Equacoes Diferenciais Parciais Topico 2

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Eq. Diferenciais Parciais – Tópico 2
• Condução de calor em uma barra 
• Método de separação de variáveis
Método de separação de variáveis;
condução de calor em uma barra
� As equações diferenciais básicas de condução de calor, 
propagação de onda e teoria do potencial, que discutiremos
nestes tópicos de EDP, estão associadas com três tipos distintos
de fenômenos físicos: processos difusivos, oscilatórios, e 
processos estacionários (independentes do tempo). 
� Consequentemente, elas têm grande importância em muitos
ramos de física e da matemática. 
� As equações diferenciais parciais cuja teoria é melhor
desenvolvida e cujas as aplicações são mais importantes e 
variadas são as equações lineares de segunda ordem. 
� Todas estas equações são classificadas em três tipos:
� A equação do calor, a equação de onda, e a equação do 
potencial, são os protótipos destas categorias. 
Condução de calor em uma barra: 
hipóteses (1 de 6)
� Considere o problema de condução de calor em uma barra de 
seção reta uniforme e feita de material homogêneo. 
� Escolhemos o eixo x ao longo do eixo da barra, de forma que x
= 0 e x = L serão os extremos . Veja figura abaixo. 
� Suponha que os extremos da barra são isolados e portanto não
passa calor ao longo deles. 
� Assumiremos que a seção reta é pequena o suficiente para que
a temperatura u possa ser considerada constante em qualquer
seção reta.
� Então u é uma função somente da coordenada axial x e tempo t.
Equação de condução de calor (2 de 6)
� A variação de temperatura na barra é governada pela equação
de condução de calor, e tem a forma
onde α2 é uma constante conhecida como difusividade
térmica.
� O parâmetro α2 depende somente do material no qual a barra é
feita, e é definida por α2 = κ/ρs, onde κ é a condutividade, ρ é
a densidade, e s é o calor específico do material na barra. As 
unidades de α2 são (comprimento)2/tempo.
0,0,2 ><<= tLxuu txxα
Condução de calor: 
condições iniciais e de fronteira (3 de 6)
� Além disso, assumiremos que a distribuição inicial de 
temperatura na barra é dada por
onde f é uma função conhecida.
� Finalmente, assumiremos que os extremos da barra estão a 
uma temperatura fixa: temperatura T1 em x = 0 e T2 em x = L.
� Por questão de simplicidade, adotaremos que T1 = T2 = 0. 
� Assim, temos as seguintes condições de contorno:
Lxxfxu ≤≤= 0),()0,(
0,0),(,0),0( >== ttLutu
Problema de condução de calor (4 de 6)
� Assim, o problema fundamental da condução de calor é
determinar u(x,t) que satisfaça
� Com respeito a variável t, este é um problema de valor inicial; 
uma condição inicial é dada e a equação diferencial determina
o que acontece em seguida.
� Com respeito a variável espacial x, ele é um problema de calor
de contorno; condições de fronteira são impostas em ambas as 
extremidades da barra e a equação diferencial descreve a 
evolução da temperatura neste intervalo espacial. 
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
≤≤=
>==
><<=
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2α
Condução de calor: problemas de fronteira (5 de 6)
� Alternativamente, podemos considerar o problema como um 
problema de valor de contorno no plano xt, veja a figura
abaixo. 
� A solução u(x,t) satisfaz o problema de condução de calor na
faixa semi-infinita 0 < x < L, t > 0, sujeita a condição de que
u(x,t) deve assumir um valor dado em cada ponto da fronteira
dessa faixa.
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
≤≤=
>==
><<=
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2α
Condução de calor: 
equação linear homogênea (6 de 6)
� O problema de condução de calor
é linear uma vez que u e suas derivadas aparecem somente
uma vez em cada termo.
� A equação diferencial e as condições de fronteira são
homogêneas. 
� Isto sugere que procuremos determinar todas as soluções
possíveis da equação diferencial sujeitas as condições de 
fronteira, e em seguida superpomos as soluções para que
satisfaçam a condição inicial. 
� Descreveremos a seguir como implementar este procedimento. 
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
≤≤=
>==
><<=
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2α
Método de separação das variáveis (1 de 7)
� O objetivo é procurar soluções não triviais da equação
diferencial e das condições de contorno. 
� Começamos assumindo que a solução u(x,t) tem a forma
� Substituindo esta forma na nossa equação diferencial
obtemos
ou
)()(),( tTxXtxu =
txx uu =
2α
TXTX ′=′′2α
T
T
X
X ′=
′′
2
1
α
Equações diferenciais ordinárias (2 de 7)
� Temos
� Observe que o lado esquerdo depende somente de x e o lado
direito depende somente de t.
� Assim, para que esta equação seja válida para 0 < x < L, t > 
0, é necessário que ambos os lados desta equação sejam
iguais a mesma constante -λ. Então, 
� Assim, a equação diferencial parcial é substituida por duas
equações diferenciais ordinárias.
T
T
X
X ′=
′′
2
1
α
0
01
22 =+′
=+′′
⇒−=′=′′
TT
XX
T
T
X
X
λα
λ
λ
α
Condições de fronteira (3 de 7)
� Lembremos nosso problema original
� Substituindo u(x,t) = X(x)T(t) na condição de contorno em x = 0, 
� Uma vez que estamos interessados em soluções não triviais, 
vamos exigir que X(0) = 0 ao invés de T(t) = 0 para t > 0. 
Similarmente, X(L) = 0. 
� Portanto temos o seguinte problema de valor de contorno
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
≤≤=
>==
><<=
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2α
0)()0(),0( == tTXtu
0)()0(,0 ===+′′ LXXXX λ
Autovalores e autofunções (4 de 7)
� Assim,
� Do tópico anterior, sabemos que as únicas soluções não triviais
deste problema de valor de contorno são as autofunções
associados com os autovalores
� Com estes valores para λ, a solução da equação de primeira
ordem
é
0)()0(,0 ===+′′ LXXXX λ
( ) K,3,2,1,/sin)( == nLxnxX n pi
K,3,2,1,/ 222 == nLnn piλ
02 =+′ TT λα
constante. ,
2)/(
n
tLn
nn kekT
piα−
=
Soluções fundamentais (5 de 7)
� Assim, as soluções fundamentais tem a forma
onde estamos suprimindo as constantes de proporcionalidade. 
� As funções un são chamadas de soluções fundamentais do 
problema da condução de calor. 
� Destas soluções, ficará apenas aquelas que satisfazem a 
condição inicial
� Assim, o problema de valor inicial será resolvido fazendo a 
combinação linear das soluções fundamentais e então
ajustando os coeficientes para que as condições iniciais sejam
satisfeitas.
� Lembre que temos infinitas soluções fundamentais.
( ) ,,3,2,1,/sin),( 2)/( K== − nLxnetxu tLnn pipiα
Lxxfxu ≤≤= 0),()0,(
Coeficientes de Fourier (6 de 7)
� As soluções fundamentais são
� Lembrando das condições iniciais
� Portanto, assumimos que
onde os cn são escolhidos para que as condições iniciais sejam
satisfeitas por
� Assim, escolheremos os coeficientes cn para obter a série de 
Fourier em senos.
( ) ,,3,2,1,/sin),( 2)/( K== − nLxnetxu tLnn pipiα
Lxxfxun ≤≤= 0),()0,(
( )∑∑ ∞
=
−
∞
=
==
1
)/(
1
/sin),(),( 2
n
tLn
n
n
nn Lxnectxuctxu pi
piα
( )∑∞
=
==
1
/sin)()0,(
n
n Lxncxfxu pi
Solução (7 de 7)
� Portanto, a solução para o problema de condução de calor
é dado por
onde
( )∑∞
=
−
=
1
)/( /sin),( 2
n
tLn
n Lxnectxu pi
piα
( )∫= Ln dxLxnxfLc 0 /sin)(2 pi
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
≤≤=
>==
><<=
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2α
Exemplo 1: problema de condução de calor (1 de 6)
� Vamos determinar a temperatura u(x,t) em qualquer tempo em
um bastão de metal de 50 cm de comprimento, com as pontas
isoladas, na qual a temperatura inicial de 20° C é
uniformemente distribuida em toda a parte interna e cujas as 
extremidades são mantidas a 0° C para todo t > 0. 
� Este problema de condução de calor tem a forma
500,20)0,(
0,0),50(,0),0(
0,500,2<<=
>==
><<=
xxu
ttutu
txuu txxα
Exemplo 1: solução (2 de 6)
� A solução para o problema proposto é
onde
� Assim,
( )∑∞
=
−
=
1
)50/( 50/sin),( 2
n
tn
n xnectxu pi
piα
( ) ( )
( ) ( ) 
=−==
==
∫
∫∫
par,0
í,/80
cos14050/sin
5
4
50/sin20
50
2/sin)(2
50
0
50
00
n
mparnn
n
n
dxxn
dxxndxLxnxf
L
c
L
n
pi
pi
pi
pi
pipi
( )∑∞
=
−
=
1
)50/( 50/sin180),( 2
n
tn xne
n
txu pi
pi
piα
Exemplo 1: Convergência rápida (3 de 6)
� Assim, a temperatura ao longo do bastão é dado por
� A exponencial negativa em cada termo faz com que a série
convirja rapidamente, excetuando-se os casos de pequenos
valores de t ou α2. 
� Portanto, resultados precisos podem ser alcançados usando
apenas alguns poucos termos da série. 
� Para fazermos uma análise quantitativa, é necessário escolher
um valor para α2. Escolhendo α2 = 1 em unidades de cm2/seg 
temos então o tempo t medido em segundos. 
( )∑∞
=
−
=
1
)50/( 50/sin180),( 2
n
tn xne
n
txu pi
pi
piα
Exemplo 1: gráficos de temperatura (4 de 6)
� O gráfico para a distribuição de temperatura para vários
tempos é mostrado abaixo a esquerda. 
� Observe que a temperatura diminui constantemente a medida
que a barra perde calor pelas extremidades. 
� O modo pelo qual a temperatura diminui em um dado ponto é
mostrado no gráfico a direita, onde a temperatura é graficada
versus o tempo para alguns pontos específicos.
Exemplo 1: gráfico de u(x,t) (5 de 6)
� Um gráfico tridimensional de u versus x e t é dada abaixo. 
� Observe que obtivemos os gráficos anteriores pela intersecção
da superfície abaixo com os planos na qual t ou x é constante. 
� A pequena ondulação no gráfico abaixo para t = 0 resulta do 
uso de um número finito de termos da série para u(x,t) e da
fraca convergência da série para t = 0.
Exemplo 1: 
temperatura de 1° C em todo bastão (6 de 6)
� Relembrando a solução para o problema de condução de calor
proposto:
� Suponha que queiramos determinar o tempo τ na qual todo o 
bastão esteja mais frio que 1° C. 
� Devido a simetria da distribuição de temperatura inicial e sas
condições iniciais, o ponto mais quente da barra é sempre o 
ponto central. 
� Assim,τ é obtido resolvendo-se u(25,t) = 1 para t. 
� Usando apenas o primeiro termo da série de Fourier, obtemos
( )∑∞
=
−
=
1
)50/( 50/sin180),( 2
n
tn
xne
n
txu pi
pi
pi
( ) sec 820/80ln25002 ≅= pipiτ