CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AVA2

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11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Avaliando
Aprendizado
 
Teste seu conhecimento acumulado
Disc.: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL   
Aluno(a): LINCONL PEREIRA DA SILVA 202312021797
Acertos: 1,8 de 2,0 11/01/2024
Acerto: 0,2  / 0,2
Seja a função f(x) = x2 - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao grá�co desta função. Uma das retas é
tangente ao ponto P(4,1). A outra tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de  ordenada
igual a -1 O ponto de tangência entre a segunda reta e o grá�co de f(x) tem coordenadas ( a , b), com a e b
reais. Determine o valor de a + b.
 3
2
5
6
4
Respondido em 11/01/2024 18:26:24
Explicação:
A resposta correta é: 3
 
Seja 
A reta tangente a f(x) será dada por:
onde
Derivando f(x):
Substituindo o P(4,1), temos:
Voltando na equação da reta tangente:
Substituindo o P(4,1), temos:
f(x) = x2 − 6x + 9
y = mx + n
m = d[f(x)]/dx
m = d[x2 − 6x + 9]/dx = 2x − 6
m = 2x − 6 = 2.4 − 6 = 2
y = mx + n = 2x + n
 Questão / 1
a
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javascript:voltar();
javascript:voltar();
11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Sabemos que a outra reta tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de ordenada -1. Logo,
O ponto de interseção é: (3,-1)
Sabemos que o ponto de tangência entre a segunda reta e o grá�co da f(x) tem coordenada (a,b), devemos determine
(a + b).
As retas tangentes ao grá�co da f(x) são simétricas em relação ao eixo das ordenadas, então partindo do ponto (4,1) a
segunda reta será tangente num ponto (x,1).
Para encontrar o valor de x, basta que façamos y = 1 na f(x), ou seja:
Como x¿=4 já é o ponto da primeira reta tangente, utilizamos x¿¿=2.
Portanto a segunda reta tem coordenada de tangencia à f(x) no ponto (2,1), logo:
Acerto: 0,2  / 0,2
Determine a família de funções representada por 
 , k real
, k real
, k real
, k real
, k real
Respondido em 11/01/2024 18:27:26
Explicação:
A resposta correta é:  , k real
Acerto: 0,2  / 0,2
y = 2x + n
1 = 2.4 + n
n = −7
y = 2x − 7
−1 = 2x − 7
x = 3
f(x) = x2 − 6x + 9
1 = x2 − 6x + 9
x2 − 6x + 8 = 0
x′ = 4 e x′′ = 2
a = 2;  b = 1
a + b = 3
∫ dx36
(x−1)(x+5)2
+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
+ 6ln|x + 5| − 6ln|x − 1| + k36
x+5
+ arctg(x − 1) − arctg(x + 5) + k1
x+5
− ln|x − 1| − ln|x − 5| + k36
x−5
+ ln|x + 5| − ln|x − 1| + k36
x−1
+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
 Questão / 2
a
 Questão / 3
a
11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Determine a integral da função g(x) = 4tg(x), limitada pelo eixo x e pela reta .
ln 2
 2 ln 2
ln 5
ln 3
2 ln 3
Respondido em 11/01/2024 18:29:26
Explicação:
A resposta correta é: 2 ln 2
Acerto: 0,0  / 0,2
Seja a função g(x) = 2x sen(x2) + 2 sen x + 4. Este grá�co apresenta uma reta normal no ponto de abscissa nula de
equação , p  e q reais , é normal ao grá�co da função no ponto de abscissa zero. Determine o
valor de 
 3
1
 6
4
5
Respondido em 11/01/2024 18:30:00
Explicação:
A resposta correta é: 3
 
Derivando a função g(x):
Derivando a primeira parcela:
Derivando a segunda parcela:
A derivada da terceira parcela é zero, pois é uma constante.
Portanto, a derivada da função g(x) é:
Agora, temos que encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse (x = 0).
Vamos substituir x = 0 na derivada g'(x) para encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse:
x = π
4
px + qy − 16 = 0
(p + q)/(q − p).
g(x) = 2xsen(x2) + 2sen(x) + 4
g′(x) = d/dx(2xsen(x2)) + d/dx(2sen(x)) + d/dx(4)
d/dx(2xsen(x2)) = 2sen(x2) + 4xcos(x2). d/dx(x2)
= 2sen(x2) + 4xcos(x2).2x
= 2sen(x2) + 8x2cos(x2)
d/dx(2sen(x)) = 2cos(x)
g′(x) = 2sen(x2) + 8x2cos(x2) + 2cos(x)
 Questão / 4
a
11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Inclinação da reta normal em x = 0:
Em seguida, encontrar a inclinação da reta normal no ponto de abscissa zero.
A reta normal é perpendicular à curva no ponto de tangência. Portanto, sua inclinação será o negativo do inverso da
inclinação encontrada anteriormente.
Encontrando a equação da reta normal.
Agora, usamos a fórmula da equação da reta:
onde é o ponto dado (0, g(0)) e "m" é a inclinação da reta normal.
Agora, ajustamos a equação para que a forma seja :
Portanto, temos que p = 1 e q = 2.
Queremos determinar:
Acerto: 0,2  / 0,2
O cálculo de integrais é uma ferramenta importante para calcular áreas, volumes e somas acumuladas. Calcule a
integral de�nida de f(x) = x² + 3x - 2 de 0 a 2.
8,67.
10,67.
2,67.
 4,67.
6,67.
Respondido em 11/01/2024 18:31:05
Explicação:
Para resolver a integral de�nida, é necessário calcular a antigerivaga da funçăo e, em seguida, avaliá-la nos limites de
integração.
A antiderivada de é:
Avaliando-a nos limites de integração de 0 a 2 , temos:
m = g′(0) = 2sen(02) + 8(0)2cos(02) + 2cos(0) = 2(0) + 8(0) + 2 = 2
Inclinação da reta normal  = −1/(inclinação da reta tangente) = −1/2
y − y0 = m(x − x0)
(x0, y0)
y − g(0) = (−1/2)(x − 0)
y − (2.0.sen(0) + 2.sen(0) + 4) = (−1/2)x
y − (0 + 2.0 + 4) = (−1/2)x
y − 4 = (−1/2)x
px + qy − 16 = 0
2y − 8 = −x
x + 2y − 8 = 0
(p + q)/(q − p) = (1 + 2)/(2 − 1) = 3/1 = 3.
f(x) = x2 + 3x − 2
F(x) = (1/3)x3 + (3/2)x2 − 2x
F(2) − F(0) = (1/3)8 + (3/2)4 − 4 − (1/3)0 − (3/2)0 + 0 = 4
 Questão / 5
a
11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Acerto: 0,2  / 0,2
Na engenharia, o cálculo de áreas entre funções é usado para determinar o volume de materiais em estruturas
complexas, como reservatórios, tanques de armazenamento e outras formas irregulares. Sabendo disso
determine o volume do solido de rotação, em unidade de volume (u.v.), da região A  em torno do eixo x, para os
seguintes critérios:
 
Respondido em 11/01/2024 18:31:58
Explicação:
Do enunciado tiramos os intervalos:
Desenhando as restrições das curvas, temos:
 
Onde A  representa a área que será rotacionada para gerar o sólido de revolução.
O volume será dado pela soma do volume de cada intervalo:
e
Calculado o volume de  :
A :
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
y = + 1  se  − 4 ≤ x < 0
y = √1 − x2  se 0 ≤ x ≤ 1
y = 0  se 1 ≤ x ≤ 4
x
4
.π
2
.1
2
.3π
2
.π
3
2π.
A1 : −4 ≤ x < 0
A2 : 0 ≤ x ≤ 1
A3 : 1 ≤ x ≤ 4
V = V1 + V2 + V3
V = ∫ b
a
π[f(x)]2dx
A1
 Questão / 6
a
11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Calculado o volume de  :
Calculado o volume de  :
O volume da terceira região vai ser zero, porque a função    não tem nada para rotacionar
Assim:
Acerto: 0,2  / 0,2
Umas das aplicações dos conceitos de derivada está na obtenção de retas tangentes e normais em um ponto.
Sabendo disso, determine a equação da reta normal a e a origem.
 
Respondido em 11/01/2024 18:33:30
Explicação:
V1 = ∫
b
a
π[f(x)]2dx = ∫
0
−4
π[ + 1]
2
dx = π ∫
1
−4
[ + + 1] dx
= π [ + + x]
∣
∣
∣
0
−4
= π[0] − π[ + + (−4)] = 0 − π [− + 4 − 4] =
V1 =
x
4
x2
16
2x
4
x3
16 ⋅ 3
x2
4 ⋅ 2
(−4)3
16 ⋅ 3
(−4)2
4 ⋅ 2
4
3
4π
3
4π
3
A2
V2 = ∫
b
a
π[f(x)]2dx = ∫
1
0
π[√1 − x2]
2
dx = π ∫
1
0
[1 − x2] dx = π [x − ]
∣
∣
∣
1
0
= π [1 − ] − π[0] = π [ ] − 0 =
V2 =
x3
3
1
3
2
3
2π
3
2π
3
A3
V3 = 0
V = V1 + V2 + V3 = + + 0 = = 2π
V = 2πu. v.
4π
3
2π
3
6π
3
y = x√9 + x2
y = x.
1
3
y = 3x.
y = x.
2
3
y = 2x.
y = 9x.
 Questão / 7
a
11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Aplicando o ponto :
Equação da reta:
Acerto: 0,2  / 0,2
Constantemente mais de uma técnica é empregada na resoluçäo de integrais. Dessa forma, determine o valor da
equação .
 π.
2π.
3π / 2.
π / 3.
0.
Respondido em 11/01/2024 18:34:39
Explicação:
Fica mais fácil resolver trabalhando com as derivadas de seno e cosseno ao invés de integrar diretamente:
Derivando , temos:
Logo
E a integral
y = x√9 + x2
v =x;u = 9 + x2
= u + x ⋅ ⋅
= (9 + x2) + x ⋅ ⋅ (9 + x2)
−
⋅ 2x
+ = m
dy
dx
dx
dx
1
2
d(u )
1
2
du
d (9 + x2)
dx
dy
dx
1
2
1
2
1
2
dy
1
2
x
(9 + x2)
1
2
(0, 0)
m = (9 + x2) + = (9 + 02) + = √9 = 3
1
2
x
(9 + x2)
1
2
1
2
0
(9 + 02)
1
2
y − y0 = m (x − x0)
y − 0 = 3(x − 0)
y = 3x
∫
π/3
0 3 + cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
sen(3x)/3
sen(3x)/3 = cos(3x)
∫ cos(3x)dx = sen(3x)/3
d
dx
∫ 3dx = 3x
 Questão / 8
a
11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Agora, juntando tudo temos:
Acerto: 0,2  / 0,2
Calcule a área da região limitada superiormente pela função , e inferiormente pela
função f(x) = x2.
 
Respondido em 11/01/2024 18:40:27
Explicação:
A resposta correta é: 
Acerto: 0,2  / 0,2
A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em diversas áreas de estudo e
em inúmeros contextos. Sabendo disso, determine a equação da reta tangente a e o ponto 
.
 
Respondido em 11/01/2024 18:39:08
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = 3x + sen(3x)/3|
x=
x=0 = π + sen(π)/3 − sen(0)/3 = π
π
2
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = π
g(x) = 8√x,x ≥ 0
36
3
64
3
75
3
45
3
56
3
64
3
y2 − 4xy = 12 (1, 6)
y = 3x + 3.
y = 6x + 3.
y = 7x + 1
y = 4x + 2.
y = 3x + 5.
 Questão / 9
a
 Questão / 10
a
11/01/2024, 18:41 Estácio: Alunos
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Explicação:
Aplicando o ponto :
Equação da reta:
y2 − 4xy = 12
− (4 ⋅ ⋅ y + 4 ⋅ x ⋅ ) =
2y − 4y − 4x = 0
= = m
dy2
dy
dy
dx
dx
dx
dy
dy
dy
dx
d(12)
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
4y
2y − 4x
(1, 6)
m = = = = 3
4y
2y − 4x
4 ⋅ 6
2 ⋅ 1 − 4 ⋅ 1
24
8
y − y0 = m (x − x0)
y − 6 = 3(x − 1)
y − 6 = 3x + 3
y = 3x + 3