Estruturas Algebricas

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Disciplina 
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Coordenador da Disciplina 
Prof. José Valter Lopes NunesProf. José Valter Lopes NunesProf. José Valter Lopes NunesProf. José Valter Lopes Nunes 
 
 
1ª Edição
 
Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, 
transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores. 
 
Créditos desta disciplina 
 
Coordenação 
Coordenador UAB 
Prof. Mauro Pequeno 
Coordenador Adjunto UAB 
Prof. Henrique Pequeno 
Coordenador do Curso 
Prof. Marcos Ferreira de Melo 
Coordenador de Tutoria 
Prof. Celso Antônio Silva Barbosa 
Coordenador da Disciplina 
Prof. José Valter Lopes Nunes 
 
Conteúdo 
Autor da Disciplina 
Prof. José Othon Dantas Lopes 
 
Setor TecnologiasDigitais - STD 
Coordenador do Setor 
Prof. Henrique Sergio Lima Pequeno 
 
Centro de Produção I - (Material Didático) 
Gerente: Nídia Maria Barone 
Subgerente: Paulo André Lima / José André Loureiro 
Transição Didática 
 Dayse Martins Pereira 
 Elen Cristina S. Bezerra 
 Enoe Cristina Amorim 
 Fátima Silva e Souza 
 Hellen Paula Pereira 
 José Adriano de Oliveira 
 Karla Colares 
Viviane Sá de lima 
 
Formatação 
Camilo Cavalcante 
Elilia Rocha 
Emerson Mendes Oliveira 
Francisco Ribeiro 
Givanildo Pereira 
Sued de Deus 
 
Programação 
Andrei Bosco 
Damis Iuri Garcia 
 
Publicação 
João Ciro Saraiva 
Design, Impressão e 3D 
André Lima Vieira 
Eduardo Ferreira 
Iranilson Pereira 
Luiz Fernando Soares 
Marllon Lima 
 
 
 
Gerentes 
Audiovisual: Andréa Pinheiro 
Desenvolvimento: Wellington Wagner Sarmento 
Suporte: Paulo de Tarso Cavalcante 
 
 
 
 
 
 
SumárioSumárioSumárioSumário 
 
Aula 01: Relações de equivalência e Operações Binárias ...................................................................... 01 
 Tópico 01: Relações de equivalência ..................................................................................................... 01 
 Tópico 02: Operações Binárias .............................................................................................................. 04 
 
Aula 02: Os Inteiros .................................................................................................................................. 06 
 Tópico 01: Indução e o Algoritmo da Divisão ....................................................................................... 06 
 Tópico 02: A Aritmética dos Inteiros: Divisibilidade, Números Primos e o Teorema da Aritmética ... 10 
 
Aula 03: Grupos ........................................................................................................................................ 14 
 Tópico 01: Teoria Básica dos Grupos .................................................................................................... 14 
 Tópico 02: Subgrupos, Grupos Cíclicos e Grupos Quociente ............................................................... 19 
 Tópico 02: Homomorfismo de Grupos .................................................................................................. 25 
 
Aula 04: Anéis ........................................................................................................................................... 28 
 Tópico 01: Anéis .................................................................................................................................... 28 
 Tópico 02: Subanéis, Ideais e Anel quociente ....................................................................................... 31 
 Tópico 02: Homorfismo de Anéis, Domínio de Integridade Domínio de Fatoração Única .................. 35 
 
Aula 05: Corpos ......................................................................................................................................... 40 
 Tópico 01: Teoria Básica dos corpos. Subcorpos .................................................................................. 40 
 Tópico 02: Corpo de Frações e Homomorfismo de Corpo .................................................................... 42 
 
Aula 06: Polinômio .................................................................................................................................... 45 
 Tópico 01: Polinômios sobre um anel. Polinômios sobre um corpo. Algorítmo da Divisão ................. 45 
 Tópico 02: MDC, Fatoração e Critérios de irredutibilidade .................................................................. 47 
 
 
 
 
TÓPICO 01: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
MULTIMÍDIA
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Obs.: Alguns recursos de multimídia utilizados em nossas aulas, 
como vídeos legendados e animações, requerem a instalação da versão 
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mais recente do programa Adobe Flash Player, clique aqui! [1]
PALAVRAS DO COORDENADOR DA DISCIPLINA
VERSÃO TEXTUAL
Olá! Seja vindo a disciplina Álgebra Abstrata. Meu nome é José 
Valter, sou professor do departamento de Matemática da Universidade 
Federal do Ceará e responsável por esta disciplina. Nosso objetivo aqui 
é desenvolver o raciocínio e a habilidade no trato com certas questões 
fundamentais em matemática a partir do estudo das estruturas 
algébricas. Começaremos com relação de equivalência em seguida 
mostraremos como as operações usuais nos conjuntos dos números 
inteiros nos dão uma estrutura. Estudaremos grupos, anéis, corpos e 
finalmente veremos o anel dos polinômios. 
Você que já tem a experiência dos semestres anteriores sabe que 
para garantir o sucesso é importante o estudo diário com a tentativa de 
resolver os exercícios propostos no texto. È fundamental que você leve 
suas duvidas ao fórum, lá você encontrará os seus colegas e o 
professor-tutor para discutir e ajuda-lo a esclarecer dúvidas. Quero 
chamar atenção sobre sua participação no fórum e a entrega das 
tarefas, no portfólio. Além de serem parte na avaliação elas também 
contam presença. 
Finalmente que ressaltar que nossos tutores e eu estaremos 
sempre ao seu dispor para lhe ajudar a alcançar o seu objetivo. Bom 
trabalho! 
Considere dois conjuntos não vazios A e B. Uma relação de A em B é 
uma correspondência qualquer entre elementos de A e elementos de B. 
Como a correspondência é qualquer pode ocorrer que um elemento de A não 
se relacione com nenhum elemento de B. Pode ocorrer também que um 
elemento de A se relacione com um ou mais elementos de B. Se uma relação 
de A em B for representada pela letra R representamos o fato de um 
elemento a A estar relacionado com um elemento b A por aRb ou 
simplesmente por (a,b) R. Esta última notação sugere uma identificação da 
relação R com um subconjunto não vazio do produto cartesiano AxB. Muitos 
autores preferem definir uma relação de A em B como sendo um 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 01: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E OPERAÇÕES BINÁRIAS
1
subconjunto não vazio do produto cartesiano AxB. Uma relação de A em A é 
chamada simplesmente de relação em A. Muitas vezes, ao invés de letras, 
usamos símbolos, como por exemplo “~”, para representar uma relação.
Estudaremos um tipo de relação especial em um conjunto não vazio A 
chamada de relação de equivalência em A.
Definição
Dado um conjunto não vazio A e uma relação R em A, dizemos que R é 
uma relação de equivalência se satisfaz às seguintes propriedades:
1) xRx, x A
2) xRy yRx 
3) xRy e yRz xRz
A propriedade (1) é chamada de propriedade reflexiva.
A propriedade (2) é chamada de propriedade simétrica.
Apropriedade (3) é chamada de propriedade transitiva.
O conjunto Cx = {y A; yRx} é chamado de classe de equivalência de x. 
Temos então Cx A para todo x A.
A partir da propriedade reflexiva temos x Cx para todo x A e, portanto 
Cx para todo x A.
Como Cx A e x Cx para todo x A, temos = A
Definição
O conjunto das classes de equivalência determinadas pela relação de 
equivalência R em A é chamado de conjunto quociente de A por R e é 
denotado por A/R. Assim A/R = {Cx; x A}
TEOREMA 1
A, temos: ou Cx
= Cy , ou Cx Cy = .
A tem-se: ou xRy, ou x não está 
relacionado com y.
i)Se xRy, vamos mostrar que Cx = Cy
Se z Cx temos zRx. Como xRy, tem-se, pela propriedade 
transitiva, que zRy e daí z Cy. Logo Cx Cy. (*)
2
Por outro lado, se Se z Cy temos zRy. Como xRy, tem-se, pela 
propriedade simétrica, que yRx e daí, pela propriedade transitiva, 
temos que zRx e então z Cx. Logo Cy Cx. (**). De (*) e (**), temos Cx
= Cy
i) Se x e y não estão relacionados
Suponha que Cx Cy e seja z Cx Cy
Então z Cx e z Cy. Mas z Cx zRx xRz e z Cy zRy
Temos então xRz e zRy. Daí, pela propriedade transitiva, xRy, isto 
é , x e y estão relacionados, o que contradiz a nossa hipótese. Logo Cx
 Cy = .
OLHANDO DE PERTO
O conjunto quociente A/R é portanto um subconjunto do conjuntos 
das partes do conjunto A, cuja união de seus elementos é igual ao conjunto 
A e cuja interseção de dois elementos distintos é vazia. Qualquer 
subconjunto do conjunto das partes de um conjunto que tenha estas 
propriedades é chamado de partição de A. Assim uma relação de 
equivalência em A determina uma partição do conjunto A.
EXERCITANDO
Mostre que toda partição de um conjunto não vazio A determina uma 
relação de equivalência em A e conclua que podemos identificar as 
relações de equivalência em A com as partições de A.
EXEMPLO
Seja A={2,3,4,5,6,7,8}. Defina em A a relação R por aRb se a-b é 
um inteiro par. Mostre que R é uma relação de equivalência em A e 
encontre A/R
De fato temos:
1) xRx, x A pois x-x=0, que é um inteiro par
2) xRy x-y par y-x par yRx 
3) xRy e yRz x-y par e y-x par (x-y)+(y-z)=x-z par xRz.
Temos C2=C4=C6=C8= {2,4,6,8} e C3=C5=C7 ={3,5,7}. Daí 
A/R={{2,4,6,8},{3,5,7}}
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/products/flashplayer/
3
TÓPICO 02: OPERAÇÕES BINÁRIAS
Dado um conjunto não vazio A, uma operação binária em A é uma 
função do produto cartesiano A x A em A. Se denotarmos essa função por “•”, 
denotaremos a imagem do par (a,b) por a • b.
As operações binárias constituem a base do estudo das estruturas 
algébricas. Nas aulas seguintes estudaremos as estruturas de grupos, 
monóides, semi-grupos, anéis e corpos.
Exemplos de operações binárias são as operações usuais de adição e 
multiplicação no conjunto dos números inteiros.
PROPRIEDADES
COMUTATIVIDADE
ASSOCIATIVIDADE
DISTRIBUTIVIDADE
ELEMENTO NEUTRO
ELEMENTO INVERSO
COMUTATIVIDADE
Dizemos que uma operação em um conjunto A é comutativa se a•b= b•a, 
quaisquer que sejam a e b pertencentes ao conjunto A.
Exemplo
Se “.” e “+” são as operações de adição e multiplicação usuais de 
números inteiros sabemos que a+b=b+a e a.b=b.a, quaisquer que sejam os 
inteiros a e b. Portanto “.” e “+” são operações comutativas no conjunto Z, 
dos números inteiros.
ASSOCIATIVIDADE:
Dizemos que uma operação em um conjunto A é associativa se (a•b) •c= 
a•(b•c), quaisquer que sejam a,b e c pertencentes ao conjunto A.
Exemplo
Se “.” e “+” são as operações de adição e multiplicação usuais de 
números inteiros sabemos que (a+b)+c=a+(b+c) e (a.b).c=a.(b.c), quaisquer 
que sejam os inteiros a,b e c. Portanto “.” e “+” são operações associativas no 
conjunto Z, dos números inteiros.
DISTRIBUTIVIDADE
Se “•” e “◦” são duas operações em um conjunto A, dizemos que a 
operação “◦” é distributiva em relação à operação “•” se a◦(b•c)=(a◦b) • (a◦c) e 
(b•c)◦a =(b◦a) • (c◦a), quaisquer que seja a,b e c pertencentes ao conjunto A.
Exemplo
Se “.” e “+” são as operações de adição e multiplicação usuais de 
números inteiros sabemos que a.(b+c)=a.b+a.c e (b+c).a=b.a+c.a, quaisquer 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 01: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E OPERAÇÕES BINÁRIAS
4
que sejam os inteiros a,b e c. Portanto a operação “.” é distributiva em 
relação a operação “+”.
ELEMENTO NEUTRO
Seja “•” uma operação em um conjunto A. Se existe um elemento e 
pertencente ao conjunto A, tal que e•x=x•e=x para todo x pertencente ao 
conjunto A, este elemento e é chamado de elemento neutro de A, com relação 
à operação “•”
Observe que o elemento neutro, quando existe, é único. De fato, se e e e’ 
são elementos neutros de uma operação “•” em um conjunto A temos 
respectivamente e•e’=e’ e e•e’=e. Daí e=e’.
Exemplo
Se “.” e “+” são as operações de adição e multiplicação usuais de 
números inteiros temos 1.x=x.1=x e 0+x=x+0=x para todo número inteiro x. 
Assim 1 é o elemento neutro de Z com relação à operação “.” e 0 é o elemento 
neutro de Z com relação à operação “+”.
ELEMENTO INVERSO
Seja “•” uma operação em um conjunto A, para a qual existe o elemento 
neutro “e”.
Dado um elemento a, pertencente ao conjunto A, dizemos que a é 
invertível com relação à operação “•” se existir a’ pertencente ao conjunto A, 
tal que a•a’=a’•a=e. Neste caso o elemento a’ é chamado de inverso do 
elemento a, com relação á operação “•”.
Exemplo
Com relação à operação produto usual nos inteiros os únicos elementos 
invertíveis são 1 e -1.
EXERCITANDO
Mostre que se a é um elemento invertível então seu inverso é único.
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 1, com os colegas ou com o professor tutor, 
as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 1. Lembre que 
sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Poste no Portfólio da Aula 1, a solução do exercitando do Tópico 1, no 
Texto, e dos exercícios 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 e 10 da lista de exercícios da aula 1 
que se encontra no material de apoio e que você pode obter no link Aula 1 
(Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. José Valter Lopes Nunes
5
TÓPICO 01: INDUÇÃO E O ALGORITMO DA DIVISÃO
Não faremos aqui a construção axiomática dos conjuntos numéricos 
N={1,2,3, ...} , Z={ 0, 1, 2, 3, ... } e Q={m/n; m,n Z e n≠0}, R e C 
respectivamente dos números naturais, inteiros, racionais, reais e 
complexos.
Admitiremos conhecidas as propriedades elementares destes conjuntos 
e das operações usuais de adição e multiplicação definidas nos mesmos. 
Dentre as propriedades elementares das operações adição e multiplicação 
destacamos, dentre outras, a associatividade, a comutatividade, a 
distributividade da multiplicação em relação à adição e a existência de 
elementos neutros. Destacamos também, e admitiremos, as propriedades 
relativas à ordem natural existente nestes conjuntos.
Além disso, a seguinte propriedade dos inteiros será considerada como 
axioma e será chamado de Axioma da boa ordem. Todos os outros 
resultados serão demonstrados a partir deste axioma e das propriedades 
elementares das operações de adição e multiplicação. 
Axioma da Boa Ordem:
Todo conjunto não vazio de inteiros positivos possui um menor 
elemento.
Usando o axioma da boa ordem provaremos o princípio da indução.
1º Princípio da Indução
Seja T um subconjunto do conjunto dos números naturais com as 
seguintes propriedades:
i. 1 T
ii. Se n T então n+1 T.
Então T= N
DEMONSTRAÇÃO
Suponha que Logo o conjunto N-T é um subconjunto não 
vazio dos inteiros positivos e, portanto, pelo axioma da boa ordem, 
N-T possui um menor elemento t. Temos t>1,pois daí . Por 
outro lado, como t é o menor elemento de N-T, t-1 não pertence a N-T 
daí . Por (ii) , o que é um absurdo. 
Logo T=N.
EXEMPLO
Mostre que 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 02: OS INTEIROS
6
Seja então T conjunto dos elementos de N para os quais a 
igualdade é verdadeira. Vamos mostrar que T=N
Como temos 
Se então e dai 
o que implica 
Portanto, pelo 1º princípio da indução, T=N.
EXERCITANDO 1
Mostre que se considerarmos, ao invés dos números naturais, o 
subconjunto dos inteiros S={k, k+1, k+2, ...} e T um subconjunto de S tal 
que k T e ( n T ⇒ n+1 T ), então T=S. Isso mostra que o 1º princípio 
da indução pode ser generalizado.
2º Princípio da Indução:
Seja T um subconjunto do conjunto dos números inteiros não negativos 
com as seguintes propriedades:
i. 1 T
ii. Se 1,2,...,n pertencem a T então n+1 T
Então T= N
Demonstração: exercício (análoga ao 1º princípio).
EXERCITANDO 2
Mostre que o 2º princípio da indução também pode ser generalizado. 
Mais precisamente, mostre que, se considerarmos, ao invés dos números 
naturais, o subconjunto dos inteiros S={k, k+1, k+2, ...} e T um 
subconjunto de S tal que k T e ( k, k+1,...,n T ⇒ n+1 T ), então T=S. 
O 2º princípio da indução é apenas uma variante do 1º princípio. Na 
verdade os dois princípios são equivalentes e podemos chamá-los 
simplesmente de Princípio da Indução. As propriedades (i) e (ii) são 
chamadas de hipóteses de indução.Na maioria das situações aplicamos o 1º 
princípio, porém, em certas ocasiões, precisamos aplicar o 2º princípio e 
portanto devemos nos familiarizar com as duas versões. Na verdade a 
aplicação do 2º princípio será necessária quando para mostrarmos que k+1 
T necessitamos não somente do fato de k T, mas que elementos 
precedentes também pertençam a T.
Como aplicação do 2º princípio de indução provaremos o algoritmo da 
divisão.
Teorema 1 (algoritmo da divisão)
7
Sejam m e n inteiros não negativos e m>0. Então existem inteiros não 
negativos q e r, unicamente determinados tais que n=qm+r e 0 ≤ r < m. 
DEMONSTRAÇÃO
Se n=0 tomamos q=r=0 então o resultado vale.
Suponhamos que n>0. Usaremos indução sobre n.
Suponha n=1, se m=1 temos 1 = 1.1+0 e então q=1 e r=0. Se m>1, 
temos 1=0.1+1 e então q=0 e r=1< m
Suponha que o resultado seja válido para 1,2,...,n. Vamos mostrar 
que o resultado vale para n+1. Se n+ 1< m temos 
n+1=0.m+(m+(n+1) e então q=0 e r=n+1< m. Se temos 
 e daí o resultado vale para n+1-m e assim 
com . Daí temos . Tomando 
temos n+1=qm+r com , 
que é o que queríamos demonstrar. Observe que tivemos que usar o 
segundo princípio pois usamos a 
validade do resultado não para n mais sim para n+1-m, o qual é menor 
que n+1 e portanto menor ou igual a n.
Mostraremos agora a unicidade. Suponha que 
.
Temos então
De (I), (II) e (III) temos o que não pode ocorrer pois 
 é inteiro e m>o. Logo 
Como temos Como m>o temos 
Corolário: Sejam m e n inteiros não negativos e m>0. Existe um 
único múltiplo qm de m tal que qm≤n<(q+1)m
DEMONSTRAÇÃO
De fato, do algoritmo da divisão, temos não negativos q e r, 
unicamente determinados tais que n=qm+r e 0 ≤ r< m. Neste caso 
temos qm≤ qm+r < qm + m = q (m+1) e assim qm ≤ n <(q+1) m. A 
unicidade de qm decorre da unicidade de q.
EXERCITANDO 3
Generalize o algoritmo da divisão. Mais precisamente, mostre que se 
m e n inteiros e m≠0 então existem inteiros q e r, unicamente 
determinados tais que n=qm+r e 0≤r<|m|. A partir daí generalize o 
corolário. Mais precisamente, mostre que, se m e n inteiros e m≠0 então 
existe um único múltiplo qm de m tal que qm≤n<(q+1)m. A generalização 
deste corolário é o resultado conhecido como Teorema de Eudoxios e 
8
costuma ser atribuído a Arquimedes e chamado de Princípio de 
Arquimedes.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. José Valter Lopes Nunes
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
9
TÓPICO 02: A ARITMÉTICA DOS INTEIROS: DIVISIBILIDADE, NÚMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA
ARITMÉTICA
Agora estudaremos algumas propriedades específicas dos Inteiros, as 
quais chamaremos de propriedades aritméticas.
DIVISIBILIDADE
No algoritmo da divisão, os números m, n, q e r são chamados 
respectivamente de divisor, dividendo, quociente e resto. O algoritmo da 
divisão na verdade nos garante que nos inteiros é possível efetuar a divisão 
de um número inteiro n por um inteiro não nulo m, obtendo q como 
resultado dessa divisão (o quociente) e r como resto.
OBSERVAÇÃO
Quando o resto é zero dizemos que m divide n, ou que n é divisível por 
m ou ainda, que n é múltiplo de m. 
Propriedades da divisão:
i) a\0, a\a e –a\a a Z 
ii) 1\a e -1\a aZ
iii) Se a\b então a\bx xZ. 
iv) Se a\b e a\c então a\(b+c)
v) Se a\b e b\c então a\c
vi) Se a\b e c\d então ac\bd 
vii) Se a/b e b\a então a =b
viii) Se a\(b+c) e a\b então a\c
Demonstração: Exercício 
Teorema 1: se a e b são inteiros com b≠0 e a\b então |a|≤|b|
Demonstração: Exercício 
Corolário: Se b≠0 então o conjunto dos divisores de b é finito.
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 02: OS INTEIROS
10
Demonstração: Exercício 
Definição: Dizemos que um número inteiro d é um divisor comum 
dos inteiros a e b se d\a e d\b. Dizemos que um inteiro m é um múltiplo 
comum de a e b se a\m e b\m.
O fato de o conjunto dos divisores de um inteiro não nulo ser finito nos 
garante que, dados dois inteiros a e b não ambos nulos, o conjunto dos 
divisores comuns é finito e, portanto tem um maior elemento. Este maior 
elemento é chamado de máximo divisor comum de a e b e é denotado por 
MDC(a,b) ou simplesmente (a,b). 
O menor múltiplo comum positivo de a e b é chamado de mínimo 
múltiplo comum de a e b e é denotado por MMC(a,b) ou simplesmente 
[a,b]
Definição: dizemos que dois inteiros a e b são relativamente primos 
se MDC(a,b)=1
Teorema:2 Se d é o máximo divisor comum de dois inteiros não 
ambos nulos a e b então existem inteiros m e n tais que ma+nb=d.
DEMONSTRAÇÃO
Seja B o conjunto das combinações lineares ma+nb onde m e n 
são inteiros. É claro que B contém inteiros positivos, inteiros negativos 
e também o zero. Vamos escolher m0 e n0 tais que c=m0a+n0b seja o 
menor inteiro positivo de B. Afirmamos que c\a. De fato, se c não 
divide a, pelo algoritmo da divisão, existe inteiros q e r tais que a=qc+r 
com 0 < r < c. Daí r = a – qc = a – q(m0a+n0b)=(1-qn0)a+(-qm0)b e 
portanto r B o que é uma contradição pois 0 < r < c e c é o menor 
inteiro positivo de B. Logo c\a. Analogamente mostra-se que c/b. 
Assim temos c\a e c\b o que implica cd, pois d é o máximo divisor 
comum de a e b. Por outro lado como d é um divisor comum de a e b 
temos a=k1d e b=k2d. Como c=m0a+n0b temos c=m0k1d+n0k2d e 
daí c=(m0k1+n0k2)d, o que implica que d\c e daí dc, pois c e d são 
positivos. De c≤d e d≤c tem-se c=d e daí existem inteiros m=m0 e n= 
n0 tais que ma+nb=d
Teorema 3: Se a\bc e MDC(a,b)=1 então a\c
Demonstração: exercício. 
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Teorema 4: Se a e b são inteiros tais que a = qb +r , onde q e r são 
inteiros, então
MDC(a,b)=MDC(b,r)
Demonstração: exercício 
Corolário (Algoritmo de Euclides):
Sejam r0=a e r1=b inteiros não negativos com b 0. Se o algoritmo da 
divisão for aplicado sucessivamente para obter rj = qj+1rj+1+rj+2 com 0 
rj+2<rj+1 para j=0,1,2,...,n-1 e rn+1=0 então MDC(a,b)=rn, o último resto 
não nulo.
Demonstração: exercício. 
EXEMPLO
Use o algoritmo de Euclides para encontrar 0 MDC(16,10)
Como 16=1.10+6; 10=1.6 + 4; 6= 1.4 + 2; 4= 2.1 + 0
Temos r0 = a = 16, r1=b=10 O algoritmo da divisão foi aplicado 4 
vezes. Obtivemos r2 = 6, r3 = 4, r4 = 2 e r5 = 0
Temos então MDC(16,10) = 2 = r4 , queé o último resto não nulo
NÚMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA
ARITMÉTICA
Definição: um inteiro p>1 é chamado de primo se seus únicos 
divisores positivos são 1 e p. Um número n>1 que não é primo é chamado 
de composto.
Teorema 5: Se p é um número primo e p\ab então p\a ou p\b
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
Suponha que p não divide a. Então MDC(a,p)=1 e daí, pelo 
Teorema 3, temos p\b. Logo p\a ou p\b.
Teorema 6 (Teorema Fundamental da Aritmética):
Todo número inteiro maior que 1 pode ser representado de modo 
único, a menos da ordem dos fatores, como um produto de números 
primos.
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Demonstração: exercícios 
Teorema 7: 
Se n = então o conjunto dos divisores positivos de n é o 
conjunto de todos os números da forma , 0 ≤ ci ≤ ai, i=1,2,...,r
Demonstração: exercício 
Se p1=2, p2=3, p3=5¸... ,pk= k-ésimo primo então podemos escrever todo 
inteiro positivo n na forma n = , 0 ≤ ai
Neste caso, os divisores de n serão da forma , 0 ≤ ci ≤ ai . Observe que 
todos estes produtos são finitos pois o número de fatores primos de qualquer 
inteiro é finito.
Teorema 8: 
Se dois inteiros positivos a e b possuem fatorações a = e b 
= então MDC(a,b) = onde di= mín{ai,bi} e MMC(a,b)
= onde ci= máx{ai,bi}
Demonstração: exercício. 
Corolário: MDC(a,b).MMC(a,b)=ab
Demonstração: exercício. 
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 2, com os colegas ou com o professor 
tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 2. Lembre 
que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Poste no Portfólio da Aula 2, a solução dos exercitando 1, 2 e 3 do 
Tópico 1, no Texto, e dos exercícios 1, 3, 4, 7, 8 e 9 da lista de exercícios da 
Aula 2 que se encontra no material de apoio e que você pode obter no link 
Aula 2 (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. José Valter Lopes Nunes
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
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TÓPICO 01: TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS
SEMIGRUPOS
A estrutura algébrica (G, •) é chamada de SEMIGRUPO se “•” é uma 
operação associativa, isto é, se (x •y) •z = x• (y•z) para todo x,y,z G
MONOIDE
A estrutura algébrica (G, •) é chamada de MONÓIDE se “•” for 
associativa e possuir elemento neutro, isto é, se:
i) (x•y) •z = x• (y•z) para todo x,y,z G. 
ii) Existe e G tal que e•x = x•e = x para todo x G.
GRUPO
A estrutura algébrica (G, •) é chamada de GRUPO se “•” for 
associativa, possuir elemento neutro e todo elemento de G for invertível, 
isto é, se:
i) (x•y) •z = x• (y•z) para todo x,y,z G. 
ii) Existe e G tal que e•x = x•e = x para todo x G.
iii) Para todo x G existe x’ G tal que x•x’= x’•x = e.
Se, além de (i),(ii) e (iii), tivermos x•y = y•x para todo x,y G, dizemos 
que (G,•) é um grupo comutativo ou abeliano.
Iniciaremos agora o estudo das estruturas algébricas. Uma estrutura 
algébrica é um conjunto não vazio munido de uma ou mais operações, 
satisfazendo determinadas propriedades. A estrutura algébrica constituída 
do conjunto não vazio G munido das operações •1, •2, ... , •n será denotada por 
(G, •1, •2, ... , •n )
Neste capítulo lidaremos com estruturas algébricas constituídas de 
um conjunto não vazio G munido de uma única operação. As estruturas 
mais importantes deste tipo são os SEMIGRUPOS,os MONÓIDES e os 
GRUPOS. Estudaremos mais detalhadamente a estrutura de GRUPO.
DEFINIÇÕES
Obviamente todo monóide é semigrupo e todo grupo é monóide e 
também semigrupo.
Quando trabalhamos com mais de uma estrutura algébrica é comum 
representarmos o elemento neutro de um grupo (G, •) por , para 
diferenciá-lo dos elementos neutros das demais estruturas algébricas com as 
quais estamos trabalhando. 
OBSERVAÇÃO
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 03: GRUPOS
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É comum, quando não há nenhum risco de ambigüidade, representar 
o grupo (G, •) simplesmente por G. Assim quando nos referimos ao grupo 
G ficará subentendido que estamos nos referindo ao grupo (G, •), isto é, ao 
conjunto G munido de uma operação “•”, satisfazendo aos três axiomas da 
estrutura algébrica que chamamos de grupo.
Definição
A ordem de um grupo (G, •) é o número de elementos do conjunto G. 
Denotaremos a ordem de (G, •) por |G| O grupo (G, •) é dito ser finito se o 
conjunto G for finito. Se G for um conjunto infinito o grupo (G, •) é dito ser 
infinito
EXEMPLOS
1) Considerando os conjuntos N,Z,Q,R e C respectivamente dos 
números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos e as 
operações usuais de adição ‘+’ e multiplicação ‘.’ , temos:
1. (N,+) é um semigrupo, mas não é um monóide nem tampouco 
um grupo
1. (Z,.) é um monóide mas não é um grupo
1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Q-{0},∙), (R -{0},∙) e (C-{0},∙) são 
grupos comutativos 
2) O conjunto {x R, x>0} dos reais positivos munido da 
multiplicação usual é um grupo.
3) O conjunto das matrizes mxn, com entradas inteiras, munido 
da operação adição usual de matrizes é um grupo comutativo
4) O conjunto das matrizes nxn (n>1), de determinante não nulo, 
com entradas inteiras, munido da operação multiplicação usual de 
matrizes é um grupo não comutativo
5) Dados os grupos (G1, 1), (G2, 2),..., (Gn, n). Considere o 
produto cartesiano G1xG2x...xGn munido da operação “§” definida 
componente a componente por (a1, a2,...,an) §(b1, b2,...,bn)= (a1 1 b1, 
a2 2 b2 ,..., an n bn). Então (G1xG2x...xGn, §) é um grupo, chamado 
de Produto Direto dos grupos (G1, 1), (G2, 2),..., (Gn, n). 
 (G1xG2x...xGn, §) é comutativo se e somente se (G1, 1), (G2, 2),..., 
(Gn, n) são todos comutativos. 
6) Seja A um conjunto não vazio e SA o conjunto de todas as 
funções bijetivas de A em A. Se “0” é a composição de funções então 
(SA,0)é um grupo, chamado de grupos das permutações de A. Se A 
possui n elementos então a ordem de (SA,0) é n!
EXERCITANDO
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Mostre que, se A possuir mais de um elemento, o grupo ( , ○)não é 
comutativo.
PROPRIEDADES ELEMENTARES DOS GRUPOS
1. O elemento neutro de um grupo é único: 
Demonstração:
Se e e e’ são elementos neutros de (G, •), então e = e•e’= e’
 Cada elemento de um grupo possui um único inverso. 
Demonstração:
se a’ e a’’ são inversos de a então a’ = a’•e =a’• (a•a’’)= (a’• a) • a’’ = e • a’’ = a’’
(a’)’ = a para todo aÎG 
Demonstração:
Segue-se direto da definição, isto é, do fato de a • a ’ = a’• a = e
(a • b)’= b’• a’ para todo a,b G
Demonstração:
(a•b) • (b’• a’)= a • (b • (b’ • a’))= a• ((b • b’) • a’)) = a • (e • a’) =a • a’=e. Logo 
(a • b)’= b’• a’
Analogamente (b’•a’) • (a•b)=e
Em um grupo (G, •) valem as leis do cancelamento, isto é, a • b = a • c b = 
c e b • a = c • a b = c
Demonstração: a • b = a • c a’• (a • b) = a’• (a • c) (a’ • a) • b = (a’• a) • c ) 
e • b = e • c b = c.
Analogamente mostra-se que, b • a = c • a b = c.
Para quaisquer elementos a,b G as equações a•x = b e y•a = b têm solução 
única.
Demonstração: a•x = b a’ • (a • x) = a’ • b (a’ • a) • x = a’ • b e • x = 
a’ • b x = a’ • b 
o que demonstra a existência (x = a’ • b) e unicidade da solução da equação 
a • x = b.
Analogamente mostra-se que a equação y • a = b possui uma única solução, a 
saber y = b • a’.
Definição: Seja (G, •) um grupo, a1,a2,...,an elementos de G e n um 
inteiro > 1. Definimos a1•a2•...•an indutivamente por: a1•a2•...•an = 
(a1•a2•...•an-1) •an
Se a1= a2 =...= an = a, o elemento a1•a2•...•an será denotado por a
n ou por 
na. A notação an é chamada de notação multiplicativa e a notação na é 
chamada de notação aditiva. Daremos preferência à notação multiplicativa. 
A notação aditiva será usadanos casos em que ela for mais conveniente, 
conforme veremos na sequência da teoria.
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PARADA OBRIGATÓRIA
Notação: É comum representarmos o elemento neutro “e” por “1” 
quando usamos a notação multiplicativa e por “0” quando usamos a 
notação aditiva. Da mesma forma costuma-se representar o inverso a’ do 
elemento a por “a-1” quando usamos a notação multiplicativa e por “- a” 
quando usamos a notação aditiva. Também é comum, quando 
trabalhamos com a notação multiplicativa, usarmos o símbolo “.” para 
representar a operação e quando trabalhamos com a notação aditiva 
usarmos o símbolo “+” para representar a operação. Assim, na notação 
multiplicativa, é comum usarmos a.b ou ab ao invés de a•b e, na notação 
aditiva, a+b o invés de a•b
GENERALIZAÇÃO DAS NOTAÇÕES “AN” E “NA” PARA N INTEIRO
Considerando a notação multiplicativa, já definimos an para n inteiro 
>1. Agora definimos a1=a, a0=e e an= (a-1)-n se n -1
No caso da notação aditiva, devemos ter então: 1a=a, 0a=e e na = (-n)
(-a) se n -1
Teorema 1: Sejam (G , •) um grupo no qual usamos a notação 
multiplicativa. Então, para quaisquer a, b G, e quaisquer m, n Z temos:
1. am • an = am+n , isto é, am . an = am+n
2. (an)-1 = a-n
3. (am)n = amn
4. Se G é um grupo comutativo então (a • b)n = an • bn , isto é, (a . b)n = an . 
bn
Deixamos a demonstração como exercício.
DICAS
Prove cada item, primeiramente para n N, por indução sobre n 
(considerando um valor fixo e genérico para m, quando for o caso). Em 
seguida, prove cada item para n < 0. Para isto, será necessário ainda 
provar o item 1, para m N, por indução sobre m.
Esta proposição pode ser enunciada na notação aditiva, do seguinte 
modo:
Teorema 1’: Sejam (G , •) um grupo no qual usamos a notação aditiva. 
Então, para quaisquer a; b G, e quaisquer m, n Z temos:
1. ma•na=(m+n)a , isto é, ma+na=(m+n)a
2. –(na)=(-n)a
3. m(na) = (mn)a
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4. Se G é um grupo comutativo então n(a • b) = na • nb, isto é, n(a + b) = 
na + nb
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. José Valter Lopes Nunes
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TÓPICO 02: SUBGRUPOS, GRUPOS CÍCLICOS E GRUPOS QUOCIENTE
DEFINIÇÃO: Sejam (G, •) um grupo e H um subconjunto de G. 
Dizemos que H é um subgrupo de (G, •) se:
(1) a,b H temos a • b H
(2) (H, •) é um grupo.
TEOREMA 1. Sejam (H, •) um grupo e H um subgrupo de G.
(1) Se eG e eH são os elementos neutros de (G, •) e (H, •), 
respectivamente,então eG = eH.
(2) Para cada x H, sejam x’e x’’ os elementos inversos de x em G e em 
H,respectivamente. Então x’ = x’’
DEMONSTRAÇÃO
(1) Temos eG • eH = eG e eH •eH = eH. Daí eG • eH = eH •eH e , 
pela lei do cancelamento, eG = eH .
(2) Temos x • x’ = eG e x • x’’=eH. Como eG = eH temos x • x’ = 
x • x’’ e , pela lei do cancelamento, x’ = x’’
TEOREMA 2. Sejam (G, •) um grupo e H um subconjunto de G. Seja e 
G o elemento neutro de (G, •). Para cada a ∈ G, seja a’ o inverso de a Então 
H é um subgrupo de G se, e somente se, satisfaz às seguintes condições:
(1) E∈ H
(2) E Ha, b ∈ H, tEM-SE A • B ∈ H 
(3) A∈ H, TEM-SE A’ ∈ H.
DEMONSTRAÇÃO
Se H é um subgrupo de G então (2) vale por (1) da definição de 
subgrupo. Como (H, •) é um grupo valem (1) e (3). Logo (1), (2) e (3) 
são verdadeiras.
Reciprocamente, suponha que (1), (2) e (3) sejam verdadeiras. Por 
(2) vale (1) da definição de subgrupo. “•” é associativa em G, pois já o é 
em G. De (1) temos e ∈ H e de (3) cada elemento a ∈H tem inverso 
também em H. Logo (H, •) é um grupo. Portanto H é um subgrupo de 
G.
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 03: GRUPOS
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TEOREMA 3. Seja (G, •) um grupo de elemento neutro e. Para cada a 
G, seja a’ G seu inverso na operação •. Seja H um subconjunto de G. 
Então H é um subgrupo de G se, e somente se, satisfaz às seguintes 
condições:
(1) H ≠ Ø
(2) a, b ∈ H, tem-se a • b’ ∈ H
DEMONSTRAÇÃO
Se H é um subgrupo de G então e H e, portanto, H . Portanto vale (1).
Sejam a, b H. Como H é subgrupo de G, temos então que b’ H e, pelo 
fechamento, a • b’ H. Portanto, vale (2). 
Reciprocamente, suponha que (1) e (2) sejam verdadeiras. A 
associatividade Por (1) existe a H e, por (2), a • a’= e H. vale (1) da 
definição de subgrupo. “•” é associativa, pois já o é em G.
De (1) temos e H e de (3) cada elemento a H tem inverso também em 
H. Logo (H, •) é um grupo. Portanto, H é um subgrupo de G.
EXEMPLOS
1. Qualquer que seja o grupo (G, *), G e {e} são subgrupos de G, os 
quais são chamados de subgrupos triviais ou subgrupos próprios de G
2. Z é subgrupo dos grupos (Q,+) , (R,+) e (C,+).
3. Q é subgrupo dos grupos (R,+) e (C,+). 
4. R é subgrupo do grupo (C,+).
5. O conjunto dos inteiros pares é um subgrupo de (Z,+).
6. Q-{0} é subgrupo dos grupos (R-{0},∙) e (C-{0},∙).
7. R-{0} é subgrupo do grupo (C-{0},∙). 
8. {-1.1} é um subgrupo de (Q-{0},∙). 
9. Seja (G, ∙) um grupo e a G. O conjunto {an; n∈Z} é um subgrupo 
de (G, ∙),o qual denotaremos por <a>
10. O conjunto dos números complexos cujo valor absoluto é 1 é um 
subgrupo de (C-{0},∙)
11. Fixado n∈Z o conjunto {nz; z ∈ Z } é um subgrupo de (Z,+) o qual 
denotaremos por nZ
EXERCITANDO 1
Mostre que todo subgrupo de (Z,+) é da forma nZ para algum n∈Z
GRUPOS CÍCLICOS
TEOREMA 4 . 
Se H1,H2,...,Hn são subgrupos de um grupo (G, •) então H1∩H2 ...∩Hn
também é um subgrupo de (G, •). Este resultado também é válido para 
uma quantidade infinita de subgrupos.
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
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DEFINIÇÃO: Seja (G, •) um grupo e S um subconjunto de G. 
Definimos o subgrupo de G gerado por S como sendo a interseção de todos 
os subgrupos de G que contêm S. Denotaremos este subgrupo por <S>. 
Particularmente se S for finito, isto é se S={a1,a2,...,an} denotaremos o 
subgrupo gerado por S por < a1,a2,...,an >. Se S={a} o subgrupo gerado por 
S é chamado de subgrupo cíclico de G gerado por a.
TEOREMA 5: Se (G, •) um grupo e a∈G então < a >={an; n∈Z } 
DEMONSTRAÇÃO
Desde que aman=am+n temos que x.y∈{an; n∈Z} para todo x,y ∈
{an; n∈Z}. Temos também e=a0∈{an; n∈Z}. Se x∈H temos x=as e 
então x’=a-s∈{an; n∈Z}.Portanto 
{an; n∈Z} é um subgrupo de (G, ⋅). Por outro lado qualquer subgrupo 
de (G, ⋅) que contenha o elemento a deverá conter, pelos axiomas de 
grupo, todos os elementos da forma an, nZ, e, portanto deverá conter 
{an; n∈Z}.
Logo {an; n∈Z}= <a>
DEFINIÇÃO: a ordem de um elemento a de um grupo (G, •) é a ordem 
do subgrupo < a >. Denotaremos a ordem de a por o(a). Assim o(a)= |< a > 
|
EXERCITANDO 2
Mostre que se um elemento a tem ordem finita então sua ordem é 
igual ao menor inteiro positivo n tal que an=e. Daí conclua que se não 
existir um inteiro positivo n tal que an=e então a tem ordem infinita.
DEFINIÇÃO: Um grupo (G, •) é chamado de finitamente gerado se 
existirem a1, a2, ..., an G tais que G=< a1,a2,...,an >. Neste caso os elementos 
a1, a2, ..., an são chamados de geradores de G. Particularmente, se G= < a > 
para algum a∈G, (G, •) é chamado de grupo cíclico gerado por a. Assim se 
(G, .) é cíclico gerado por a, temos: o(a)=|G|; G={e,a,a2,...,an-1} se G for 
finito de ordem n e G={e,a,a-1, a2,a-2,...,ak, a-k,...} se G for infinito.
TEOREMA 6: Todo grupo cíclico é comutativo.
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
(1) ({-1.1},⋅) é cíclico gerado por -1
(2) O grupo (Z,+) é cíclico. 1 e -1 são geradores (Z,+)
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GRUPO QUOCIENTE
Seja (G, *) um grupo e H um subgrupo de (G, *). Definimos a relação 
“~1” em G por a ~1 b ⇔b*a’∈H.
Temos:
a ~1 a pois a*a’= e ∈H
a ~1 b ⇔ b*a’∈H ⇒ (b*a’)’=(a’)’ *b’=a*b’∈H⇒ b ~1 a
Se a ~1 b e b ~1 c então b*a’∈H e c*b’∈H e daí (c*b’) * (b*a’) = c*(b’ *
(b*a’))= c*((b’ * b)*a’)= c*(e*a’)= c*a’∈H. Logo a ~1 c 
Assim “~1” é uma relaçãode equivalência em G.
Dado a ∈G temos Ca={x ∈G; a ~1 x} = {x ∈G; x*a’∈H } ={x ∈G; 
x*a’=h∈H}={x ∈G; x=h*a,h∈H}={h*a,h∈H} que denotaremos por H*a. O 
conjunto H*a é chamado de classe lateral à direita de H. 
Analogamente se definimos a relação “~2” em G por a~2b a’*b ∈H 
mostra-se que “~2” é uma relação de equivalência em G e Ca={a*h; h ∈H}, 
que denotaremos por a*H. O conjunto a*H é chamado de classe lateral à 
esquerda de H. 
EXERCITANDO 3
Se H é um subgrupo de (G, *) e a ∈G mostre que |a*H|=|H*a|=|H|
O fato de a classe de equivalência de qualquer elemento a , tanto 
relativamente a “~1” como a “~2” ter |H| elementos implica|G|=|H|. 
|G/~1|=|H|. |G/~2| e assim os conjuntos quocientes G/~1 e G/~2 têm a 
mesma ordem a qual será denotada por [G:H] e chamada de índice de H 
em G
TEOREMA 7 (TEOREMA DE LAGRANGE):
Se (G, *) é um grupo e H um subgrupo de (G, *) então |G|=|H|. [G:H]. 
Em particular, Se (G, *) é um grupo finito então |H| e [G:H]são divisores 
de |G|
DEFINIÇÃO: (G, *) um grupo e H um subgrupo se G. Se a*H=H*a para 
todo a∈G os conjuntos quocientes G/~1 e G/~2 são iguais e serão 
denotados por G/H. Neste caso dizemos que H é um subgrupo normal de 
G. Observe que se (G, *) for comutativo então todo subgrupo de G é 
normal. 
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DEFINIÇÃO: Seja (G, *) um grupo e L e M dois subconjuntos de G. 
Definimos LM ={l*m; l∈L e m∈M} 
Obviamente LM é também um subconjunto de G, que chamaremos de 
produto dos conjuntos L e M 
Observe que este produto é associativo: de fato L(MN)={ l *(m*n); 
l∈L, m∈M e n∈M}={ (l *m)*n; l∈L, m∈M e n∈M}=(LM)N 
TEOREMA 8: Se H é um subgrupo normal de grupo (G, *) então o 
produto das classes H*a e H*b é a classe H* (a*b), isto é, (H*a)(H*b)=H*
(a*b). Com esta operação G/H é um grupo, que chamamos de grupo 
quociente de G por H
DEMONSTRAÇÃO
Como H é subgrupo normal de G temos a•H=H•a e daí a •h2=h3• 
a para algum h3 H. Assim x= h1•(( h3• a)•b)= h1•( h3•(a•b))=
(h1•h3)•(a•b). Temos h1•h3=h H e daí x = h•(a•b) e portanto x H•
(a•b). Logo (H•a)(H•b) H• (a•b) (I)
Reciprocamente, se x H• (a•b) temos x = h•(a•b) com h H
Assim x = (h•a)•b) = (h•a) • (e •b) com (h•a) H•a e (e •b) H•b. Daí x 
(H•a)(H•b). Logo H• (a•b) (H•a)(H•b) (II) 
De (I) e (II) temos (H•a)(H•b)=H•(a•b)
Assim acabamos de definir uma operação no conjunto quociente G/H.
Vamos agora verificar os axiomas de grupo:
A associatividade já é verdadeira para produto de subconjuntos. 
A classe H•e=H é o elemento neutro, pois (H•a) (H•e)=H• (a•e)=H•a e 
(H•e)(H•a)=H(e•a)=H•a para toda classe H•a G/H
Dada H•a G/H temos H•a’ G/H e (H•a) (H•a’)=H•(a•a’)=H•e=H e 
(H•a’)(H•a)=H• (a’•a)=H•e=H. Assim (H•a)’ = H•a’
Portanto G/H munido deste produto é um grupo. 
Observe que, se G for comutativo então o grupo quociente G/H 
também será comutativo 
EXEMPLOS
Dado nZ considere o subgrupo nZ do grupo (Z,+). Este subgrupo é 
normal, pois (Z,+) é comutativo. Temos então a relação de 
equivalência “~” em Z dada por a ~ b b+(-a)∈nZ, isto é, b-a∈nZ . 
A classe de um elemento a∈Z é nZ+a = {nz+a; z∈Z}. Definindo então 
no conjunto quociente Z/nZ a operação, representada pelo símbolo 
“+”, dada por (nZ+a)+( nZ+b)= nZ+(a+b) obtemos o grupo quociente 
(Z/nZ,+), que denotaremos por (Zn,+) ou simplesmente por Zn
Vamos agora mostrar que Zn é um grupo comutativo com n elementos
De fato. Observe que, de acordo com a definição de “~” temos a ~ b 
 b-a é múltiplo de n e assim dois elementos estão relacionados (isto 
é estão na mesma classe), se e somente se deixam o mesmo resto 
quando divididos por n. Como os possíveis restos na divisão por n são 
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0,1,2,...,n-1 teremos exatamente n classes de equivalência e portanto 
cada inteiro pertencerá a exatamente uma das classes nZ+0= nZ, 
nZ+1, nZ+2,..., nZ+(n-1), que denotaremos respectivamente por , , , ... 
,.. Assim Zn = { , , , ... , }
Como (Z,+) é comutativo Zn também é comutativo.
EXERCITANDO 4
Mostre que (Zn,+) é um grupo cíclico gerado pelos tais que m é 
relativamente primo com n e, portanto (Zn,+) possui (n) geradores.
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TÓPICO 03: HOMOMORFISMO DE GRUPOS
ITEM 01
 f(eG) = eH 
Demonstração: 
f(eG) = f(eG•eG) = f(eG) wf(eG), isto é, f(eG) w eH = f(eG) wf(eG). Usando 
a lei do cancelamento temos f(eG) = eH
ITEM 02
 f(x’) = (f(x))’ .
Demonstração: 
f(x’) wf(x) = f(x’•x)=f(eG)=eH .Analogamente f(x) wf(x’) = eH. Logo f(x’) = 
(f(x))’
HOMOMORFISMO DE GRUPOS
Definição: Dados dois grupos (G, •) e (H, ) dizemos que uma 
aplicação f: G H é um homomorfismo de grupos se f(x • y) = f(x) f(y) 
para todo x,y G. 
Definição: O conjunto dos elementos x G tais que f(x) = eH é 
chamado de núcleo de f e será denotado por Ker f.
É muito comum usar a notação multiplicativa para dois grupos, 
omitindo os símbolos das operações, escrevendo f(x y) = f(x)f(y) ao invés de f
(x • y) = f(x) f(y), ficando assim subentendido que, no domínio estamos 
trabalhando com a operação “•” e no contradomínio com a operação “ ”. Usa-
se também 1G e 1H para representar os elementos neutros de (G, •) e de (H, ) 
respectivamente.
PROPRIEDADES DOS HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Considere os grupos (G, •) e (H, ) e um homomorfismo de grupos f: G 
H. Então valem as seguintes propriedades:
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 03: GRUPOS
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ITEM 03
O núcleo de f é um subgrupo normal de G
Demonstração:
1) Se x,y∈Kerf temos f(x)=f(y)=eH e daí f(x•y)=f(x) wf(y)= eHweH= eH. 
Logo x•y∈Kerf.
2) f(eG) = eH e daí eG∈Kerf
3) Se x∈Kerf temos F(x)=eH. Como f(x’) = (f(x))’ temos f(x’) = (eH)’= eH. 
Logo x’∈Kerf
Mostramos então que Kerf é um subgrupo de G.
Vamos mostrar agora que kerf é subgrupo normal de G, isto é, que (kerf) •a 
= a•(kerf) para todo a∈G
De fato, se x∈ (kerf) •a tem-se x=n•a para algum n∈Kerf.
Como n•a = e•(n•a)= (a•a’)•(n•a)= a•(a’•(n•a)) temos x= a•(a’•(n•a)) 
Por outro lado f(a’•(n•a))=f(a’) wf(n•a)= f(a’) w (f(n) wf(a))= f(a’) w (eHwf
(a))= f(a’) w f(a)= f(a’• a)= f(eG)=eH. Daí a’•(n•a) = m∈Kerf
Logo x = a•m, com m∈Kerf e assim x∈a•(kerf). Provamos então que 
(kerf) •a ⊏ a•(kerf). De forma análoga mostra-se que a•(kerf)⊏(kerf) •a e 
portanto temos a igualdade (kerf) •a = a•(kerf), o que mostra que kerf é 
subgrupo normal de G.
ITEM 04
 f é injetiva Ker f = {eG}
Demonstração:
Temos x∈Kerf f(x)= eH.= f(eG). 
Se f for injetiva então xÎKerf x = eG. Daí Ker f = {eG}
Reciprocamente suponha que Ker f = {eG}. Se f(a) = f(b) temos f(a) w (f
(b))’= eH . 
f(a) w(f(b))’= eH ⇒ f(a)wf(b’)= eH ⇒ f(a•b’)= eH⇒ a•b’ Kerf ⇒ a•b’= eG ⇒
a=b. Logo f é injetiva
ITEM 05
A imagem de f, que denotaremos por Im f, é um subgrupo de H.
Demonstração: Exercício
ITEM 06
Se G´ é um subgrupo de G, então f(G´) é um subgrupo de H.
Demonstração: Exercício
ITEM 07
Se H’ é um subgrupo de H então f -1(H’) é um subgrupo de G, que 
contém Ker f. 
Demonstração: Exercício
ITEM 08
Se f:G H e g: H T são homomorfismos de grupos então gof:G T 
também é um homomorfismo de grupos.
Demonstração: Exercício
26
Definição: Um homomorfismo injetivo é chamado de 
monomorfismo. Um homomorfismo sobrejetivo é chamado epimorfismo. 
Um homomorfismo bijetivo é chamado de isomorfismo. Se existe um 
isomorfismo f: G H entre os grupos (G, •) e (H, ) dizemos que estes 
grupos são isomorfos e denotamos este fato por G H. Grupos isomorfos 
são indistinguíveis no ponto de vista algébrico.
EXEMPLOS
1) Se (G, *) e (H, w) são grupos, a função f:G→H dada por f(x) = 
eH para todo xÎG é um homomorfismo, chamado de homomorfismo 
trivial.
2) Se (G, *) e (H, w) são grupos, a função f:G→H dadapor f(x) = 
eH para todo xÎG é um homomorfismo, chamado de homomorfismo 
trivial.
3) A função exponencial x↦ex é um homomorfismo do grupo 
aditivo dos números reais no grupo multiplicativo dos números reais 
positivos.
4)Seja (G, *) é um grupo e aÎG. A função fa:G→G dada por fa(x)
=a*x é um isomorfismo de G em G e portanto pertence a SG.
5) Seja (G, *) é um grupo e aÎG. A função f: Z→G dada por f(n)= 
na é um homomorfismo de (Z,+) em (G, *). Se G for cíclico e a for um 
gerador de G a função f será um epimorfismo.
6) Se H é um subgrupo normal do grupo (G, *) então a função 
f:G→G/H dada por f(x)=H*x é um homomorfismo, chamado de 
homomorfismo canônico.
Teorema 2 (Teorema Fundamental dos homomorfismos de 
grupos): Se f: G H é um homomorfismo entre os grupos (G, •) e (H, •) 
então G/Kerf G Imf 
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 3, com os colegas ou com o professor 
tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 3. Lembre 
que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Poste no Portfólio da Aula 3, a solução dos exercitando 1, 2, 3 e 4 do 
Tópico 2, no Texto, e dos exercícios 1, 3, 5, 6, 8 e 10 da lista de exercícios 
da Aula 3 que se encontra no material de apoio e que você pode obter no 
link Aula 3 (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).
FONTES DAS IMAGENS
27
TÓPICO 01: ANÉIS
DEFINIÇÃO: Seja A um conjunto munido de duas operações, as quais 
chamaremos de adição e multiplicação e denotaremos respectivamente por 
“+” e “.” Dizemos que a estrutura algébrica (A,+, .) é um anel se os 
seguintes axiomas são satisfeitos:
A estrutura algébrica (A,+) é um grupo comutativo
A estrutura algébrica (A, .) é um semigrupo, isto é, x.(y.z) = (x.y).z, ∀
x.y,z ∈ A
A operação “.” é distributiva em relação à operação “+”, isto é, x.(y+z) = 
x.y+x.z e (y+z).x = y.x+z.x, ∀ x.y,z ∈ A
Se, além de (1), (2) e (3), tivermos x.y = y.x para todo x,y A, dizemos que 
(A,+, .) é um anel comutativo.
Se, além de (1),(2) e (3), a estrutura algébrica (A, .) possuir elemento 
neutro dizemos que (A,+, .) é um anel com unidade.
OBSERVAÇÃO
Por coerência usa-se a notação aditiva para a operação “+” e a notação 
multiplicativa para a operação “.”. Assim
i) Representaremos o elemento neutro da adição por “0" e o elemento 
neutro da multiplicação, quando existir, por “1”. Quando trabalhamos com 
mais de uma estrutura algébrica é comum representarmos estes elementos 
neutros “0A” e “1A” respectivamente. 
ii) O inverso aditivo de um elemento a A será representado por –a e 
o inverso multiplicativo, quando existir, será representado por a-1. 
Usaremos a notação a – b para representar a+(–b)
iii) Em geral escreveremos “ab” ao invés de “a.b”
iv) a+a+...+a (n vezes) será denotado por na e a.a.....a(n vezes) será 
denotado por an
É comum, quando não há nenhum risco de ambigüidade, representar o 
anel (A,+, .) simplesmente por A. Assim quando nos referimos ao anel A 
ficará subentendido que estamos nos referindo ao anel (A,+, .)), isto é, ao 
conjunto A munido das operações “+” e “.” satisfazendo aos axiomas da 
estrutura algébrica que chamamos de anel.
EXEMPLOS
1) Considerando os conjuntos Z,Q,R e C respectivamente dos inteiros, 
racionais, reais e complexos e as operações usuais de adição ‘+’ e 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 04: ANÉIS
28
multiplicação ‘•’ , as estruturas algébricas (Z,+, •) , (Q,+ , •) , (R,+, •), 
(C,+, •), são anéis comutativos com unidade
2) O conjunto M das matrizes nxn, com entradas inteiras, munido das 
operações usuais de adição e multiplicação de matrizes é um anel não 
comutativo com unidade.
3) Se n é um inteiro então (nZ,+, •) é um anel comutativo. Se n=0, nZ=
{0} e ({0},+, •) é chamado de anel nulo e, neste caso, temos um anel 
comutativo com unidade, no qual 1=0. Se n=±1 temos nZ = Z. Se |n| > 
1, (nZ,+, •) é um anel comutativo sem unidade.
4) Dados os anéis (A1, +1, .1), (A2, +2, .2),..., (An, +n ,.n). Considere o 
produto cartesiano A1xA2x...xAn munido das operações “+” e “.” 
definidas componente a componente por (a1, a2,...,an) + (b1, b2,...,bn)= 
(a1 +1 b1, a2 +2 b2 ,..., an +n bn) e (a1, a2,...,an).(b1, b2,...,bn)= (a1 .1 b1, 
a2 .2 b2 ,..., an .n bn). Então (A1xA2x...xAn, +, •) é um anel, chamado de 
Produto Direto dos anéis (A1, +1, .1), (A2, +2, .2),..., (An, +n , .n). O 
anel (A1xA2x...xAn, +, •) é comutativo se e somente se (A1, +1, .1), (A2, 
+2, .2),..., (An, +n ,.n) são todos comutativos. 
DEFINIÇÃO: Se A é um anel com unidade, os elementos de A que 
possuem inverso multiplicativo são chamados de elementos invertíveis de 
A ou unidades de A. Neste caso o conjunto das unidades de A será 
denotado por U(A) ou A*
É fácil ver que para os anéis (Z,+, .) , (Q,+ , .) , (R,+, .), (C,+, .) temos 
U( Z)={-1,1}, U(Q)= Q-{0}, U(R)= R-{0}, U(C)= C-{0}.
TEOREMA 1: Se (A,+, .) é um anel com unidade então “.” é uma 
operação em
U(A) e (U(A), .) é um grupo
Demonstração: Exercício
PROPRIEDADES ELEMENTARES DOS ANÉIS:
Em um anel (A,+, .) valem as seguintes propriedades:
CLIQUE AQUI
Como (A,+) é um grupo, valem as leis de cancelamento para a 
adição; o elemento neutro aditivo é único; o inverso aditivo é único e −
(−a) = a, ∀ a A 
a.0 = 0.a = 0, ∀a A
Demonstração:
Utilizando a distributividade temos a.0 = a(0+0) = a.0+a.0. pelo 
cancelamento da adição temos que a.0 = 0. Analogamente 0.a = 0.
a(−b) = (−a)b = −(ab), ∀ a,b A
29
Demonstração:
Inicialmente mostraremos que a(−b) = −(ab), isto é , que a(−b) é o 
inverso aditivo de ab.
Para isto basta mostrar que a(−b) + ab = 0. De fato a(−b) + ab = a
(−b + b) = a.0 = 0. 
Analogamente mostra-se que (−a)b = −(ab).
(−a)(−b) = ab, ∀ a,b A
Demonstração: 
Usando a propriedade 3 temos (−a)(−b) = −[a(−b)] = −[−ab] = ab 
(pois −(−a) = a, ∀ a A) 
Se (A,+, .) é um anel com unidade 1 então:
(−1)a = −a, ∀ a A
Demonstração:
Usando a propriedade 3 temos (−1)a = −(1a) = - a (pois 1a=a, ∀ a A)
(−1)(−1) = 1
Demonstração:
Direto da propriedade 4
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração:
Se 1 e c são elementos neutros da multiplicação temos 1= 1c = c
O inverso multiplicativo de um elemento, quando existir, é único,
Demonstração:
Se a’ e a’’ são inversos multiplicativos de a temos a’a=aa’= a’’a =a a’’=1 
e então a’=a’1=a’(aa’’)=(a’a)a’’=1 a’’=a’’
EXERCITANDO
Dado um anel (A,+, .), mostre que 1=0 se e semente se A é o anel nulo.
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Responsável: Prof. José Valter Lopes Nunes
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
30
TÓPICO 02: SUBANÉIS, IDEAIS E ANEL QUOCIENTE
SUBANÉIS
DEFINIÇÃO: Sejam (A,+, .) um anel e S um subconjunto de A. 
Dizemos que S é um subanel de (A,+, .) se:
(1) ∀a,b A temos a + b e ab pertencem a S
(2) (S,+, .) é um anel.
TEOREMA 1. Sejam (A,+, .) um anel e S um subconjunto de A.
Então S um subanel de A se, e somente se, satisfaz às seguintes 
condições:
(1) 0 ∈ S
(2) ∀ a, b ∈ S, a - b e ab pertencem a S
DEMONSTRAÇÃO
Se S é um subanel de (A,+, .) então (S,+, .) é um anel. Assim 0 S 
e ∀ b S tem=se - b S. Daí ∀ a, b S temos a – b=a+(-b) e ab 
pertencem a S. Logo (1) e (2) são verdadeiras. 
Reciprocamente, suponha que (1) e (2) sejam verdadeiras. Então 
∀ b S, como 0 S, temos 0 – b= 0+(-b)=- b S. Assim ∀ a, b S 
temos a, -b S e, por (2), a-(-b) = a+(-(-b))=a+b S. Portanto ∀ a,b S 
temos a + b e ab pertencem a S.
“+” é associativa em S pois já o é em A. De (1) temos 0 S. Como 
∀ b S, tem-se - b S e “+” é comutativa em S, pois é comutativa em A, 
concluímos que (S,+) é um grupo comutativo. Como “.” é associativa 
em A e é distributiva em relação a “+” em A também seráassociativa 
em S e distributiva em relação a “+” em S. Portanto (S,+, .) é um anel.
Logo S é um subanel de (A,+, .)
TEOREMA 2. Se S1,S2,...,Sn são subanéis de um anel (A, *, . ) então S1∩
S2∩... ∩ Sn também é um subanel de (A, *, .). Este resultado também é 
válido para uma quantidade infinita de subanéis.
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
DEFINIÇÃO: Seja (A, *, . ) um anel e S um subconjunto de A. 
Definimos o subanel de A gerado por S como sendo a interseção de todos 
os subanéis de A que contêm S. Denotaremos este subanel por < S >. 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 04: ANÉIS
31
Particularmente se S for finito, isto é se S={a1,a2,...,an} denotaremos o 
subanel gerado por S por < a1,a2,...,an >. 
EXEMPLOS
(1) Qualquer que seja o anel (A, *, •) , A e {0} são subanéis de A , os 
quais são chamados de subanéis triviais de A
(2) Z é subanel dos anéis (Q,+, •) , (R,+ , •) e (C,+ , •).
(3) Q é subanel dos anéis (R,+, •) e (C,+, . ). 
(4) R é subanel do anel (C,+ . •).
(5) O conjunto dos inteiros pares é um subanel de (Z,+ , •).
(6) Fixado n∈Z o conjunto {nz; z∈Z} é um subanel de (Z,+, •) o qual 
denotaremos por nZ
IDEAIS
DEFINIÇÃO: Sejam (A,+, .) um anel e I um subconjunto de A. 
Dizemos que I é um Ideal de (A,+, .) se:
(1) I é um subgrupo de (A,+)
(2) Se a A e x I então ax I e xa I
EXEMPLOS
(1) O conjunto dos inteiros pares é um Ideal de (Z,+ , .).
Fixado n∈ Z o conjunto {nz;z∈ Z} é um Ideal de (Z,+, .) o qual 
denotaremos por nZ
EXERCITANDO
Mostre que todo Ideal de (Z,+ , .) é da forma nZ para algum n Z
TEOREMA 3.
Todo ideal de (A,+, .) é um subanel de (A,+, .).
DEMONSTRAÇÃO
Seja I um ideal do anel (A,+, .)
Como I é um subgrupo aditivo de (A,+) temos a + b ∈ I a,b ∈ A. 
Como a ∈ A e x ∈ I ⇒ ax ∈ I e I A, temos ax ∈ I a,b ∈ I temos a + b 
 e ab pertencem a I.
Temos que I é um subgrupo aditivo de (A,+). Como a associatividade 
de “.” e a distributividade de “.” em relação a “+” valem em A, também 
valem em I, que é um subconjunto de A. Logo (I,+, .) é um anel.
Portanto I é um subanel de (A,+, .)
Observe que nem todo subanel de um anel (A,+, .) é um ideal de 
(A,+, .). Por exemplo, Z é subanel, mas não é um Ideal do anel (Q,+, .)
32
TEOREMA 4. Se I1,I2,...,In são ideais de um anel (A, *, . ) então I1∩
I2∩... ∩ In também é um ideal de (A, *, .). Este resultado também é válido 
para uma quantidade infinita de ideais.
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
DEFINIÇÃO: Seja (A, *, . ) um anel e S um subconjunto de A. 
Definimos o ideal de A gerado por S como sendo a interseção de todos os 
ideais de A que contêm S. Denotaremos este subanel por < S >. 
Particularmente se S for finito, isto é se S={a1,a2,...,an} denotaremos o ideal 
gerado por S por < a1,a2,...,an >. 
TEOREMA 5. Se A é um anel comutativo com unidade então o ideal < 
a1,a2,...,an > é dado por < a1,a2,...,an > ={x1a1+x2a2+...+xnan; x1,x2,...,xn ∈ A} 
o qual denotamos por Ra1+Ra2+...+Ran. Particularmente < a >={xa; x ∈
R}, que denotaremos por Ra
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO.
ANEL QUOCIENTE:
Seja (A,+, .) um anel e I um ideal de (A,+, .). Temos que I é um subgrupo 
de (A,+). Como (A,+) é comutativo, I é um subgrupo normal de (A,+). Daí 
A/I munido da operação “+” definida por (I+a)+(I+b) = I+(a+b) é 
automaticamente um grupo comutativo. Queremos agora definir uma 
estrutura de anel em A/I. Nada mais natural do que definirmos em A/I a 
multiplicação (I+a).(I+b) por I+ab. Precisamos entretanto mostrar isto tem 
significado, isto é , que esta operação está bem definida. Em outras palavras, 
precisamos mostrar que se I+a = I+b e I+c=I+d então (I+a).(I+c) = (I+b).
(I+d), isto é. I+(ac)=I+(bd). De fato I+a = I+b ⇒a=u+b, com uÎI e I+c = I+d 
⇒c=v+d, com v I. Assim ac=(u+b)(v+d)=uv+ud+bv+bd. Com I é um ideal 
uv ∈I, ud I e bv I e, portanto uv+ud+bv=w I. Então ac=w+bd, w I e daí 
ac I+bd, o que implica I+(ac)=I+(bd). Portanto “.” É uma operação em A/I. 
Deixamos como exercício as demonstrações de que “.” é associativa e é 
distributiva em relação a “+”, o que torna (A/I,+, .) um anel, o qual é 
chamado de anel quociente de A pelo ideal I.
OBSERVAÇÃO
Observe que, para construirmos o anel quociente precisamos 
fortemente do fato de I ser um ideal de A. Assim os ideais fazem, na 
construção do anel quociente, o mesmo papel que os subgrupos normais 
fazem na construção dos grupos quocientes.
EXEMPLOS
Dado n∈Z considere o ideal nZ do anel (Z,+, .). Já definimos o 
grupo quociente (Z/nZ,+), que denotamos por (Zn,+) ou simplesmente 
33
por Zn={ }. O anel quociente (Z/nZ,+, .), que também 
representaremos por Zn, obtido definindo , é um anel 
comutativo com unidade.
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34
TÓPICO 03: HOMORFISMO DE ANÉIS, DOMÍNIO DE INTEGRIDADE DOMÍNIO DE FATORAÇÃO ÚNICA
HOMOMORFISMO DE ANÉIS:
DEFINIÇÃO: Dados dois anéis (A, +, .) e (R, +, .) dizemos que uma 
aplicação f: A R é um homomorfismo de anéis se f(x + y) = f(x) +f(y) e f
(x.y) = f(x).f(y) para todo x,y A. 
DEFINIÇÃO: O conjunto dos elementos x A tais que f(x) = 0 é 
chamado de núcleo de f e será denotado por Ker f.
PROPRIEDADES DOS HOMOMORFISMOS DE ANÉIS:
Considere os anéis (A, +, .) e (R, +, .) e um homomorfismo de grupos f: A 
 R. Então valem as seguintes propriedades:(clique aqui para abrir)
1) f(0) = 0 
Demonstração: 
f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0), isto é, f(0) = f(0)+f(0). Usando a lei do 
cancelamento temos f(0) = 0
2) f(-x) = -f(x) .
Demonstração: 
f(-x)+f(x) = f((-x)+x)=f(0)=0. .Analogamente f(x)+f(-x) = 0. Logo f
(-x) = -f(x)
3) O núcleo de f é um ideal de A
Demonstração:
i)Se x,yÎ Kerf temos f(x)=f(y)=0 e daí f(x+y)=f(x)+f(y)= 0+0= 0. 
Logo x+y Kerf.
ii)f(0) = 0 e daí 0 Kerf
iii)Se xÎKerf temos f(x)=0. Como f(-x) = - f(x) temos f(-x) = -0= 0. 
Logo -x Kerf
Mostramos então que Kerf é um subgrupo de (A,+).
Sejam agora a A e x Kerf . Temos f(ax) =f(a)f(x)=f(a).0=0 e f(xa) 
=f(x)f(a)=0.f(a)=0. 
Logo ax e xa pertencem a kerf
Concluímos, portanto que kerf é um ideal de A.
4) f é injetiva Ker f = {0}
Demonstração: exercício (análoga ao caso de homomorfismo de 
grupos)
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 04: ANÉIS
35
5) A imagem de f , que denotaremos por Im f, ou f(A), é um subanel 
de R.
Demonstração: Exercício
6)Se S é um subanel de A, então f(S) é um subanel de R.
Demonstração: Exercício
7)Se S é um ideal de A, então f(S) é um ideal de R.
Demonstração: Exercício
8)Se S’ é um subanel de R então f -1(S’) é um subanel de A que 
contém Ker f. 
Demonstração: Exercício
9) Se S’ é um Ideal de R então f -1(S’) é um Ideal de A que contém 
Ker f. 
Demonstração: Exercício
10) Se A é um anel com unidade e 1 é o elemento neutro da 
multiplicação então f(A) é um anel com unidade e o elemento neutro da 
multiplicação é f(1)
Demonstração: Exercício
11) Se A é um anel com unidade então R não necessariamente 
possui unidade
Demonstração: Exercício
12) Se f:G H e g: H T são homomorfismos de anéis então gof:G 
 T também é um homomorfismo de anéis.
Demonstração: Exercício
DEFINIÇÃO: Um homomorfismo injetivo é chamado de 
monomorfismo. Um homomorfismo sobrejetivo é chamado epimorfismo. 
Um homomorfismo bijetivo é chamado de isomorfismo. Se existe um 
isomorfismo f: G H entre os grupos (G, *) e (H, ○) dizemos que estes 
grupos são isomorfos e denotamos este fato por G H. Grupos isomorfos 
são indistinguíveis no ponto de vista algébrico.
EXEMPLOS
(1) Se (A, +, .) e (R, +, .)são anéis, a função f:A→R dada por f(x) = 
0 para todo x A é um homomorfismo, chamado de homomorfismo 
trivial.
(2) Se (A, +, .) é um anel a função identidade x→x é umisomorfismo de A em A
(3) Se I é um ideal do anel (A, +, .) então a função f:A→A/I dada 
por f(x)=H+x é um homomorfismo, chamado de homomorfismo 
canônico.
36
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL DOS HOMOMORFISMOS
DE ANÉIS): Se f: A R é um homomorfismo entre os anéis (A, +, .) e (R, 
+, .) então A/Kerf G Imf 
DEMONSTRAÇÃO: Exercício (análoga à demonstração do 1º teorema 
dos isomorfismos de grupos)
DOMÍNIO DE INTEGRIDADE:
Em um anel é possível que tenhamos a,b ≠ 0 e ab=0. 
DEFINIÇÃO: Seja (A, +, .) um anel e a A. Dizemos que a é divisor de 
zero se existir b≠ 0, b A, tal que ab=0
DEFINIÇÃO: Um domínio de integridade ou simplesmente domínio é 
um anel não nulo, comutativo, com unidade e sem divisores de zero não 
nulos.
EXEMPLOS
O anel (Z,+,.) é um domínio de integridade. 
TEOREMA 2: O anel Zn é um domínio de integridade se e somente se 
n for primo.
Demonstração: Exercício
TEOREMA 3: Se x é um elemento não nulo de um domínio de 
integridade (A,+, .), então xy=xz ⇒ y=z
Demonstração: Exercício
DEFINIÇÃO: Se A é um anel comutativo e a,b A, dizemos que a 
divide b, ou que b é divisível por a, se existe cÎA tal que b=ac. O fato de a 
dividir b será denotado por a\b.
Se A é um anel comutativo, temos as seguintes propriedades: 
i) Seja A é um domínio de integridade, a,b∈A e a≠0. Se a\b então existe um 
único elemento c tal que b=ac. Este elemento c será denotado por b/a
ii) a\0 , ∀ a∈A
iii) Se a\b então a\bx ∀ x∈A,
iv) Se a\b e a\c então a\(b+c)
v) Se a\b e b\c então a\c
37
vi) Se A é um anel com unidade então um elemento a∈A é uma unidade de A 
se, e somente se, a\1
DEFINIÇÃO: Se A é um anel comutativo com unidade, um elemento a 
 A é dito ser associado a um elemento b A se a=bu, onde u é uma 
unidade de A
TEOREMA 4: Se A é um anel comutativo com unidade, a relação em A 
definida por a~b se, e somente se, a é associado a b, é uma relação de 
equivalência em A
DEMONSTRAÇÃO
i) Temos a=a.1 e daí a é associado a a. Logo a~a
ii) Se a~b então a=bu, onde u é uma unidade de A. Daí au’ =(bu)
u’=b(uu’)=b1=b onde u’ é uma unidade de A. Daí b~a
iii) Se a~b e b~c então a=bu, onde é uma unidade de A e b=cv, 
onde v é uma unidade de A. Assim a=c(vu)=c(vu) onde vu é uma 
unidade de A. Logo a~c
Devido a propriedade simétrica da relação “~”, ao invés de falarmos que 
a é associado a b ou que b é associado a a, diremos simplesmente que a e b 
são associados .
TEOREMA 5: Se A é um domínio de integridade, então a\b e b\a se e 
somente se a e b são associados.
DEMONSTRAÇÃO
Se a\b e b\a então b= ac e a=bd. Daí b1=b=(bc)d=b(cd). Como 
b≠0 (pois b\a) e A é um domínio de integridade, podemos cancelar b 
em b1=b(cd) e, portanto 1=cd e então c e d são unidades de A. Logo a e 
b são associados. A recíproca é imediata.
EXERCITANDO 1
Se A é um anel comutativo com unidade e a\b, mostre que o ideal 
gerado por a contém o ideal gerado por b.
EXERCITANDO 2
Se A é um domínio de integridade mostre que dois elementos são 
associados se e somente se geram o mesmo ideal.
DEFINIÇÃO: Um elemento b pertencente a um domínio de 
integridade a é chamado de irredutível se b≠0, b não é uma unidade e se 
38
c\b implica c é um unidade ou é associado a b. Se b não é irredutível 
dizemos que b é redutível.
DEFINIÇÃO: um elemento p≠0 de um domínio de integridade A é dito 
ser primo se p não é uma unidade e se p\ab implica p\a ou p\b.
DOMÍNIO DE FATORAÇÃO ÚNICA
DEFINIÇÃO: Um domínio de integridade (A,+, .) é chamado de 
domínio fatoração única se cada elemento não nulo ou é uma unidade ou 
pode ser escrito de modo único, a menos da ordem dos fatores, como um 
produto de elementos irredutíveis.
EXEMPLOS
O anel dos inteiros é um domínio de fatoração única
TEOREMA 6: Se A é um domínio de fatoração única então todo 
elemento irredutível é primo.
DEMONSTRAÇÃO
Seja p um elemento irredutível de A. Vamos mostrar que p é 
primo. Suponha então que p\ab e p a. Sejam a=p1p2 ... pn e b= q1q2 ... 
qm as fatorações únicas de a e b como produto de irredutíveis. Então 
p1p2 ... pnq1q2 ... qm é a fatoração única de ab. Como p\ab temos ab=pc. 
Seja c=t1t2... ts a fatoração única de c, como produto de elementos 
irredutíveis. Como a fatoração é única um associado de p, digamos pu, 
deve aparecer entre os p1, p2, ... , pn, q1, q2 , ... ,qm. Como p a nenhum 
associado a p pode aparecer entre os p1, p2, ... , pn. Assim pu deve está 
entre os q1, q2 , ... ,qm e daí p\b. Logo p é primo.
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 4, com os colegas ou com o professor 
tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 4. Lembre 
que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Poste no Portfólio da Aula 4, a solução do exercitando do Tópico 1 , do 
exercitando do Tópico 2 , dos exercitando 1 e 2 do Tópico 3, no Texto, e 
dos exercícios 1, 2, 4, 6, 7 e 9 da lista de exercícios da Aula 4 que se 
encontra no material de apoio e que você pode obter no link Aula 4 (Visite 
a aula online para realizar download deste arquivo.).
39
TÓPICO 01: TEORIA BÁSICA DOS CORPOS. SUBCORPOS
DEFINIÇÃO
Seja K um conjunto não vazio munido de duas operações, as quais 
chamaremos de adição e multiplicação e denotaremos respectivamente por 
"+" e "." (Por coerência usa-se a notação aditiva para a operação "+" e a 
notação multiplicativa para a operação "."). Dizemos que a estrutura 
algébrica (K,+, .) é um corpo se os seguintes axiomas são satisfeitos: 
(1).A estrutura algébrica (K,+) é um grupo comutativo
(2).A estrutura algébrica (K-{0}, .) é um grupo comutativo.
(3).A operação "." é distributiva em relação à operação "+", isto é:
x.(y+z) = x.y+x.z ∀ x.y,z ∈K
OBSERVAÇÃO
É comum, quando não há nenhum risco de ambiguidade, representar 
o corpo (K,+, .) simplesmente por K. Assim quando nos referimos ao corpo 
K ficará subentendido que estamos nos referindo ao corpo (K,+, .), isto é, 
ao conjunto K munido das operações "+" e "." satisfazendo aos axiomas da 
estrutura algébrica que chamamos de corpo.
EXEMPLOS
1) Considerando os conjuntos Q, R e C respectivamente dos 
racionais, reais e complexos e as operações usuais de adição '+' e 
multiplicação '.' , as estruturas algébricas (Q,+ , .) , (R,+, .), (C,+, .), são 
corpos
2) Se n é um inteiro primo então Zn é um corpo.
3) Se Q(√3)= {a+b√3; a,b∈ Q} então (Q(√3), +, .) é um corpo.
PROPRIEDADES ELEMENTARES DOS CORPOS:
Todo corpo é um anel comutativo com unidade e portanto valem todas 
as propriedades de anel.
TEOREMA 1: Os únicos ideais de um corpo são os triviais
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
TEOREMA 2:Todo corpo é um domínio de integridade
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 05: CORPOS
40
TEOREMA 3:Todo domínio de integridade finito é um corpo.
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
EXERCITANDO
Dê exemplo de um domínio de integridade que não é um corpo
DEFINIÇÃO: Sejam (K,+, .) um anel e S um subconjunto de K. 
Dizemos que S é um subcorpo de (K,+, .) se: ∀ a,b ∈ A temos a + b e ab 
pertencem a S e (S,+, .) é um corpo. Se S é um subcorpo de K e S≠K 
dizemos que S é um subcorpo próprio de K
DEFINIÇÃO: Dizemos que K é uma extensão de S se S é um subcorpo 
de K.
TEOREMA 4. Sejam (K,+, .) um anel e S um subanel de K contendo 
pelo menos dois elementos. 
Então S um subcorpo de K se, e somente se, o inverso de todo 
elemento não nulo de S pertence a S.
Demonstração: evidentemente se S é um subcorpo então inverso de 
todo elemento não nulo de S pertence a S.
Reciprocamente, suponha que o inverso de todo elemento não nulo de 
S pertence a S. Como S possui mais de um elemento S-{0}≠∅
Como S é subanel de K, S é subgrupo de (K,+) e st∈S-{0} ∀ s,t 
∈S-{0}.Como, por hipótese, s-1∈S para todo elemento não nulo s∈S, tem-
se ts-1∈S ∀ s,t ∈S-{0}. Logo (S-{0}, . ) é um grupo e portanto (S,+, .) é um 
corpo.
TEOREMA 5. Se K1,K2,...,Kn são subcorpos de um corpo (K, +, . ) 
então K1∩K2∩... ∩Kn também é um subcorpo de (K, +, .). Este resultado 
também é válido para uma quantidade infinita de subcorpos.
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
EXEMPLOS
(1) Qualquer que seja o corpo (K, +, . )) , K é subcorpo de K. 
(2) Q é subcorpo dos corpos (R,+, .) e (C,+, . ). 
3) R é subcorpo do corpo (C,+ . .).
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. José Valter Lopes Nunes
41
TÓPICO 02: CORPO DE FRAÇÕES E HOMOMORFISMO DE CORPO
CORPO DE FRAÇÕES:
Seja (D,+, .) um domínio de integridade. Definimos, no produto 
cartesiano DxD-{0}, a relação "~" dada por (a,b)~(c,d) se e somente se 
ad=bc. Afirmamos que "~" é uma relação de equivalência.
De fato:
1. (a,b)~(a,b) pois ab=ba
2. (a,b)~(c,d) ⇒ ad=bc ⇒ cb=da ⇒ (c,d)~(a,b)
3. (a,b)~(c,d) e (c,d)~(e,f) ⇒ ad=bc e cf=de ⇒(ad)f=(bc)f e b(cf)=b(de) ⇒
(ad)f =b(de). Usando a comutatividade e a associatividade da multiplicação 
temos d(af)=d(be). Como d≠0 e D é um domínio de integridade temos af=be 
e então (a,b)~(e,f)
NOTAÇÃO: representaremos a classe de (a,b) por a/b e o conjunto 
quociente por Q.
LEMA 1: Se (a,b)~(r,s) e (c,d)~(u,v) então (ad+bc,bd)~(rv+su, sv)
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
DEFINIÇÃO: Se a/b e c/d pertencem a Q definimos a/b + c/d = 
(ad+bf)/bd, que é um elemento de Q pois bd≠0 já que b e d são diferentes 
de zero e D é um domínio de integridade. Pelo lema 1, a operação "+" está 
bem definida
LEMA 2: Se (a,b)~(r,s) e (c,d)~(u,v) então (ac,bd)~(ru, sv)
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
DEFINIÇÃO: Se a/b e c/d pertencem a Q definimos a/b . c/d = ac/bd, 
que é um elemento de Q pois bd≠0 já que b e d são diferentes de zero e D é 
um domínio de integridade. Pelo lema 2, a operação "." está bem definida
TEOREMA 1: O conjunto Q, munido das operações "+" e "." ,definidas 
acima, é um corpo, o qual é chamado de corpo de frações de D.
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO
Considere a função f: D → Q definida por f(a)=a/1. Mostra-se facilmente 
que f é um homomorfismo injetivo e daí D é isomorfo ao subanel f(D) de Q. 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 05: CORPOS
42
Assim, no ponto de vista algébrico, podemos considerar D como um subanel 
de Q, e é o que faremos a partir de agora.
Considerando D como sendo o anel dos inteiros obtemos seu corpo de 
frações como sendo o corpo dos números racionais.
HOMOMORFISMO DE CORPOS:
DEFINIÇÃO: Dados dois corpos (K, +, .) e (L, +, .) dizemos que uma 
aplicação f: K → L é um homomorfismo de corpos se f(x + y) = f(x) +f(y) e f
(x y) = f(x) f(y) para todo x,y → K. 
Proposição: Se (K, +, .) e (L, +, .) são corpos e f: K →L é um 
homomorfismo de corpos. Então f(x)=0 ∀ x∈K ou f é injetiva.
DEMONSTRAÇÃO
Olhando f como homomorfismo de anéis (K, +, .) e (L, +, .) o kerf 
é um ideal do anel (K, +, .), Como K é corpo seus únicos ideais são K e 
{0}. Se kerf =K então f(x)=0 ∀ x∈K. Se kerf = {0} f é injetiva.
Concluímos então, a partir da proposição acima, que os únicos 
endomorfismos interessantes de um corpo K são os automorfismos.
EXEMPLOS
Se (K, +, .) é um corpo a função identidade x→x é um 
automorfismo de K
Considere o corpo (Q(√3), +, .). A função f: Q(√3) → Q(√3) 
definida por f (a+b√3 )= a-b√3 é um automorfismo de Q(√3)
TEOREMA 2: O conjunto de todos os automorfismos de um corpo K, 
com a operação composição de funções, é um grupo
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO.
TEOREMA 3: Se L é uma extensão de K então os automorfismos de L 
que fixam os elementos de K, com a operação composição de funções, é um 
grupo, chamado de grupo dos automorfismos de L sobre K
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO.
FÓRUM
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ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
43
Poste no Portfólio da Aula 5, a demonstração dos teoremas 1, 2, 3 e 5 
do Tópico 1 , no Texto, e a solução dos exercícios 1, 2, 4, 6, 8 e 10 da lista 
de exercícios da Aula 5 que se encontra no material de apoio e que você 
pode obter no link Aula 5 (Visite a aula online para realizar download 
deste arquivo.).
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. José Valter Lopes Nunes
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
44
TÓPICO 01: POLINÔMIOS SOBRE UM ANEL. POLINÔMIOS SOBRE UM CORPO. ALGORITMO DA DIVISÃO
Seja R um anel. O conjunto das expressões formais f(x) do tipo com ai ∈
R e n ∈ N, na indeterminada x, será denotado R[x]. Os ai.i=0,1,...,n, são 
chamados de coeficientes de f(x). Cada f(x) ∈R[x] é chamado de polinômio 
com coeficientes em R. Se an≠0, dizemos que f(x) tem grau n e o coeficiente 
an é chamado de coeficiente líder de f(x). Usaremos a notação gr f(x) para 
denotar o grau do polinômio f(x). Se todos os coeficientes de f(x) são nulos f
(x) é chamado de polinômio nulo. Não definiremos o grau de um polinômio 
nulo. Se R é um anel com unidade e an = 1 dizemos que f(x) é mônico. Os 
polinômios do tipo f(x) = a0 são chamados de polinômios constantes. 
Se f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 e g(x) = bmx
m + bm-1x
m-1 + ... + b1x 
+ b0
então f(x)=g(x) se e somente se ai=bi ∀i∈{0,1,...,n}. 
Dados f(x)= an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 e g(x)= bm xm + bm-1 xm-1 + ... + b1
x + b0 pertencentes a R[x] definimos as operações “+” e “.” em R[x] por:
i) f(x)+g(x) = (as + bs)x
s + (as-1 + bs-1) x
s-1 + ... + (a1 + b1) x + (a0+ b0) 
onde ai = 0 para todo i > n e bi = 0 pata todo i > m. 
f(x).g(x)= cm+nx
m+n + cm+nx
m+n + ... + c0, onde ck=akb0+ak-
1b1+...+a1bk-1+a0bk para k=0,...,m+n
A partir destas definições temos gr (f(x)+g(x)) ≤máx {gr f(x), gr g(x)} e, 
se R é um domínio de integridade, gr (f(x).g(x)) = gr f(x) + gr g(x).
TEOREMA 1: Com as operações definidas acima R[x] é um anel. Se R 
é um anel com unidade então R[x] também é um anel com unidade. Se R é 
um domínio de integridade então R[x] também é um domínio de 
integridade. Particularmente, se K é um corpo então K[x] é domínio de 
integridade.
DEMONSTRAÇÃO: EXERCÍCIO.
DEFINIÇÃO: O anel R[x] é chamado anel dos polinômios com 
coeficientes em R ou anel dos polinômios sobre R.
A função g: R→R[x] que a cada a0∈R associa o polinômio constante f(x) 
= a0 é obviamente um homomorfismo injetivo, e daí R é isomorfo ao subanel 
g(R) dos polinômios constantes de R[x]. Assim, no ponto de vista algébrico, 
podemos considerar R como um subanel de R[X], e é o que faremos a partir 
de agora. A partir destas considerações e das propriedades das operações de 
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
AULA 06:POLINÔMIO
45
R[x] mostra-se facilmente que o conjunto das unidades de R[x] coincide com 
o conjunto das unidades de R, isto é, U(R[x])= U(R).
EXEMPLOS
1. 3x2+ 4x + 1 é um polinômio em Z[X], de grau 2.
2. X3+ x - 3 é um polinômio em Z[X], mônico e de grau 3. 
3. f(x) = x2+1 e h(x) = 2x+4 são polinômios em Z[x]. Temos f(x)+g(x)= 
x2+2x+5 e f(x).g(x)= 2x3+4x2+2x+4
Seja R um anel. Uma função g:R → R é chamada de função polinomial 
se existir um polinômio f(x)= an x
n + an-1 x
n-1 + ... + a1 x + a0∈ R[x] tal que, 
b∈ R, g(b)= an b
n + an-1 b
n-1 + ... + a1 b + a0 . Assim cada polinômio f(x)= an
xn + an-1 x
n-1 + ... + a1 x + a0∈ R[x] pode ser obviamente associado a uma 
função f de R em R, cujo valor em qualquer b∈R é an b
n + an-1 b
n-1 + ... + a1 b 
+ a0. Usaremos f para representar tanto a função como o polinômio e 
escreveremos f(b)= an b
n + an-1 b
n-1 + ... + a1 b + a0. Se f(b)=0 dizemos que b é 
um zero de f ou uma raiz da equação funcional f(x)