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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
INSTITUTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
EXAME DE MAT 002 - CA´LCULO II - 2014/I - PROF. ARTUR FASSONI - 15/07/2014
Nome: Matrı´cula: Turma T1
Atenc¸a˜o:
A prova conteˆm 6 questo˜es. Resolva-as em ordem, utilizando uma pa´gina de almac¸o por questa˜o.
Questo˜es fora da pa´gina correta ou ocupando mais de uma pa´gina sera˜o desconsideradas.
Apresente a resoluc¸a˜o de forma clara e concisa, omitindo ca´lculos intermedia´rios.
As duas u´ltimas pa´ginas de almac¸o podem ser utilizadas para rascunho.
Coloque nome e matrı´cula nas folhas. Esta folha de questo˜es tambe´m deve ser entregue.
Boa Prova!
1. Determine se cada se´rie abaixo e´ convergente ou divergente.
(a) (5 pontos)
∞
∑
n=1
5
n2 +3n
(b) (5 pontos)
∞
∑
n=1
n2 +n
n4 +n2
(c) (5 pontos)
∞
∑
n=2
1
n(lnn)2
(d) (5 pontos)
∞
∑
n=2
(−1)n n
2
n2 +n
2. (a) (8 pontos) Expresse a integral indefinida
∫ x
1+8x3
dx como uma se´rie de poteˆncias e encontre o
intervalo de convergeˆncia desta se´rie.
(b) (7 pontos) Utilize o resultado obtido em (a) para expressar o valor da integral definida
∫ 0,2
0
x
1+8x3
dx
como uma se´rie alternada. Em seguida, estime o erro cometido quando aproximamos a integral pela
soma das 4 primeiras parcelas da se´rie.
3. (a) (7 pontos) Aproxime a func¸a˜o f (x) = lnx pelo seu polinoˆmio de Taylor de grau n = 3 centrado
em a = 1.
(b) (8 pontos) Utilizando a Desigualdade de Taylor, estime a precisa˜o desta aproximac¸a˜o no intervalo
0,8≤ x≤ 1,2.
Estimativas de Erros para Se´ries:
Desigualdade de Taylor:
Seja Tn(x) o polinoˆmio de Taylor de grau n de f (x), centrado em a. O erro Rn(x) = f (x)−Tn(x), cometido
ao aproximar f (x) por Tn(x) num intervalo I contendo a, satisfaz:
|Rn(x)| ≤ M
(n+1)!
|x−a|n+1,
onde M = max{| f (n+1)(x)| , tal quex ∈ I}.
Estimativa do Erro para Se´ries Alternadas:
Se a se´rie alternada s =∑∞n=p(−1)nbn satisfaz as hipo´teses do Teste da Se´rie Alternada, enta˜o, e´ convergente
e o erro Rn = s− sn cometido ao aproximar s por sn satisfaz |Rn| ≤ bn+1.
Enunciado para as questoˆes 4 e 5:
A profundidade de um lago e´ descrita por z = f (x,y) = 100− x2−4y2, onde as coordenadas (x,y) variam
no conjunto D = {(x,y) ∈R2;x2 +4y2 ≤ 100}, e x, y e z sa˜o medidos em metros. Um pescador esta´ em um
pequeno barco, no ponto (6,3).
4. a) (5 pontos) Se o barco comec¸ar a se mover em direc¸a˜o ao ponto (5,4), a profundidade aumenta ou
diminui? A que taxa?
b) (5 pontos) Em que direc¸a˜o ele deve se mover para a profundidade diminuir mais ra´pido? Em que
taxa a profundidade diminui nesta direc¸a˜o?
c) (10 pontos) Num mesmo desenho no plano x×y, esboce o lago, a curva de nı´vel de f (x,y) passando
pelo ponto (6,3), e as seguintes direc¸o˜es neste ponto: a direc¸a˜o de maior crescimento da profundi-
dade, a direc¸a˜o de maior decrescimento, as direc¸o˜es onde a profundidade permanece constante, e a
direc¸a˜o na qual o barco se locomove no item (a). (OBS:
√
72≈ 8.48).
5. a) (6 pontos) Utilizando a aproximac¸a˜o pelo plano tangente, encontre um valor aproximado para a
profundidade no ponto (−3.9,2.8).
b) (7 pontos) Se um outro barco esta´ se movimentando no lago, segundo a trajeto´ria
~r(t) = (t2−2, t3−1),
qual a variac¸a˜o da profundidade do lago, abaixo deste barco, quando t = 1? (Dica: Regra da Cadeia).
6. (a) (8 pontos) Encontre e classifique os pontos crı´ticos de f (x,y) = x3 +3y2x−6x2−6y2 +2.
(b) (9 pontos) Determine as dimenso˜es da caixa retangular de volume ma´ximo tal que a soma dos
comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c.
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