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Fundação CECIERJ AP1 Questão 1 [3,0 pontos]Determine a área da região sombreada Solução Observe que todas as funções estão em função da variável independente y. A região R dada é a união das regiões Neste caso, a representação da área é feita por duas integrais em relação à variável independente y: 1 2( ) ( ) ( )A R A R A R= + = 0 1 [ 1)]e e − ∫ 0 0 1 1/2 2 1 1 0 [ ) 1] ( 1)(y ydy dy e dy e ye e y dy − − = − − −− − +∫ ∫ ∫ Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância AP1- CÁLCULO II-2017/2 GABARITO Determine a área da região sombreada Figura 1 estão em função da variável independente y. Figura 2 dada é a união das regiões 1R e 2R mostradas na Figura 2. representação da área é feita por duas integrais em relação à variável [ 1)](y y dye e − −−∫ 2 1 0 ( 1)[ ye e y+ − −∫ 0 0 1 1/2 2 1 1 0 1 0 [ ) 1] ( 1)y ydy dy e dy e ye e y dy= − − −− − +∫ ∫ ∫∫ estão em função da variável independente y. representação da área é feita por duas integrais em relação à variável ( 1)]dy Cálculo II Gabarito da AP1 2017/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 2 3/2 3 0 1 0 1 1 01 0 ( ) [ 2 ] [ ] ) 3 3 y yy ye e y e e y−− − = − − − + − − 3/2 3 0 1 1 0( ( 1)) 1( ) [0 2 ( 1)] ( [ 1]) 3 3 e e e e e e− − − = − − + + − + − − − 1 2(1 ) ) ( 1 ) 3 3 e e e e−= − + + − + 1 1 2 2 3 3 e e e e e e− −=− + + + = − unidades de área. Questão2 [1,5 ponto]Encontre (0)f ′ dado que ( )( ) g xef x = onde 3 4 1 ( ) 2 3sen 1 , xe g x x x dx x= + + + ∈∫ R . Solução Observe que 41 x+ é contínua emR , assim 3 4 1 1 x e x dx+∫ é continua nesse intervalo, logo g é derivável, pois é a soma de funções deriváveis para todo número x∈R Logo, utilizando a fórmula de derivada de umasoma temos 3 4 1 ( ) 3cos 1 xe d g x x x dx dx ′ = + + ∫ Usando agora a 1ª forma do TFC e a regra da cadeia naúltima parcela, obtemos 3 3 4( ) 3cos 3 1 ( )x xg x x e e′ = + + Por outro lado, f é uma função derivável, pois é a composição de duas funções deriváveis emR , logo ( ) ( )( ) g xe g xf x ′′ = Calculando a derivada em 0x = , tem-se: (0) (0)(0) ge gf ′′ = . Note-se que � 3(0) 1 4 4 1 10 0 (0) 2 3sen 0 1 2 1 2 e g x dx x dx= + + + = + + =∫ ∫ ����� � 3(0) 3(0) 4 1 (0) 3cos0 3 1 ( ) 3 3 2 3(1 2)g e e′ = + + = + = + Ou seja 2 (1 2)(0) 3ef +′ = Questão 3 [1,0 ponto] Calcule 1/ 2 xe x dx∫ Solução Cálculo II Gabarito da AP1 2017/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 3 Seja 2 2 1 1 1 u du dx dx du x x x = ⇒ = − ⇒ = − . Logo 1/ 1/ 2 x u u xe e du e C e C x dx = − = − + = − +∫∫ . Questão 4 [1,5 pontos] Usando a técnica de substituição, calcule 2 2cos(3 )3 x x dx∫ . Solução Seja (2 ) (2 ) (2 )3 3 2ln3 3 2ln3 x x x duu du dx dx= ⇒ = ⇒ = .Logo 2 2 21 1cos(3 ) cos sen sen (3 ) 2ln3 2ln3 2ln3 3 x x x du u u C Cdx = + = += ∫∫ . Questão 5 [1,5 ponto]Usando a técnica de integração por partes, calcule 1 0 arctg x dx∫ . Solução Seja 2 1 arctg ; 1 u x du dx dv dx v x x = ⇒ = = ⇒ = + . � ] 1 1 1 20 0 0 1 2 arctg arctg 2 1dv u x x dx x x dx x = − +∫ ∫��� 1 2 0 1 1arctg1 ln | 1| 2 x = − + 1 ln 2 4 2 π = − - Questão 6 [1,5 ponto]Usando a técnica de potências e produtos de funções trigonométricas, calcule 4 4cotg cossecx x dx∫ . Solução 4 4 4 2 2 4 2 2cotg cossec cotg cossec cossec cotg (1 cotg ) cossecx x xx dx x xdx x xdx= = +∫ ∫ ∫ Seja 2 2cotg cossec cossecu x du x dx du x dx= ⇒ = − ⇒ − = .Logo: 4 2 2cotg (1 cotg ) cossecx x xdx+∫ 4 2 4 6( )(1 ) du u u duu u = − += − + ∫∫ 5 7 5 7cotg cotg 5 7 5 7 u u x x C C = − + + = − + + .
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