l3_EqSeparaveis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES.
Aluno(a): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lista de exerc´ıcios no3: Equac¸o˜es Separa´veis.
01. Determine a soluc¸a˜o um dos PVIs a seguir na forma expl´ıcita, e determine (pelo menos aproximada-
mente) o intervalo em que a soluc¸a˜o esta´ definida. Em seguida fac¸a um esboc¸o do gra´fico da soluc¸a˜o.
(a)
dr
dθ
= r, r(0) = 2; (b)
dy
dx
=
2x
y + x2y
, y(0) = −2;
(c)
dy
dx
= xy3(1 + x2)−1/2, y(0) = 1; (d)
dy
dx
=
2x
1 + 2y
, y(2) = 0.
02. Resolva a equac¸a˜o y2(1− x2)1/2 dy = arcsen(x) dx no intervalo −1 < x < 1.
03. Sejam a, b, c e d constantes. Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸o˜es:
(a)
dy
dx
=
ax+ b
cx+ d
; (b)
dy
dx
=
ay + b
cy + d
.
04. Considere a equac¸a˜o y′ = (y − 4x)/(x− y).
(a) Mostre que esta equac¸a˜o na˜o e´ separa´vel;
(b) Considere a substituic¸a˜o de varia´veis v = y/x. Mostre que a equac¸a˜o se torna separa´vel nas varia´veis
x e v;
(c) Encontre a soluc¸a˜o da equac¸a˜o nas varia´veis x e v e em seguida escreva a soluc¸a˜o nas varia´veis x e
y.
05. Considere o PVI:
dy
dx
= α y, y(0) = y0, onde α e´ um paraˆmetro positivo e y0 uma constante
arbitra´ria.
(a) Determine a soluc¸a˜o y = φ(x) do PVI;
(b) Mostre que a soluc¸a˜o tem os seguintes comportamentos quando x→ +∞:
(i) Se y0 > 0, enta˜o lim
x→∞φ(x) =∞;
(ii) Se y0 = 0, enta˜o lim
x→∞φ(x) = 0;
(iii) Se y0 > 0, enta˜o lim
x→∞φ(x) = −∞.
(c) Numa so´ figura, fac¸a um esboc¸o de diversos gra´ficos de soluc¸o˜es (curvas integrais) para y0 = 0, para
va´rios valores de y0 > 0 e para va´rios valores de y0 < 0.
06. (Modelo de crescimento populacional). Comparando com o problema (05) modifiquemos a equac¸a˜o
diferencial pela adic¸a˜o do termo −β y2, onde β e´ um pequeno paraˆmetro, mas positivo.
(a) Usando integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais determine a soluc¸a˜o y = φ(x) do PVI
dy
dx
= α y − β y2,
y(0) = y0;
(b) Mostre agora que a soluc¸a˜o tem os seguintes comportamentos quando x→ +∞:
(i) Se y0 > 0, enta˜o lim
x→∞φ(x) =
α
β
;
(ii) Se y0 = 0, enta˜o lim
x→∞φ(x) = 0;
(iii) Se y0 < 0, enta˜o a soluc¸a˜o φ(x) se torna ilimitada a medida que x se aproxima de um certo valor
finito, dependente de y0.
(c) Numa so´ figura, fac¸a um esboc¸o de diversos gra´ficos de soluc¸o˜es (curvas integrais) para y0 = 0, para
va´rios valores de y0 > 0 e para va´rios valores de y0 < 0.
Boa Prova !
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