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Capítulo 8 - Cinemática linear

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relação ao 
tempo, os conceitos relativos à velocidade também se aplicam à aceleração. 
Assim, aceleração pode ser representada como uma inclinação indicando a 
relação entre velocidade e tempo. Sobre um gráfico velocidade-tempo, o 
declive e direção da inclinação indicam se a aceleração é positiva, negativa ou 
zero. Além disso, a aceleração instantânea pode ser definida como um modelo 
que faz analogia com a velocidade instantânea. A aceleração instantânea pode 
ser definida como a inclinação de uma linha tangente com um gráfico 
velocidade-tempo ou como um limite: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
limite a x=dv x sobre dt - para aceleração horizontal 
dt -> 0 
limite a y = dv y sobre dt - para aceleração vertical 
dt - > 0 
 
 O termo dv refere-se a uma mudança na velocidade. A aceleração 
horizontal é o limite de vx à medida que dt aproxima-se de zero e a aceleração 
vertical é o limite de vy à medida que dt aproxima-se de zero. 
 O método da primeira diferença central também é usado para calcular a 
aceleração em muitos estudos biomecânicos. O uso desse método significa 
que a aceleração calculada associa-se com um tempo no movimento onde uma 
velocidade calculada e um ponto digitalizado estão também associados. A 
fórmula da primeira diferença central para cálculo de aceleração é análoga à do 
cálculo de velocidade: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a xi=VX i+1 - VX i-1 sobre 2 Δ delta t - para o componente horizontal 
a yi=Vy i+1 - Vy i-1 sobre 2 Δ delta t - para o componente vertical 
 
 
 Por exemplo, para calcular a aceleração no quadro 7, devem ser usados 
os valores de velocidade nos quadros 8 e 6, e duas vezes o intervalo de tempo 
entre quadros individuais. 
 
Exemplo Numérico 
 Os dados de velocidade previamente calculados a partir dos dados na 
TABELA 8-1 representando os dados da posição vertical (y) de um objeto 
serão usados para ilustrar o método da primeira diferença central em cálculos 
de aceleração. A TABELA 8-2 apresenta o tempo em cada quadro, a posição 
vertical, a velocidade vertical e a aceleração vertical calculada para cada 
quadro. 
 Para calcular a aceleração no tempo do quadro 4, a conta é a seguinte: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a y4 = v5-v3 sobre t5-t3 
=-2,10 m /s -3,59 m /s sobre 0,0668s -0,0334s 
= -170,36 m /s ao quadrado 
 
 Como outro exemplo, para calcular a aceleração no tempo do quadro 8 a 
conta é a seguinte: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma fórmula, cujo conteúdo é o 
seguinte: 
a y8 = v9 - v7 sobre t9 -t7 
=1,20 m /s -13,77 m /s sobre 0,1336s -0,1002s 
= 448,20 m /s ao quadrado 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a TABELA 8-2, constituída por 5 colunas 
e por 12 linhas, a mostrar o Cálculo da aceleração a partir de um grupo de 
dados velocidade-tempo. 
Quadro Tempo (s) Posição Vertical 
(y) (m) 
Velocidade 
(v y) (m /s) 
Aceleração (a y) (m /s 
ao quadrado) 
1 0,0000 0,00 0,00 0,0000 
2 0,0167 0,15 6,59 107,49 
3 0,0334 0,22 3,59 -125,45 
4 0,0501 0,27 2,40 -170,36 
5 0,0688 0,30 -2,10 -340,72 
6 0,0835 0,20 -8,98 -349,40 
7 0,1002 0,00 -13,77 0,00 
8 0,1169 -0,26 -8,98 448,20 
9 0,1336 -0,30 1,20 537,72 
10 0,1503 -0,22 8,98 -35,93 
11 0,1670 0,00 0,00 0,00 
 
[345] 
 
 A FIGURA 8-19 é um gráfico dos perfis de velocidade e aceleração do 
movimento completo. Observe que na medida em que a velocidade aumenta 
rapidamente, a inclinação da curva de aceleração toma-se mais acentuada, e à 
medida que a velocidade muda menos rapidamente, a inclinação fica menos 
acentuada. 
Exemplo Gráfico 
 Previamente, foi colocada em gráfico uma estimativa da forma da relação 
entre posição e velocidade usando os conceitos de inclinação e vértices. É 
também possível colocar em um gráfico a estimativa da forma de uma curva de 
aceleração baseada na forma do perfil velocidade-tempo. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-19, a mostrar o perfil 
velocidade-tempo (A) e perfil aceleração-tempo (B) para a TABELA 8-2. 
 
 
[346] 
 
Novamente são usados os dois conceitos de inclinação e vértice, dessa vez 
sobre um gráfico velocidade-tempo. A FIGURA 8-20A representa a velocidade 
horizontal dos dados apresentados previamente na FIGURA 8-18. Os vértices 
da curva de velocidade nos quais a curva muda de direção são indicados como 
V1 e V2. Nesses pontos a aceleração é zero. Construindo a curva de 
aceleração na mesma linha de tempo que a curva de velocidade, a ocorrência 
desses vértices a partir da linha de tempo da curva de velocidade pode ser 
projetada para a linha de tempo de aceleração. 
 As inclinações de cada seção da curva velocidade-tempo são 1) até V1, 
negativa: 2) de V1 para V2, positiva; e 3) além de V2, negativa. A curva de 
velocidade até V1, tem uma inclinação negativa, mas a curva atinge o vértice 
em V1. A curva de aceleração correspondente dessa seção (FIGURA 8-20B) é 
negativa, mas torna-se zero no vértice V1. Entre V1 e V2 a curva de velocidade 
tem uma inclinação positiva. A curva de aceleração entre esses pontos no 
tempo iniciará com um valor zero no tempo correspondente a V1, tornando-se 
mais positiva e eventualmente retornando para zero no tempo correspondente 
a V2. A mesma lógica pode ser usada para descrever a construção do restante 
da curva de aceleração. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se a FIGURA 8-20, a mostrar uma 
ilustração gráfica da relação entre uma curva velocidade-tempo e uma curva 
aceleração-tempo usando os conceitos de vértices e inclinações. 
 
Aceleração e Direção do Movimento 
 Um fator que complica a compreensão do significado de aceleração 
relaciona-se com a direção do movimento de um objeto. O termo "acelerado" é 
geralmente usado para indicar um aumento na velocidade e o termo 
"desacelerado" para descrever uma diminuição de velocidade. Esses termos 
são satisfatórios quando o objeto que está sendo considerado está se movendo 
na mesma direção continuamente. Mesmo que a velocidade e, desse modo, a 
aceleração mudem, a direção na qual o objeto está seguindo pode não mudar. 
Por exemplo, um corredor em uma corrida de 100m larga a partir do repouso 
ou de uma velocidade zero. Quando a corrida inicia, o corredor aumenta a 
velocidade até o ponto de 70m da corrida, assim mudando sua velocidade para 
algum valor bem maior que no repouso e sua aceleração sendo positiva. Após 
a marca de 70m, sua velocidade pode não mudar por certo período da corrida, 
resultando em aceleração zero. Após o corredor cruzar a linha de chegada, ele 
reduz sua velocidade, resultando em aceleração negativa. Eventualmente, o 
corredor vai para o repouso, ponto no qual sua velocidade iguala-se a zero. 
Durante a corrida, o corredor moveu-se na mesma direção, mas teve 
acelerações positivas, zero e negativas. Assim observa-se que a aceleração 
pode ser considerada como independente da direção do movimento. 
 Considere um atleta completando uma corrida de ida e volta (shuttle run), 
que consiste em correr 10m afastando-se da posição inicial e, em seguida, 
correr 10m de volta para a posição inicial. As duas seções dessa corrida estão 
ilustradas na FIGURA 8-21. A primeira seção de 10m da corrida pode ser 
considerada uma corrida em direção positiva. O corredor, correndo em direção 
positiva, aumenta sua velocidade e, então, na medida em que se aproxima do 
ponto de retorno, precisa diminuir sua velocidade positiva. Assim o corredor 
apresenta uma aceleração positiva seguida por uma aceleração negativa. No 
ponto de retorno, o corredor, agora correndo em direção negativa, aumenta sua 
velocidade negativa. Na medida em que se aproxima da linha de chegada, 
precisa diminuir sua velocidade negativa de modo a ter uma aceleração 
positiva. Assim,