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MAT 003 Prova 3 - Turmas TX e TY 10/06/2014
(Q1) (25 pontos) Calcule o volume do so´lido B = {(x, y, z) 2 R3 | z �px2 + y2, x2+y2+z2  1}.
(Q2) (25 pontos) Calcule a integral de linha
R
� dx + dy + dz, onde � e´ a intersec¸a˜o entre as
superf´ıcies y = x2 e z = 2 � x2 � y2, com x � 0, y � 0 e z � 0, sendo o sentido de percurso
do ponto (1, 1, 0) para o ponto (0, 0, 2).
(Q3) (25 pontos) Sejam � a superf´ıcie x2 + y2 + z2 = 9 e ~F o campo vetorial dado por
~F (x, y, z) = ( y2+sen(z
3) ) ~i+ ( y + cos(x2 sen(x4)) ) ~j + (2z + sen(3y4)xe
3
) ~k
a) Calcule div(~F ).
b) Calcule o fluxo de ~F atrave´s da superf´ıcie �.
(Q4) (25 pontos) Sejam �1 : x2 + y2 + z2 = 2, com z � 0 e �2 : x2 + y2 + z = 2 com z � 0
duas superf´ıcies. Considere ~n1 e ~n2 os vetores normais que apontam para fora de �1 e �2,
respectivamente. Utilizando seus conhecimentos em ca´lculo vetorial, justifique a igualdadeZZ
�1
rot(~F ) · ~n1 dS =
ZZ
�2
rot(~F ) · ~n2 dS.
Formula´rio:
⇧
I
�
P dx+Q dy =
ZZ
D
✓
@Q
@x
� @P
@y
◆
dxdy
⇧
ZZ
�
�!
F ·�!n dS =
ZZZ
B
div(
�!
F ) dxdydz
⇧
ZZ
�
rot(
�!
F ) ·�!n dS =
Z
�
�!
F · d�!r
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!