AP3 PC 2015.2 Gabarito

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AP 03 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 3 
Pré-Cálculo 
_________________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [3,5 pontos]: 
(a) [0,8] Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟐. Fatore 𝑝(𝑥), isto é, escreva 𝑝(𝑥) como produto de 
fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes 
reais). Justifique sua fatoração. Apresente as contas que o levou a fatoração apresentada. Sem isso, a 
questão não será considerada. 
(b) [0,6] Analise o sinal do polinômio 𝑝(𝑥) do item (a). Faça essa análise usando o polinômio fatorado! 
Lembre que analisar o sinal de 𝑝(𝑥) significa encontrar os valores de 𝑥 onde 𝑝(𝑥) = 0, onde 𝑝(𝑥) > 0 e 
onde 𝑝(𝑥) < 0 . 
(c) [0,8] Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥), a função de domínio real, crescente no intervalo (−∞,−1] , crescente no intervalo 
[6, +∞ ) e cujo gráfico é dado ao lado. 
Analise o sinal da função 𝑓(𝑥) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) [1,3] Considere a função 𝑔(𝑥) =
(𝒙𝟑−𝟑𝒙−𝟐) √𝒙+𝟓
𝑓(𝑥)
 Encontre o domínio da função 𝑔 . 
Responda na forma de união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos (intervalos 
disjuntos não têm nenhum ponto em comum). 
Encontre os valores de 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , para os quais 𝑔(𝑥) > 0. Justifique! Para isso use as análises de 
sinal feitas nos itens (b) e (c). 
RESOLUÇÃO: 
(a) Seja 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟐 . Vamos buscar inicialmente as possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) , que estão 
entre os divisores do termo independente −2 . As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são: ±1 , ±2 . 
Testando as possíveis raízes: 
𝑝(−1) = (−1)3 − 3(−1) − 2 = −1 + 3 − 2 = 0 , logo 𝑥 = −1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1. Usando Briot-Ruffini: 
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Portanto, 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 − 2). 
Procurando as raízes do trinômio de 2º grau 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 : 
𝑥 = 
1±√(−1)2−4.1.(−2) 
2.1
 = 
1±√ 1+8 
2.1
= 
1±√9 
2
=
1±3
2
 ⟹ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 2. 
Assim, 𝑥2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) . 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = (𝑥 + 1)2(𝑥 − 2). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(b) Para analisar o sinal de 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 = (𝑥 + 1)2(𝑥 − 2) , vamos fazer uma tabela de sinais: 
 
 (−∞,−1) −1 (−1, 2) 2 (2, +∞) 
(𝑥 + 1)2 + + + 0 + + + + ++ + + 
𝑥 − 2 − − − − − − − 0 ++ + + 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 − − − 0 − − − 0 ++ + + 
 
Portanto, temos : 
 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 2 
 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2 
 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 < −1 𝑜𝑢 − 1 < 𝑥 < 2 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(c) Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥), a função de domínio real, crescente no intervalo (−∞,−1] , crescente no intervalo 
[6, +∞ ) e cujo gráfico é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 0 −3 −2 
−1 1 −1 + 0 = −1 +1 − 3 = −2 2 − 2 = 0 
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Analisando o gráfico, vemos que: 
 𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −2 , 𝑥 = 0 , 𝑥 = 2 
 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ −2 < 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 2 
 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −2 ou 0 < 𝑥 < 2 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(d) Domínio da função 𝑔(𝑥) =
(𝒙𝟑−𝟑𝒙−𝟐) √𝒙+𝟓
𝑓(𝑥)
 : 
Para que a função 𝑔(𝑥) =
(𝒙𝟑−𝟑𝒙−𝟐) √𝒙+𝟓
𝑓(𝑥)
 possa ser calculada é preciso que: 
 o radicando 𝒙 + 𝟓 seja positivo ou nulo e 
 o denominador 𝒇(𝒙) não se anule. 
Temos que, 
 𝒙 + 𝟓 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −5 e 
 𝑓(𝑥) ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −2 , 𝑥 ≠ 0 , 𝑥 ≠ 2 
Concluímos que, 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [−5 ,−2) ∪ (−2 , 0) ∪ (0 , 2) ∪ (2 , +∞) . 
Vamos analisar o sinal de 𝑔(𝑥) =
(𝒙𝟑−𝟑𝒙−𝟐) √𝒙+𝟓
𝑓(𝑥)
 , e para isso vamos fazer uma tabela de sinais usando 
informações obtidas nos itens (b) e (c) : 
 
Assim, os valores de 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , para os quais 𝑔(𝑥) > 0 são: 
(−5 , −2) ∪ (0 , 2) ∪ (2 , +∞) 
 
 
 −5 (−5,−2) −2 (−2,−1) −1 (−1, 0) 0 (0,2) 2 (2, +∞) 
𝑥3 − 3𝑥 − 2 − − − − − − − 0 − − − − − 0 ++ 
√𝑥 + 5 0 ++ + +++ + +++ + ++ + ++ 
𝑓(𝑥) − − − 0 +++ + +++ 0 − − 0 ++ 
(𝑥3 − 3𝑥 − 2) √𝑥 + 5
𝑓(𝑥)
 0 ++ 𝑛 𝑑 − − − 0 − − 𝑛 𝑑 ++ 𝑛 𝑑 ++ 
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2ª. Questão: [3,5 pontos] 
(a) [1,0] Resolva a equação 𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3 = 0. 
Para isso, faça a substituição 𝑢 = 𝑒𝑥, resolva a equação na variável 𝑢 e depois na variável 𝑥. 
(b) [0,5] Encontre o domínio da função ℎ(𝑥) = − ln(𝑥 + 4). Justifique! 
(c) [2,0] Esboce o gráfico das funções: 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 e 𝑔(𝑥) = − ln 𝑥. Justifique a construção do 
gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥). 
Esboce, no mesmo par de eixos, o gráfico da função ℎ(𝑥) = − ln(𝑥 + 4) e da reta de equação 
𝑥 = −4. Justifique a construção do gráfico de 𝑦 = ℎ(𝑥). 
Em cada gráfico identifique os pontos em que o gráfico corta ou toca os eixos coordenados, sempre que 
esses pontos existirem. Justifique! 
 
RESOLUÇÃO: 
 
(a) 𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 3 = 0 
Fazendo a substituição de variável: 𝑢 = 𝑒𝑥. 
Como na equação aparece 𝑒2𝑥 e sabendo que 𝑒2𝑥 = (𝑒𝑥)2, temos que 𝑒2𝑥 = 𝑢2. 
Equação na variável 𝑢: 𝑢2 − 2𝑢 − 3 = 0. 
𝑢2 − 2𝑢 − 3 = 0 ⟺ 𝑢 =
2±√4−4∙1∙(−3)
2
= 
2±√16
2
 = 
2±4
2
 
Soluções na variável 𝑢: 𝑢 =
6
2
= 3 ou 𝑢 =
−2
2
= −1 
A solução 𝑢 = 3 corresponde a 𝑒𝑥 = 3. Resolvendo na variável 𝑥: 
𝑒𝑥 = 3 ⟺ ln 𝑒𝑥 = ln3 ⟺ 𝑥 = ln 3. 
A solução 𝑢 = −1 corresponde a 𝑒𝑥 = −1. Essa equação não tem solução para 𝑥 ∈ ℝ porque 
𝑒𝑥 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ, que é uma das propriedades da função exponencial. 
Portanto a única solução da equação é 𝑥 = ln 3 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(b) ℎ(𝑥) = − ln(𝑥 + 4) 
A única restrição é que 𝑥 + 4 > 0 , pois só é possível calcular logaritmo de números positivos. 
Resolvendo essa inequação: 𝑥 + 4 > 0 ⟺ 𝑥 > −4. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > −4} ou 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (−4,∞). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(c) 
 
 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
 
→ 
 
 
 
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𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
→ 
 
 
 
Para a função 𝑦 = ℎ(𝑥) = − ln(𝑥 + 4) 
Interseção com eixo 𝑦: em 𝑥 = 0 𝑦 = ℎ(0) = − ln(4) 
Interseção com eixo 𝑥: em 𝑦 = 0 − ln(𝑥 + 4) = 0 ⟺ ln(𝑥 + 4) = 0 ⟺ 𝑥 + 4 = 1 ⟺ 𝑥 = −3 
 
3ª. Questão [3,0 pontos]: 
(a) [1,0] Resolva a equação 2 − 4 sen 𝑥 = 0 para 𝑥 ∈ ℝ . Marque as soluções no círculo 
trigonométrico. 
(b) [1,0] Resolva a inequação 2 − 4 sen 𝑥 ≥ 0 para 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
Para isso, você pode usar as soluções da equação associada encontradas noitem (a), marcadas no 
círculo trigonométrico. 
(c) [1,0] Determine o domínio da função 𝑓(𝑥) = arccos(4 − 𝑥) e resolva a equação arccos(4 − 𝑥) =
2𝜋
3
. 
RESOLUÇÃO: 
(a) 2 − 4 sen 𝑥 = 0 ⟺ 4 sen 𝑥 = 2 ⟺ sen 𝑥 =
1
2
. 
As soluções da equação sen𝑥 =
1
2
 na primeira volta do círculo 
trigonométrico são: 
𝑥 =
𝜋
6
 ou 𝑥 = 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
. 
Para 𝑥 ∈ ℝ, as soluções são: 
𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
A representação das soluções no círculo trigonométrico está ao lado: 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(b) 2 − 4 sen 𝑥 ≥ 0 ⟺ 4 sen𝑥 ≤ 2 ⟺ sen 𝑥 ≤
1
2
 
No eixo vertical do círculo trigonométrico estão marcados os valores 
de sen𝑥 ≤
1
2
 . 
Os ângulos 𝑥 ∈ [0,2𝜋] correspondentes a esses valores de sen 𝑥 , são 
0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
6
 ou 
5𝜋
6
≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. 
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(c) Seja 𝑓(𝑥) = arccos(4 − 𝑥) 
Como o domínio da função 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 é o intervalo [−1, 1], temos a restrição 
4 − 𝑥 ∈ [−1, 1] , ou seja, −1 ≤ 4 − 𝑥 ≤ 1. Resolvendo essa inequação: 
−1 ≤ 4 − 𝑥 ≤ 1 ⟺ −1 − 4 ≤ 4 − 𝑥 − 4 ≤ 1 − 4 ⟺ −5 ≤ −𝑥 ≤ −3 ⟺ 5 ≥ 𝑥 ≥ 3. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [3 , 5]. 
arccos(4 − 𝑥) =
2𝜋
3
 ⟺ cos(arccos(4 − 𝑥)) = cos (
2𝜋
3
) ⟺ 4 − 𝑥 = −
1
2
 ⟺ 𝑥 = 4 +
1
2
=
9
2
. 
Portanto a única solução da equação é 𝑥 =
9
2
 .