APX1 Pré Calculo 2021.2 CEDERJ

Prévia do material em texto

APX1 - Pré-Cálculo para Engenharia - 2021-2
Orientações gerais
I
1. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. Caso contrário, serão desconsi-
deradas.
2. Preencha cada folha de resposta com NOME, MATŔICULA e POLO.
3. Escreva o total de folhas utilizadas.
4. Todas as respostas devem apresentar TODOS os cálculos.
5. Todas as respostas devem ser MANUSCRITAS. Questões digitadas receberão ZERO.
6. Use APENAS canetas AZUIS ou PRETAS.
7. Todos os arquivos devem estar no formato PDF.
8. É permitido o uso de folhas A4, folhas de caderno, ou qualquer tipo de papel que o
aluno ache conveniente.
9. Até 20 arquivos podem ser enviados, cada um com 2 Mb no máximo.
I
ATENCÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX1 – Pré-Cálculo para Engenharia – / /2021-2
Código da disciplina: EAD01073
Nome:
Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
Questão 1 [2,0 pts]
Elipses são locais geométricos muito importantes para aplicações na Engenharia e Ciência em geral.
Uma elipse é, por exemplo, o formato da trajetória de qualquer planeta em torno de sua estrela.
Definimos esta curva como segue: sejam F1 e F2 dois pontos (chamados de focos). A elipse é o
lugar geométrico dos pontos P no plano cuja soma das distâncias d1 (distância entre P e F1) e d2
(distância entre P e F2) é constante igual a 2a, com a > 0.
É posśıvel mostrar que uma elipse de largura com medida 2a e altura com medida 2b, centrada na
origem, é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem a equação
x2
a2
+ y
2
b2
= 1
Figura 1: Fonte:By Ag2gaeh - Own work, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=57428275
Responda os itens a seguir considerando a = 2 e b = 1.
a) [1,0 ponto] Resolva a equação para y sabendo que y ≥ 0 e também y < 0. Em ambos os casos,
determine os valores admisśıveis para x (para que a expressão encontrada por você faça sentido).
b) [1,0 ponto] Se um dos focos, F1 tem abcissa x =
√
3, determine os posśıveis valores de y
(ordenada) do ponto P , que é qualquer ponto da elipse com a mesma abcissa do referido foco F1.
Pré-Cálculo para Engenharia AP2 3
Determine também a distância entre P e o outro foco, F2. Use a figura e as propriedades da elipse
para auxiliar suas justificativas.
Questão 2 [3,0 pts]
Considere a expressão E(x) = (3x + 1)(2x− 1)(x + 1) .
Faça o que se pede:
(a)[0,5 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
(b) [1,5 pontos] Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada expressão escrita na tabela.
Observe que o estudo do sinal já foi feito para a expressão 3x + 1.
x < −1 −1 < x < −13 −
1
3 < x <
1
2 x >
1
2
3x + 1 −−−− −−−−− + + + + + +
2x− 1
x + 1
E(x) = (3x+1)(2x−1)(x+1)
(c) [1,0 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Questão 3 [2,0 pts]
Um conceito cient́ıfico que tem aparecido bastante nos debates atuais é a chamada imunidade de
rebanho para uma determinada doença. Sabe-se que cada patógeno (causadores de doenças trans-
misśıveis: v́ırus, bactérias, fungos, etc) possui uma taxa de transmissibilidade R0, que é o número
de pessoas que podem ser infectadas por uma única pessoa ou animal no peŕıodo infeccioso da doença.
Se uma determinada doença tem, por exemplo, R0 = 2, isto significa que um indiv́ıduo contaminado
pode infectar em média 2 entre cada 10 pessoas que ela encontra, ou seja, em média 20 por cento
das pessoas.
Áı entram as vacinas. Se, entre essas 10 pessoas, tivermos 4 vacinadas (assumindo de forma simplista
que a vacina irá proteger uma pessoa completamente) , as outras 6 ainda têm 20 por cento de pegar
a doença, mas em média o contaminado irá infectar 0, 2× 6 = 1, 2 indiv́ıduos. Quanto maior for o
número de pessoas vacinadas, menor será o número de contágios. Podemos generalizar o racioćınio
para obter uma fórmula que nos dê o percentual de pessoas que devem ser vacinadas para que as
infecções se reduzem a praticamente zero, que é a tal imunidade de rebanho. Se uma pessoa encontra
n indiv́ıduos e v é o número de pessoas vacinadas entre elas, o infectado contaminará
R0
n
(n− v)
pessoas, e queremos que este número seja igual a 1 (ou seja, o infectado original continua sendo a
única pessoa com a doença). Ou seja, temos a equação
R0
n
(n− v) = 1.
Responda os itens abaixo:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Pré-Cálculo para Engenharia AP2 4
(a) (0,5) Resolva a equação acima para v/n, que é o número de vacinados do total da população,
e determine a fórmula para a taxa de vacinação necessária a atingir a imunidade de rebanho.
Explique também o porquê de termos sempre R0 > 0, e o significado de R0 ≥ 1 e R0 < 1.
(b) (0,5) Se o v́ırus da caxumba tem R0 = 12 e o v́ırus da gripe influenza A (que causou a
pandemia de gripe espanhola no ińıcio do século XX) tem R0 = 2, determine as taxas de
vacinação para cada doença.
(c) (1,0) O v́ırus Sars-Covid-19 possui R0 que varia bastante de acordo com a região, e cientistas
estimam uma variação de entre 1, 4 e 2, 5. Estime a taxa de vacinação necessária para ambos
os casos, e também para a chamada Variante Delta, que é considerada 40 por cento mais
transmisśıvel do que o v́ırus original, causador da atual pandemia, considerando-se a estimativa
mais alta.
Questão 4 [1,5 pts] A tabela abaixo apresenta o preço da bandeirada (taxa fixa paga pelo passa-
geiro) e do quilômetro rodado em 4 capitais brasileiras no ano de 2010.
Capital Bandeirada (R$) km rodado (R$)
Boa V ista 2, 50 2, 86
V itória 3, 40 1, 85
Natal 3, 88 2, 02
Rio de Janeiro 4, 40 1, 60
A quantia gasta por um passageiro, em Boa Vista, ao percorrer 10km de táxi, permite pagar, no Rio
de Janeiro, uma corrida máxima de x quilômetros. Determine o valor máximo de x.
Questão 5 [1,5 pts] As retas r e s são perpendiculares entre si e interceptam-se no ponto (2, 0).
A reta s passa pelo ponto (0, 3). Uma terceira reta t é paralela a r e passa por (2, 3). Determine as
equações das retas r e t.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.