Prova EDL 7

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA - UAMat
DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
Período: 2013-01
ALUNO(A): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Terceira Prova
01. Determine uma matriz solução fundamental para o sistema X ′ = AX , e em seguida a
matriz exponencial da matriz A, sabendo que
A =
(
−2 1
−4 3
)
.
02. Determine a solução do seguinte PVI (sem usar fórmulas prontas).
X ′ =
(
1 −1
5 −3
)
X , X(0) =
(
1
2
)
.
03. Uma matriz real A8×8 possui um autovalor simples r1, um autovalor reptido r = r2 =
r3 = r4 = r5 = r6 de multiplicidade 5 e um par de autovalores complexos α ± iβ .
Além disto sabe-se que V 1, V 2, V 3, V 4, V 5, V 6, V 7 e V 8 são vetores do R8 LI entre
si tais que: V 1 é o único autovetor de A associado à r1; V 2 e V 3 são os dois únicos
autovetores de A associados à r2; V 4 e V 5 são dois autovetores generalizados de ordem
2 de A associados à r2; V 6 é um autovetor generalizado de ordem 3 de A associado à
r2; e V 7 + iV 8 é o autovetor de A associado à α + iβ .
Determine a fórmula da solução geral (real) do sistema X ′ = AX em termos dos
autovalores e autovetores da matriz A.
04. Considere a equação diferencial 3y′′+4y′+ y = e−t .
(a) Transforme o PVI para a equação num PVI para um sistema de equações difer-
enciais de primeira ordem.
(b) Determine a solução geral do sistema obtido no item (a).
05. Determine a solução do PVI
x′1 = x2 , x1(0) = 1 ,
x′2 =
−1
3 x1−
4
3x2 +
1
3e
−t
, x2(0) = 0 .
Boa Prova!
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