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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais Primeira Avaliac¸a˜o de Ca´lculo IV Professor Vitor Luiz de Almeida LEIA ATENTAMENTE AS INFORMAC¸O˜ES FORNECIDAS ABAIXO ANTES DE INICIAR A RESOLUC¸A˜O DA PROVA: • A resoluc¸a˜o de cada questa˜o deve ser apresentada no espac¸o destinado a ela. Se necessa´rio, utilize o verso da folha; • Na˜o e´ permitido o uso de qualquer aparelho eletroˆnico, incluindo, dentre esses, celulares, smartphones, tablets, calculadoras e notebooks. • Na˜o e´ permitida a consulta a qualquer tipo de fonte bibliogra´fica (livros-textos, caderno da disciplina, listas de exerc´ıcios, etc.); • E´ vedado qualquer tipo de comunicac¸a˜o entre os alunos; • A avaliac¸a˜o e´ INDIVIDUAL e SEM CONSULTA; • Ao aluno que descumprir as regras citadas anteriormente sera´ atribu´ıda NOTA ZERO nesta avaliac¸a˜o; • A durac¸a˜o dessa avaliac¸a˜o e´ de 01 hora e 40 minutos; • A avaliac¸a˜o conte´m 4 questo˜es discursivas, cada uma delas no valor de 10, 0 pontos, totalizando 40,0 pontos; • E´ obrigato´ria a apresentac¸a˜o de racioc´ınio em TODAS AS QUESTO˜ES; • Todos os ca´lculos devem ser apresentados de forma clara e organizada; • Na˜o omita nenhum ca´lculo; • Respostas sem justificativas sera˜o anuladas; • Respostas finais a` tinta; Nome: Boa Prova! INTEGRAIS DUPLAS Considere a seguinte integral iterada ∫ 2 0 ∫ √2y−y2 0 √ x2 + y2 dx dy (a) (5,0 pontos) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e expresse-a no sistema de coordenadas polares. (b) (5,0 pontos) Calcule o valor da integral iterada. Resoluc¸a˜o: 2 APLICAC¸O˜ES DE INTEGRAIS DUPLAS (a) (5,0 pontos) Um estado deseja criar um novo munic´ıpio em uma regia˜o limitada D ⊂ R2. Estudos revelam que a densidade populacional no ponto (x, y) ∈ D e´ dada por ρ = ρ(x, y), em que ρ : D −→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua e na˜o-negativa. Explique, de forma detalhada e usando somas de Riemann, como o estado pode calcular o nu´mero total de habitantes dessa regia˜o. (b) (5,0 pontos) Suponha que a regia˜o D e´ a regia˜o plana limitada pelas curvas y = √ x, x = 0 e y = 9. Sabe-se que a densidade populacional na regia˜o e´ ρ(x, y) = ye−0,2x mil habitantes por quiloˆmetro quadrado e que, devido a questo˜es constitucionais, o governo so´ pode criar um novo munic´ıpio se houver, no mı´nimo, 800000 habitantes na regia˜o. Nessas condic¸o˜es, a exigeˆncia e´ cumprida? Resoluc¸a˜o: 3 INTEGRAIS TRIPLAS E APLICAC¸O˜ES (a) Considere a seguinte integral iterada: ∫ 1 0 ∫ √1−x2 0 ∫ 1−x 0 z dy dz dx Reescreva essa integral de duas maneiras distintas: (i) (3,0 pontos) Utilizando o sistema de coordenadas cartesianas e na ordem de integrac¸a˜o z, x e y; (ii) (3,0 pontos) Utilizando o sistema de coordenadas cil´ındricas. (b) (4,0 pontos) Calcule o volume da regia˜o so´lida que esta´ dentro da esfera x2 + y2 + (z − 1)2 = 1 e abaixo do cone z = √ x2 + y2. Resoluc¸a˜o: 4 TEOREMA DE MUDANC¸A DE VARIA´VEIS PARA INTEGRAIS DUPLAS Utilizando uma mudanc¸a de varia´veis apropriada, calcule ∫∫ D 3 √ x+ y dA, em que D e´ a regia˜o limitada pelas retas y = x, y = 3x, x+ y = 4. Resoluc¸a˜o: 5
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