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Versão preliminar 6 de junho de 2002 Notas de Aula de Física 12. ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR.................................................... 2 ROLAMENTO....................................................................................................................... 2 O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação......................... 2 O rolamento visto como uma rotação pura ................................................................... 3 A energia cinética.......................................................................................................... 3 TORQUE ............................................................................................................................ 3 MOMENTO ANGULAR ........................................................................................................... 4 MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS............................................................. 5 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO ........................................................................... 6 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............................................................................... 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 01 .................................................................................................................................. 8 02 .................................................................................................................................. 8 07 .................................................................................................................................. 9 11 .................................................................................................................................. 9 13 ................................................................................................................................ 10 27 ................................................................................................................................ 11 32 ................................................................................................................................ 11 44 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 13 46 ................................................................................................................................ 14 49 ................................................................................................................................ 15 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 2 12. Rolamento, torque e momento angular Rolamento Considere um aro de raio R , rolan- do sem deslizar em uma superfície plana horizontal. Quando essa roda girar de um ângulo θ , o ponto de contato do aro com a superfície horizontal se deslocou uma dis- tância s , tal que; s = R θ O centro de massa do aro também deslocou-se da mesma distância. Portanto, a velocidade de deslocamento do centro de massa do aro tem a forma: wRv dt dR dt dsv CMCM =⇒== θ De maneira equivalente podemos encontrar a forma da aceleração do centro de massa do aro: αRa dt dwR dt dv a CM CM CM =⇒== R s s O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação CMvv !! = CMvv !! −= CMvv !! = CMvv !! = CMvv !! = CMvv !! 2= CMvv !! = Movimento puramente rotacional , todos os pontos da roda movem- se com a mesma velocidade angular. Movimento puramente translacional , todos os pontos da roda movem-se para a direita com a mesma velocidade. O movimento de rola- mento da roda é uma combinação dos dois mo- vimentos anteriormente descritos. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 3 O rolamento visto como uma rotação pura O rolamento pode ser entendido como uma rotação pura se observarmos que a cada instante o corpo está girando em torno de um eixo instantâneo, que passa pelo ponto de contato entre esse corpo e a superfície que o suporta. Esse eixo é per- pendicular à direção do movimento. A velocidade do centro da roda é vCM = w R e a velocidade do topo da roda é vTopo = w (2R) = 2 vCM Eixo instantâneo de rotação A energia cinética Um corpo que rola sem deslizar pode ser visto a cada instante como girando em torno de um eixo instantâneo que passa pelo ponto de contato desse corpo com a super- fície que o suporta, e esse eixo é perpendicular à direção do movimento. do corpo. Desse modo, a sua energia cinética tem a forma: 2 2 1 wIK = onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo mencionado. Observa-se esse movimento como consistindo apenas de rotação. Mas se levarmos em conta o teorema dos eixos paralelos: I = ICM + M R2 a energia terá a forma: 22 2 1 2 1 CMCM vMwIK += Desse modo, observa-se esse movimento como consistindo de uma composição rotação + translação . Torque A figura abaixo mostra uma partícula localizada pelo vetor posição r ! , sob a ação de uma força F ! . O torque exercido por essa força sobre a partícula é definido como: Fr !!! ×=τ Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 4 Convenção para simbolizar um vetor saindo perpendicular à folha. Convenção para simbolizar um vetor entrando perpendicular à folha. y F ! θ F⊥ F|| r ! x z Fr !!! ×=τ y r ! F ! θ x Momento angular O momento angular de uma partí- cula de massa m localizada pelo vetor po- sição r ! , que tem momento linear p ! é definido como: prL !!! ×= Existe uma conexão entre o mo- mento angular de uma partícula e o torque associado à força resultante que atua sobre ela. Vamos considerar a variação do mo- mento angular no tempo: ( )pr dt d dt Ld !! ! ×= dt pdrp dt rd dt Ld ! !! !! ×+×= z prL !!! ×= y r ! p ! θ Mas == =×=×=× teresulForçaF dt pd vvmpvp dt rd tan 0 !! !!!!! ! Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 5 logo: τ ! ! !! " =⇒×= dt LdFr dt Ld Rotação Translação Equivalência prL !!! ×= →→→→ p ! Fr !!! ×=τ →→→→ F ! dt Ld ! ! =τ →→→→ dt pdF !! = Momento angular de um sistema de partículas Quando estamos considerando um sistema de N partículas, o momento angular total é dado por: ∑ = =+++= N i iN LLLLL 1 21 !! # !!! De modo equivalente à análise do caso de apenas uma partícula, vamos
