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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral Professora Ruth Exalta da Silva 3/7 RESOLUÇÃO LISTA # 01 – PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1) f(x) = QxP, onde Q = Quantidade de pés de laranja e P = Produção de cada laranjeira P = 600 – 10x e Q = 30 + x, onde x representa novas laranjeiras e 10x são as perdas Logo f(x) = (30 + x) (600 – 10x) f(x) = – 10x2 + 300x + 1 800 Derivando: f ’(x) = – 20x + 300, Como f ’(x) = 0, Então, – 20x + 300 = 0 x = 15 pés de laranja Derivada Segunda: f ’’(15) = – 20 Máximo Q = 30 + 15 Q = 45 pés de laranja P = 600 – 150 P = 450 laranjas por pé de laranja Produção = f(15) = (45)(450) Produção = 20 250 laranjas. 2) L(x) = R(x) – C(x), onde L = lucro total; R = receita total e C = custo total L(x) = – 2x2 + 8 000x Derivando: L’(x) = – 4x + 8000, Como L’(x) = 0, Então, – 4x + 8000 = 0 x = 2 000 unidades Derivada Segunda: L ’’(2000) = – 4 Máximo L(2000) = 8x106 Lucro Total = 8 milhões de Reais 3) A(x) = 2 )x1212( x (4x) A(x) = 48x – 2x 2 Derivando: A’(x) = 48x – 4x, Como A’(x) = 0, Então, 48 – 4x = 0 x = 12 cm Derivada Segunda: A’’(12) = – 4 Máximo A(12) = 288 cm2 4) AR = área do retângulo maior e Ar = área do retângulo menor, logo AT = 2AR + 2Ar AR(x) = (24 – 2x)(x) = 24x – 2x2 e Ar = (20 – 2x)(x) = 20x – 2x2 AT(x) = 2(24x – 2x2) + 2(20x – 2x2) AT(x) = 88x – 8x2 Derivando: AT’(x) = 88 – 16x, Como AT’(x) = 0, Então 88 – 16x = 0 Logo, x = 5,5 cm Derivada Segunda: A’’(5,5) = – 16 Máximo UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral Professora Ruth Exalta da Silva x 11 Km (11 – x) Km A B P W z y 30 – 2x x x’ = – 30 x’’ = 32 4/7 5) Custo no Mar = $ 106/Km e Custo em Terra = $ 0,5x106/Km Usando Pitágoras temos: z2 = x2 + 233 z = 27x2 Km C(x) = C(Mar) + C(Terra) C(x) = (106)z + 0,5(106)(11 – x) Transformando em milhão temos: C(x) = z + 0,5(11 – x) C(x) = 27x2 + 0,5(11 – x) Derivando temos: C ’ (x) = 2 1 27x x 2 C ’ (x) = 0 2 1 27x x 2 = 0 x = 3, logo x = 3 Km de A C(3) = 2732 + 4 C(3) = 10 Logo o Custo Mínimo = 10 milhões de Dólares 6) f(x) = x (30 – 2x) f(x) = 30x – 2x2 f ’ (x) = 30 – 4x f ’ (x) = 0 30 – 4x = 0 x = 7,5 x = 7,5 cm 7) L(x) = R(x) – C(x), onde x = quantidade; L = Lucro; R = Receita = 2800x; C = Custo L(x) = 2800x – x3 + 3x2 + 80x – 500 L’(x) = 2800 – 3x2 + 6x + 80 L’(x) = 0 → 2800 – 3x2 + 6x + 80 = 0 C(32) = R$ 27 636,00 R(32) = R$ 89 600,00 L(32) = 61 964,00 x UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral Professora Ruth Exalta da Silva 12 cm h r’ = 0 r’’ = 8/3 9) y x b a 2 cm 2 cm 4 cm 4 cm x = 5 cm b = 9 cm y = 10 cm a = 18 cm A = x 200x82x8 2 8 x 50 )r4(3h 4 12 r4 h 8) 5/7 4 cm 12 cm r 8) V = πr2h → V = πr2[3(4 – r)] → V = 12πr2 – 3πr3 V’ = 24πr – 9πr2 → 24πr – 9πr2 → 24πr – 9πr2 = 0 Logo o raio r = 8/3 cm 9) y = 0,005v2 – 0,6v + 26 → y’ = 0,01v – 0,6 a) Velocidade para o Consumo Mínimo → y’ = 0 → 0,01v – 0,6 = 0 → v = 60 Km/hora b) Consumo Mínimo → y = 0,005 x 602 – 0,6 x 60 + 26 → y = 8 litros c) Consumo Mínimo → y = 0,005 x 502 – 0,6 x 50 + 26 → y = 8,5 litros d) Consumo Mínimo → y = 0,005 x 702 – 0,6 x 70 + 26 → y = 8,5 litros e) Consumo Mínimo → y = 0,005 x 802 – 0,6 x 80 + 26 → y = 10 litros 10) y x x = 50 → y 50 x ou y = x 50 A = (y + 8)(x + 4) → A = (x + 4) A’ = 2 2 x 200x8 → 2 2 x 200x8 = 0 AExt = 162 cm 2 Área Interna = y x x = 50 m2 Área Externa = A = a x b a = y + 8 b = x + 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral Professora Ruth Exalta da Silva 3000 m 11) 3000 – x x y = 900 m z P Fábrica Usina vÁgua = 6 Km/h vAndando = 8 Km/h 3 Km B D C A x 8 – x 8 Km y = 3 Km z 6/7 R I O z = 22 x900 Custo = C(x) = 5z + 4(3000 – x) → C(x) = 5 22 x900 + 4(3000 – x) C’(x) = 4 x900 x5 22 → 4 x900 x5 22 = 0 → x = 1200 metros Custo = C(1200) = R$ 14 700,00 12) z2 = x2 + 32 → z = 2x9 Tempo = T = AndandoÁgua v x8 v z → T = 8 x8 6 x9 2 T’(x) = 8 1 x96 x 2 → 8 1 x96 x 2 = 0 → x = 3,40 Km Terra → 4,60 Km 13) v = 1 litro = 1 dm3 = 1000 cm3 v = πr2h → πr2h = 1000 → h = 2r 1000 Material = M(r) = 2πr2 + 2 πrh → Substituindo h → M(r) = 2πr2 + r 2000 M’(r) = 4πr – 2r 2000 → 4πr – 2r 2000 = 0 → r3 = 500 → r = 3 500 Logo, r = 5,42 cm e h = 10,84 cm UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral Professora Ruth Exalta da Silva 52 cm 40 cm x x x x x x x x Ө (x)cos(Ө) h = (x)sen(Ө) x x 12) Base Maior Base Menor x x 15) x → constante Base Maior = x + 2xcos(Ө) Base Menor = x z' = – 1 z’’ = ½ 7/7 14) Área da Base = ABase = (52 – 2x)(40 – 2x) → ABase = 4(x2 – 46x + 520) Volume V = ABase x x → V = 4(x2 – 46x + 520)x → V = 4(x3 – 46x2 + 520x) V’ = dx dV = 4(3x2 – 92x + 520) → 4(3x2 – 92x + 520) = 0 → x = 7,47 cm Área = A = h 2 )MenorBaseMaiorBase( A = )(xsen 2 )x)cos(x2x(→ A = )(xsen 2 )cos(x2x2 A = )(xsen 2 )]cos(1[x2 → A = x2sen(Ө)[1 + cos(Ө)] d dA = x2[(cos(Ө)x(1 + cos(Ө)) + sen(Ө))x(– sen(Ө))] → d dA = x2[(cos(Ө) + cos2(Ө) – sen2(Ө)] d dA = x2[(cos(Ө) + cos2(Ө) – (1 –cos2(Ө))] → d dA = x2[2cos2(Ө) + cos(Ө) – 1] x2[2cos2(Ө) + cos(Ө) – 1] = 0 → fazendo cos(Ө) = z → 2z2 + z – 1 = 0 → cos(Ө) = ½ → Ө = 3 radianos
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