produz uma segunda func¸a˜o y2 = y2(x) pela multiplicac¸a˜o
da soluc¸a˜o conhecida y1 = y1(x) por uma func¸a˜o desconhecida v =
v(x) que deve ser a soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o que aparece ao substi-
tuirmos y2 = y2(x) na EDOL dada, desde que L(y1) = 0, isto e´:
y2(x) = v(x)y1(x)
Na˜o apresentaremos a teoria do assunto, mas apenas o funciona-
mento do me´todo de d’Alembert, na resoluc¸a˜o de algumas EDOL.
Exemplo 1: Seja a equac¸a˜o
x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0
A func¸a˜o y1(x) = x2 e´ uma soluc¸a˜o (verifique!). Tomando
y2(x) = v(x)x
2
e derivando, obtemos
y2
′(x) = v′(x)x2 + 2xv(x)
e
y2
′′(x) = v′′(x)x2 + 4xv′(x) + 2v(x)
o que significa que
x4v′′(x) = 0
ou seja
v′′(x) = 0
Esta u´ltima EDO, tem soluc¸a˜o geral
v(x) = ax+ b
Como procuramos apenas uma func¸a˜o simples (pode ser um caso
particular) com esta propriedade, mas que na˜o seja identicamente
nula, tomamos a = 1 e b = 0 e assim
v(x) = x
A nossa segunda soluc¸a˜o sera´ y2(x) = x x2 = x3 e a soluc¸a˜o geral da
EDO dada sera´
y(x) = C1x
2 + C2x
3 = x2[C1 + C2x]
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3.6 Me´todo de d’Alembert para obter uma outra soluc¸a˜o 25
Exemplo 2: Seja a equac¸a˜o
t2y′′ + 3ty′ + y = 0
A func¸a˜o y1(t) =
1
t
e´ uma soluc¸a˜o (verifique!). Tomando
y(t) = v(t)
1
t
e derivando, obtemos
y′(t) =
1
t
v′(t)− 1
t2
v(t)
e
y′′(t) =
1
t2
[t v′′(t)− 2v′(t) + 21
t
v(t)]
Substituindo estas derivadas e a func¸a˜o y = y(t) na EDO com coefi-
cientes varia´veis obtemos:
t v′′(t) + v′(t) = 0
Tomando v′(t) = p(t), obtemos a EDOL de primeira ordem
t p′(t) + p(t) = 0
cuja soluc¸a˜o geral e´
p(t) =
K
t
Voltando a` varia´vel introduzida inicialmente, obtemos
v′(t) =
K
t
cuja soluc¸a˜o e´:
v(t) = C +D ln(t)
Voltando a` func¸a˜o tomada inicialmente, com C = 0 e D = 1:
y2(x) =
1
t
ln t
e a soluc¸a˜o geral da EDO dada sera´
y(x) =
1
t
[C1 + C2 ln t]
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3.7 Equac¸a˜o equidimensional de Euler-Cauchy 26
3.7 Equac¸a˜o equidimensional de Euler-Cauchy
Uma EDO equidimensional de Euler (Cauchy) e´ uma EDOL da forma
anx
ny(n) + an−1xn−1y(n−1) + ...+ a1xy′ + a0y = g(x)
onde n e´ um nu´mero natural que fornece a ordem da equac¸a˜o com
an 6= 0, ak ∈ R para k = 0, 1, 2, ..., n e a func¸a˜o g = g(x) e´ contı´nua
sobre um intervalo aberto real.
A equac¸a˜o de Euler e´ importante quando pesquisamos soluc¸o˜es
u = u(x, y) para a equac¸a˜o diferencial parcial (EDP) de Laplace de
segunda ordem sobre uma regia˜o circular
∂2u(x, y)
∂x2
+
∂2u(x, y)
∂y2
= 0
Estudar esta equac¸a˜o em uma regia˜o circular e´ complicado com o
uso de coordenadas retangulares (x, y), mas com uma mudanc¸a de
varia´veis para coordenadas polares (r, θ), definidas por x = r cos(θ)
e y = r sin(θ) obtemos a EDP de Laplace em coordenadas polares:
∂2u(r, θ)
∂r2
+
1
r
∂u(r, θ)
∂r
+
1
r2
∂2u(r, θ)
∂θ2
= 0
e para esta equac¸a˜o, procuraremos soluc¸o˜es da forma u = u(r, θ).
Para resolver esta u´ltima EDP, usamos o me´todo de separac¸a˜o das
varia´veis que adota u(r, θ) = R(r) T (θ) para obter uma outra equac¸a˜o
d2R(r)
dr2
T (θ) +
1
r
dR(r)
dr
T (θ) +
1
r2
R(r)
d2T (θ)
dθ2
= 0
que pode ser separada em duas partes
r2R′′(r) + rR′(r)
R(r)
≡ −T
′′(θ
T (θ)
sendo que o primeiro membro so´ conte´m a varia´vel r e o segundo
membro so´ conte´m a varia´vel θ. Ambas as expresso˜es devem coin-
cidir com uma constante λ, assim podemos escrever
r2R′′(r) + rR′(r)
R(r)
= λ =
−T ′′(θ
T (θ)
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3.7 Equac¸a˜o equidimensional de Euler-Cauchy 27
A primeira igualdade conduz a uma equac¸a˜o de Euler:
r2R′′(r) + rR′(r)− λR(r) = 0
Agora, mostraremos como resolver EDOL de Euler homogeˆneas.
Para resolver uma EDOL de Euler da forma
anx
ny(n) + an−1xn−1y(n−1) + ...+ a1xy′ + a0y = 0
devemos obter nu´meros r reais ou complexos tal que a func¸a˜o
y(x) = xr
seja soluc¸a˜o da EDOL dada. Outra forma e´ usar a mudanc¸a de
varia´vel x = et para transformar a EDOL de Euler em uma EDOL
com coeficientes constantes.
Assim, obtemos n soluc¸o˜es LI para a EDOL dada. Dessa forma
y′ = rxr−1 y′′ = r(r − 1)xr−2
e em geral
y(k) = A(r, k) xr−k
onde A(r, k) e´ o arranjo de r elementos com a taxa k, definido por:
A(r, k) = r(r − 1)(r − 2)...(r − k + 1)
Para facilitar os trabalho, tomaremos o caso geral de uma EDOL de
Euler de ordem n = 2, isto e´:
a x2 y′′ + b x y′ + c y = 0
Substituindo a func¸a˜o y(x) = xr e as suas derivadas, obtemos:
xr[ar(r − 1) + br + c] = 0
Como procuramos soluc¸o˜es LI, devemos obter valores de r que sa-
tisfazem a` equac¸a˜o indicial:
ar(r − 1) + br + c = 0
que pode ser escrita na forma
ar2 + (b− a)r + c = 0
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3.7 Equac¸a˜o equidimensional de Euler-Cauchy