AD2-MEst_II-2013-2-gabarito (1)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AD2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2013
1. [2,0 pontos] O peso total de um pneu cheio pode afetar dramaticamente o desempenho
e a seguranc¸a de um carro. Alguns funciona´rios dos transportes argumentam que a
mecaˆnica deveria verificar os pesos dos pneus de todos os ve´ıculos como parte de uma
revisa˜o anual. Suponha que o peso de determinado tipo de pneu cheio seja distribu´ıdo
normalmente com desvio-padra˜o 1,25 libras. Em uma amostra aleato´ria de 15 pneus
cheios, a me´dia amostral foi x = 18, 75 libras. Ache um intervalo de confianc¸a de 95%
para o verdadeiro peso me´dio de pneus desse tipo. Certifique-se de indicar claramente a
margem de erro.
Soluc¸a˜o
x = 18, 75 n = 15 σ = 1, 25 1− α = 0, 95⇒ z0,05 = 1, 96
IC :
(
18, 75− 1, 96× 1, 25√
15
; 18, 75 + 1, 96× 1, 25√
15
)
= (18, 1174; 19, 3826)
2. (a) [1,0 ponto] Determine o tamanho da amostra necessa´rio para se estimar uma pro-
porc¸a˜o p de modo que o erro cometido na estimac¸a˜o seja de, no ma´ximo, 0,02, com
probabilidade de 95%.
(b) [1,0 ponto] Como mudaria sua resposta se lhe fosse dada a informac¸a˜o de que o
verdadeiro valor de p e´, no ma´ximo, 0, 4?
Soluc¸a˜o
(a) � = 0, 02 = 1, 96×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 1, 96× 0, 5
0, 02
= 49⇒ n = 2401
(b) � = 0, 02 = 1, 96×
√
0, 4× 0, 6
n
⇒ √n = 1, 96×
√
0, 24
0, 02
= 48, 01⇒ n = 2305
3. [0,5 ponto] Tendo em mente que a notac¸a˜o tn;α representa a abscissa da distribuic¸a˜o t
de Student com n graus de liberdade que deixa probabilidade α acima dela −P(t(n) >
tn;α) = α, determine:
(a) t15;0,01 Sol: 2,602
(b) t10;0,95 Sol: -1,812
(c) t21;0,5 Sol: 0
(d) t28;0,02 Sol: 2,154
(e) t14;0,98 Sol: -2,264
4. [1,0 ponto] Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t de Student
determine a abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
(a) P(t(18) > t) = 0, 01 Sol: 2, 552
(b) P(t(12) < t) = 0, 99 Sol: 2, 681
(c) P(t(19) < t) = 0, 05 Sol: −1, 729
(d) P(t(9) > t) = 0, 02 Sol: 2, 398
(e) P(t(13) > t) = 0, 5 Sol: 0
(f) P(|t(14)| > t = 0, 01 Sol: 2, 977
(g) P(|t(28)| ≤ t) = 0, 90 Sol: 1, 701
(h) P(|t(16)| > t) = 0, 04 Sol: 2, 235
(i) P(|t(14)| ≤ t) = 0, 98 Sol: 2, 624
(j) P(|t(8)| < t) = 0, 70 Sol: 1, 108
5. [2,0 pontos] Em cada um dos seguintes problemas, sa˜o dadas as seguintes informac¸o˜es:
me´dia amostral, tamanho amostral, n´ıvel de confianc¸a, desvio padra˜o populacional ou
amostral. Ache o intervalo de confianc¸a apropriado para a me´dia populacional.
(a) x = 93, 5 n = 12 σ = 3, 70 1− α = 90%
(b) x = 45, 1 n = 17 s = 2, 25 1− α = 80%
(c) x = −3, 4 n = 81 σ = 0, 35 1− α = 85%
(d) x = 0, 08 n = 24 s = 0, 01 1− α = 99%
(e) x = 4, 96 n = 27 s = 0, 23 1− α = 99, 9%
(f) x = 12, 1 n = 18 σ = 1, 37 1− α = 96%
(g) x = −2, 3 n = 23 s = 0, 27 1− α = 92%
(h) x = 8, 67 n = 41 σ = 1, 97 1− α = 98%
(i) x = 21, 5 n = 30 σ = 2, 34 1− α = 88%
(j) x = 14, 7 n = 19 s = 1, 65 1− α = 88%
Soluc¸a˜o
IC : x± �
(a) z0,05 = 1, 64 � = 1, 64× 3, 7√
12
= 1, 7517 IC : (91, 7484; 95, 2517)
(b) t16;0,10 = 1, 337 � = 1, 337× 2, 25√
17
= 0, 7296 IC : (44, 3704; 45, 8296)
(c) z0,075 = 1, 44 � = 1, 44× 0, 35√
81
= 0, 056 IC : (−3, 456;−3, 344)
(d) t23;0,005 = 2, 807 � = 2, 807× 0, 01√
24
= 0, 0057 IC : (0, 0743; 0, 0857)
(e) t26;0,0005 = 3, 707 � = 3, 707× 0, 23√
27
= 0, 1641 IC : (4, 7959; 5, 1241)
(f) z0,02 = 2, 05 � = 2, 05× 1, 37√
18
= 0, 662 IC : (11, 438; 12, 762)
(g) t22;0,04 = 1, 835 � = 1, 835× 0, 27√
23
= 0, 1033 IC : (−2, 4033;−2, 1967)
(h) z0,01 = 2, 33 � = 2, 33× 1, 97√
41
= 0, 7169 IC : (7, 9531; 9, 3869)
(i) z0,06 = 1, 56 � = 1, 56× 2, 34√
30
= 0, 6665 IC : (20, 8335; 22, 1665)
(j) t18;0,06 = 1, 632 � = 1, 632× 1, 65√
19
= 0, 6178 IC : (14, 0822; 15, 3178)
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6. Um Clube de Motociclistas realiza um rali, todo vera˜o. Ha´ MotoCross, subida de monta-
nha e corridas de curto percurso, e va´rias festas e motos. Em uma tentativa de conhecer
mais sobre os participantes, obteve-se uma amostra aleato´ria de entusiastas de motos.
Algumas das estat´ısticas sa˜o apresentadas na tabela que segue.
Tabela 1 – Dados sobre participantes do Clube de Motocilistas
Varia´vel Dados da amostra
Tamanho Me´dia Desvio-padra˜o
Idade dos homens (anos) 60 38,9 7,9
Idade das mulheres (anos) 40 35,6 4,5
Distaˆncia perccordia (milhas) 75 257,5 56,8
Suponha que as distribuic¸o˜es subjacentes sejam normais.
(a) [1,0 ponto] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para a verdadeira idade me´dia
de homens e mulheres que va˜o ao rali.
(b) [0,5 ponto] Ha´ alguma evideˆncia que sugira que a idade me´dia dos homens seja
diferente da idade me´dia das mulheres? Justifique sua resposta.
(c) [1,0 ponto] Ache um intervalo de confianc¸a de 99% para a verdadeira distaˆncia
me´dia de viagem para o rali. Interprete esse resultado.
Soluc¸a˜o
(a) Calculando a abscissa com a func¸a˜o INV.T do Excel, obtemos os seguintes resultados:
Homens
t59;0,025 = 2, 000995 � = 2, 000995× 7, 9√
60
= 2, 040786 IC : (36, 8593; 40, 9408)
Mulheres
t39;0,025 = 2, 022691 � = 2, 022691× 4, 5√
40
= 1, 4392 IC : (34, 1609; 37, 0392)
Usando a aproximac¸a˜o normal, o valor cr´ıtico para todos os treˆs intervalos sera´
z0,025 = 1, 96 e os resultados sera˜o
Homens
� = 1, 96× 7, 9√
60
= 1, 99898 IC : (36, 90102; 40, 89898)
Mulheres
� = 1, 96× 4, 5√
40
= 1, 39456 IC : (34, 20544; 36, 99456)
(b) Como os intervalos se sobrepo˜em, na˜o podemos afirmar que haja diferenc¸a entre as
idades me´dias de homens e mulheres.
(c) Com a abscissa calculada com a func¸a˜o INV.T e aproximada pela normal, os resul-
tados sa˜o, respectivamente:
t74;0,025 = 1, 992543 � = 1, 992543×56, 8√
75
= 13, 0685 IC : (244, 4316; 270, 5685)
� = 1, 96× 56, 8√
75
= 12, 85505 IC : (244, 64495; 270, 35505)
Estamos 95% certos de que o intervalo obtido contera´ o verdadeiro valor do paraˆmetro,
ou seja, se repet´ıssemos o procedimento va´rias vezes, o intervalo obtido incluiria o
verdadeiro valor do paraˆmetro em 95% das vezes.
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