Lista de Derivadas 2(UFOP)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Terceira lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral A - MTM 700
Professor: Vin´ıcius V. P. de Almeida
1. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo aplicando as regras de derivac¸a˜o:
a) f(x) = (x+ 2)2 b) f(t) =
√
2t
4t+ 1
c) g(s) =
s4 − 3s2 + 1
(2s+ 3)4
d) f(x) = log x2 + 6x e) f(x) = 42x−3 f) f(x) = e
1
x
g) f(x) = cossec (cos(x2 + 1))
2. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo aplicando as regras de derivac¸a˜o:
a) f(x) = e2xsenx b) f(x) = ln |cossecx− cotgx|
c) f(x) =
cos 2x
x
d) f(x) =
1
2
cossec 2x e) f(x) = arctgx
f) f(x) = arcsen
√
x g) f(x) = arctg
(
2x
1− x2
)
h) f(x) = x2 arccosx
i) f(x) = arcsen (x2 + 1) j) f(x) = arccos x
2
k) f(x) = ln |arctg3x|
l) f(x) = arccossec
√
x2 + 4 m) f(x) = ln2
(
x2 + e3
x3 + 1
)
n) f(x) =
(
x− 1
2− x
)x
o) f(x) = tg3x− sec3 x p) f(x) = eeex q) f(x) = f(x) = eln2(x2+1)2 .
3. Derive as func¸o˜es abaixo, simplificando suas respostas.
a) f(x) = −1
6
ln
(
3 + e−x
1 + e−3
)
+ 7x + pipi b) f(x) = x arctgx− 1
2
ln(1 + x2)
c) f(x) =
xpi + pix
xx + pipi
d) f(x) =
{
x2arcsen(1/x), se x 6= 0
0, se x = 0
e) f(x) =
x3 + 3x2 + 7
etgx
f) f(x) = arctg(cos
√
x) + 2xx2
g) f(x) = sen5(ln7 x3) h) f(x) =
ln x
cossecx
+ (x2 − x+ 1)cotgx
i) f(x) = earccos(5x+2) log3
(
x
x+ 1
)
j) f(x) = (lnx)cosx
k) f(x) = log3
(
3(5x
−3+2)arcsen7x
)
l) f(x) = sen2 (x2 + 1)− ln(2secx) + e
 x− 1
x2 + 1

.
4. Derive implicitamente:
a) 4x2 − 9y = 1 b) x√
y
− 4xy = x c) y3 + 2xy = ex4
d) (x+ y)2 − (x− y)2 = x3 e) x3 + y3 = 8xy f) 3√x+ 3√xy = 4y2
g) 4xy + ln(x2y) = 7 h) y = cos(x− y) i) 5y2 + 3 = x2sen 2y
j) xy + y cos x = 1 k) y = (1 + x)e
−x
l) cos y + ln(x2 + y2) = 2x
m) y = tghx3 + log3
√
x2 + 1 n) y = (x2 + cosx)(1+senx) o) x2 + y2 = 2x
p) x2y + xy2 = 6 q) yx+ cos y = 2x r) (x2 + 3y2)5 = 2xy
s) yseny = 1− xy t) y = y3 − xy + y3 + 1 u) xy + yx = pi.
2
5. Uma part´ıcula move-se ao longo de uma curva cuja equac¸a˜o e´
xy3
1 + y2
=
8
5
. Suponha que a
coordenada x esteja crescendo a uma taxa de 6m/s quando a part´ıcula estiver no ponto (1, 2).
Determine a taxa com que y estara´ variando neste instante.
6. Supondo que a equac¸a˜o 7y2 = xy3 + 4 defina, implicitamente, uma func¸a˜o diferencia´vel f tal que
y = f(x), determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto P = (3, 2).
7. Sejam a > b > 0 nu´meros reais e y = f(x) a func¸a˜o dada implicitamente pela equac¸a˜o
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
a) Mostre que f ′(x) =
b2x
a2y
para todo y 6= 0.
b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (x0, y0).
8. Se y(x) e´ a func¸a˜o definida implicitamente pela equac¸a˜o
√
x2 + y2 = xy. Mostre que:
a) y′ =
x(y2 − 1)
y(1− x2) .
b) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao ao gra´fico de y = f(x) no ponto (
√
2,
√
2).
9. Se y(x) e´ a func¸a˜o definida implicitamente pela equac¸a˜o 3
√
x3 + y3 = xy. Mostre que:
a) y′ =
x2(y3 − 1)
y2(1− x3) .
b) A reta normal ao gra´fico de y(x) no ponto ( 3
√
2, 3
√
2) passa pela origem.
10. Se y = ag(x), onde a e´ uma constante, a > 1, a 6= 1, e g e´ uma func¸a˜o deriva´vel para todo x,
deduza uma fo´rmula para y′.
11. Verifique se o ponto dado faz parte da curva e encontre as retas tangente e normal a` curva no
ponto dado:
a) x2y + xy2 − y2 = 1, (1, 1) b) x2y2 = 9, (−1, 3)
c) y2 − 2x− 4y − 1 = 0, (−2, 1) d) x2 cos2 y − seny = 0, (0, pi)
e) 2xy − piseny = 2pi, (1, pi/2) f) cos2 y + sen2x = 5
4
, (pi/3, pi/4)
12. Encontre, caso exista(m), o(s) intervalo(s) onde f ′(x) > 0, f ′(x) < 0 e o(s) ponto(s), caso
exista(m), onde f ′(x) = 0, sendo f a func¸a˜o dada por:
a) f(x) =
x2√
x2 − 1 b) f(x) =
x2 + 1
x
c) f(x) =
2x
x2 + 1
d) f(x) = x+
9
x
e) f(x) =
x3 − x+ 1
x2
f) f(x) =
x
x2 + 1
g) f(x) =
4− x2
x+ 3
h) f(x) =
x3
3− x2 i) f(x) =
(x− 2)3
x2
j) f(x) = x ln2 x k) f(x) = x
√
4− x2 l) f(x) = x2 − 1
x
m) f(x) = tgx− 2 sec x, x ∈ (−pi/4, pi/4) n) f(x) = √9− x2 o) f(x) = 2x− 3
p) f(x) =
x
2
− sen x, x ∈ (0, 2pi) q) f(x) = √x r) f(x) = arctgx
s) f(x) = cosx+ senx, x ∈ (0, 2pi) t) f(x) = x ln x u) f(x) = x
2
x2 + 4
.
3
13. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo aplicando as regras de derivac¸a˜o, simplificando ao
ma´ximo sua resposta:
a) f(x) = 3x
2
+ log3(x
2 + 1) + e2xsen(3x) +
cossec (2x)
2
.
b) f(x) = xarctg(x2) + ln(1 + x2)−1/2 + ln(2secx) + pi2 + xcosx.
c) f(x) =
x3 + e3
x3 + 1
+ cos2(x2 + 1) + arcsen(
√
x) + x arccos(x2).
d) f(x) = 2x
√
x+ 6x+ x2 + 2x + xx + logpi(x
2 + sec x+ tgx)pi.
e) f(x) = x3 + 4(2x
2−3) + 3ex
3 − eln(x+1)3 + arcsen(x2 + 1)
f) f(x) =
(
2 cos2
√
x2 + 1 + 2sen2
√
x2 + 1
)3
+ x arctgx2 − 3√3 cos x
g) f(x) = cossec (cosx) + etgx + sec(x2 + 1) + sen(arcsen (x2 + 3)7)
h) f(x) = ln
(
x2 + e3
x3 + pi
)
+
x− 1
3x2 + 2
− ln(1 + x2)−1/2 + pipi + log3 x2.
14. Seja y = f(x) a func¸a˜o que e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o ey = 3
√
y2 + 4x.
a) Mostre que y′ =
4
3e3y − 2y .
b) Determine a reta tangente ao gra´fico de f quando y = 0.