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Derivada: Retas Secantes e Tangentes

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Capítulo 4
DERIVADA
Seja:
f : A −→ R
uma função definida num domínio A e x0 ∈ A. Suponha que para todo intervalo aberto I que
contenha x0, se tenha: I ∩ (A− {x0}) 6= ∅.
4.1 Retas Secantes
Da Geometria Analítica elementar sabemos que o coeficiente angular da reta, que passa pelos
pontos P = (x0, f(x0)) e q = (x, f(x)) é:
msec =
f(x)− f(x0)
x− x0
Fazendo a mudança h = x− x0, temos:
msec =
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
A reta secante ao gráfico de f , que passa por (x0, f(x0)) e (x0 + h, f(x0 + h)) é definida por:
y = msec (x− x0 − h) + f(x0 + h)
Observamos que h será usado como parâmetro. Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 4.1.
1. Determine as retas secante a f(x) = x2 − 3x− 4, no ponto (0,-4).
>with(plots):
>f:=x->x ˆ 2-3*x-4:
>x0:=0:
107
108 CAPÍTULO 4. DERIVADA
>p0:=[x0,f(x0)]:
>p1:=[x0+h,f(x0+h)]:
>h1:=[seq(5/i,i=1..50)]:
>m:=(f(x0+h)-f(x0))/h:
>s:=x->m*(x-x0-h)+f(x0+h):
>T:=seq(plot(f(x),s(x),x=-2..6,color=[blue,coral],thickness=[3,2],view=[-2..6,-10..10]),h=h1):
>display(T,insequence=true,frames=70);
Esta sequência de comandos, gera uma animação das secantes.
Figura 4.1: Dois frames do exemplo 1.
Observe que, se modificamos:
>h1:=[seq(5/i,i=1..50)]:
por:
>h2:=[seq(-5/i,i=1..50)]:
e
>T:=seq(plot(f(x),s(x),x=-6..6,color=[blue,coral],thickness=[3,2],view=[-6..6,-15..40]),h=h2):
>display(T,insequence=true,frames=70);
Esta sequência de comandos, gera uma animação das secantes, no sentido contrário.
4.1. RETAS SECANTES 109
Figura 4.2: Dois frames do exemplo 1.
2. Determine as retas secante a f(x) = sen(x), no ponto (
pi
2
, 1).
>with(plots):
>f:=x->sin(x):
>x0:=Pi/2:
>p0:=[x0,f(x0)]:
>p1:=[x0+h,f(x0+h)]:
>h1:=[seq(3/i,i=1..50)]:
>m:=(f(x0+h)-f(x0))/h:
>s:=x->m*(x-x0-h)+f(x0+h):
>T:=seq(plot(f(x),s(x),x=-.5..4,y=-1..1.5,color=[blue,red],thickness=[3,2]),h=h1):
>display(T,insequence=true,frames=70);
Esta sequência de comandos, gera uma animação das secantes.
110 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Figura 4.3: Dois frames do exemplo 1.
4.2 Reta Tangente
Com as hipóteses iniciais; considere P = (x0, f(x0)) e Qi = (xi, f(xi)) (i = 1, 2, 3......) pontos
no gráfico de f , P 6= Qi; seja r1 a reta secante que passa por P e Q1; seu coeficiente angular é:
m1 =
f(x1)− f(x0)
x1 − x0 .
Fixemos o ponto P e façamos o pontoQ1 se mover sobre o gráfico de f em direção a P , até um
novo ponto Q2 = (x2, f(x2)) tal que Q2 6= P . Seja r2 a reta secante que passa por P e Q2; seu
coeficiente angular é:
m2 =
f(x2)− f(x0)
x2 − x0 .
Suponha que os pontos Qi (i = 1, 2, 3......) vão se aproximando sucessivamente do ponto P
(mas sem atingir P ), ao longo do gráfico de f ; repetindo o processo obtemos r1, r2, r3, ..., retas
secantes de coeficientes angularesm1, m2, m3, ..., respectivamente.
Vamos supor que, a medida que os pontos Qi vão se aproximando cada vez mais do ponto P ,
osmi respectivos tendam a um valor limite constante, que denotaremos pormx0 .
Definição 4.1. A reta passando pelo ponto P e tendo coeficiente angular mx0 , é chamada reta tangente
ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).
Se
mx0 = limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
existe. Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico de f para qualquer ponto (x, f(x)):
4.2. RETA TANGENTE 111
mx = lim
t→0
f(x+ t)− f(x)
t
Assim,mx só depende x.
Definição 4.2. Se f for contínua em x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(x0, f(x0)) é:
y − f(x0) = mx0 (x− x0)
se o limite dado na definição anterior, existe.
Podemos gerar as retas tangentes ao gráfico de uma função, apenas modificando:
>m:=(f(x0+h)-f(x0))/h:
no traçado das retas secantes, por:
>m:=limit((f(x0+h)-f(x0))/h,h=0):
Ou, utilizamos a seguinte sintaxe:
>with(student):
>showtangent(função, x=ponto,opções);
Exemplo 4.2.
1. Seja f(x) = x2 − 3x− 4 e esbocemos as retas tangentes, nos pontos x = 0, −1, 1, −3, 3.
>with(student):
>with(plots):
>f:=x ˆ 2-3*x-4:
>a1:=showtangent(f,x=0,thickness=2):
>a2:=showtangent(f,x=-1,thickness=2):
>a3:=showtangent(f,x=1,thickness=2):
>a4:=showtangent(f,x=-3,thickness=2):
>a5:=showtangent(f,x=3,thickness=2):
>display(a1,a2,a3,a4,a5);
112 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Figura 4.4: Exemplo 1.
Para gerar uma sequência de retas tangentes, podemos utilizar:
>retan:=seq(showtangent(f1, x = i), i = -8 .. 8):
>display(lista, title = ‘ Retas Tangentes a f(x)‘)
Figura 4.5: Exemplo 1.
2. Seja h(x) = x (x2 − 1), façamos uma animação das retas tangentes à h = h(x).
>with(plots):
>h:=x*(x ˆ 2-1):
>g1:=limit((f(x+h)-f(x))/h, h = 0):
4.2. RETA TANGENTE 113
>g2 := subs(x = t, g1):
>g := unapply(g2, t);
g := t 7→ 3 t2 − 1
>ta :=f(t)+g(t)*(x-t);
ta := t 7→ t (t2 − 1)+ (3 t2 − 1) (x− t)
>animate(plot, [f(x), ta(t), x = -1.3 .. 1.3, color = [blue, red], thickness = [3, 2]], t = -1 .. 1,
frames = 50, view = [-1.3 .. 1.3, -.5 .. 1]);
Figura 4.6: Dois frames do exemplo 2.
Da definição, segue que a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) é:
y − f(x0) = − 1
mx0
(
x− x0
)
, se mx0 6= 0
Exemplo 4.3.
1. Considere h(x) = x (x2 − 1), façamos uma animação das retas normais à h = h(x).
>with(plots):
>h:=x*(x ˆ 2-1):
>g1:=limit((f(x+h)-f(x))/h, h = 0):
>g2 := subs(x = t, g1):
>g := unapply(g2, t);
g := t 7→ 3 t2 − 1
114 CAPÍTULO 4. DERIVADA
>no:=f(t)-(1/g(t))*(x-t);
no := t 7→ t (t2 − 1)− x− t
3 t2 − 1
>animate(plot, [f(x), no(t), x = -1.3 .. 1.3, color = [blue, red], thickness = [3, 2]], t = -1 .. 1,
frames = 50,view = [-1.3 .. 1.3, -.5 .. 1]);
Figura 4.7: Dois frames do exemplo 2.
O MAPLE 13, possui uma livraria que calcula, automaticamente, a reta tangente ao gráfico de
uma função, num ponto dado. A sintaxe é:
>with(Student[Calculus1]):
>Tangent(expressão,x=ponto);
Exemplo 4.4.
1. Determine a reta tangente à f(x) = arctg(x3 + x− 1), nos pontos x0 = −1, x = 0 e x0 = 1.
>with(Student[Calculus1]):
>p:=arctan(xˆ3+x-1):
>Tangent(p, x = -1);
2
5
x+ arctan(3) +
2
5
>Tangent(p, x = 0);
1
2
x− 1
4
pi
>Tangent(p, x = 1);
4.2. RETA TANGENTE 115
2x +
1
4
pi − 2
Verifique as respostas!
Figura 4.8: Exemplo 1.
2. Determine a reta tangente á f(x) =
x6 − 3x5 + x3 + x− 1
x4 + 1
, nos pontos x0 = −1, x0 = 0 e
x0 = 1.
>with(Student[Calculus1]):
>p:=(xˆ6-3*xˆ5+xˆ3+x-1)/(xˆ4+1):
>q:=seq(Tangent(p, x = i),i=-1..1);
−15
2
x− 7, x− 1, −3
2
x+ 1
Verifique as respostas! Para esboçar os gráficos, façamos:
>with(plots):
>s:={q}:
>a1 := plot(p, x = -2 .. 2, color = blue, thickness = 3):
>a2 := plot(s, x = -2 .. 2, thickness = [2, 2, 2]):
>display(a2, a1, view = [-2 .. 2, -4 .. 5]);
116 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Figura 4.9: Exemplo 2.
4.3 Funções Deriváveis
Definição 4.3. Seja f : A −→ R uma função definida num domínio A e x0 ∈ A. Suponhamos que para
todo intervalo aberto I que contenha x0, se tenha: I∩(A−{x0}) 6= ∅. f é derivável ou diferenciável
no ponto x0 quando existe o seguinte limite:
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
Fazendo a mudança t = x− x0, temos:
f ′(x0) = lim
t→0
f(x0 + t)− f(x0)
t
.
f ′(x0) é chamada a derivada de f no ponto x0. Como x0 é um ponto arbitrário, podemos
calcular a derivada de f para qualquer ponto x ∈ Dom(f);
f ′(x) = lim
t→0
f(x+ t)− f(x)
t
Assim f ′ é função de x e f ′(x0) ∈ R.
Definição 4.4. Uma função f é derivável (ou diferenciável) em A ⊂ R, se é derivável ou diferenciável
em cada ponto x ∈ A.
Outras notações para a derivada de y = y(x) são:
dy
dx
ouD(f).
4.4. SINTAXES QUE ENVOLVEMA DERIVADA 117
4.4 Sintaxes que envolvem a Derivada
A sintaxe da derivada de uma função ou uma espressão, é:
>diff(função,variável);
Como no caso dos limites, podemosreescrever as derivadas, em forma mais didática, utili-
zando a sintaxe:
>Diff(função,variável)=diff(função,variável);
OMAPLE, possui todas as regras de derivação, por exemplo:
A regra do produto:
>Diff(f(x)*g(x),x)=diff(f(x)*g(x),x);
d
dx
(f (x) g (x)) =
(
d
dx
f (x)
)
g (x) + f (x)
(
d
dx
g (x)
)
A regra do quociente:
>Diff(f(x)/g(x),x)=diff(f(x)/g(x),x);
d
dx
(
f (x)
g (x)
)
=
(
d
dxf (x)
)
g (x)− f (x) ddxg (x)
(g (x))2
Para derivadas sucessivas, utilizamos:
>diff(função,variável$n);
onde n é a ordem da derivada.
Exemplo 4.5.
1. Determine as 7 primeiras derivadas de f(x) = ln(x); digitamos:
>seq(diff(ln(x), x$n),n=1..7);
1
x
, − 1
x2
,
2
x3
, − 6
x4
,
24
x5
, −120
x6
,
720
x7
De forma alternativa, podemos digitar:
>diff(ln(x),x), diff(ln(x),x$2), ...., diff(ln(x),x$7);
2. Calcule a n-ésima derivada de f(x) = e2x; digitamos:
>Diff(exp(2*x),x$n)=diff(exp(2*x),x$n);
118 CAPÍTULO 4. DERIVADA
dn
dxn
e2 x = 2ne2 x
3. Calcule a n-ésima derivada de f(x) = sen(x); digitamos:
>Diff(sin(x),x$n)=diff(sin(x),x$n);
dn
dxn
sin(x) = sin(x+
1
2
npi)
Pode explicar o resultado?
4. Estude a diferenciabilidade de:
f(x) =


x
1 + e1/x
se x 6= 0
0 se x = 0
A função é contínua em R e diferenciavél se x 6= 0; logo, o único ponto problemático é x = 0.
>plot(f, x = -1 .. 1, view = [-1 .. 1, -0.4 ..0.4], axes = box, thickness = 3, color = blue,discont=true);
Figura 4.10: Gr afico de f .
>f1:=x->x/(1+exp(1/x)):
>p:=f1(h)/h;
p :=
1
1 + e1/h
>Limit(p,h->0,left);
1
>Limit(p,h->0,right);
4.4. SINTAXES QUE ENVOLVEMA DERIVADA 119
0
Logo, a função f não é derivavél em x = 0. A função f deve ter uma quina na origem.
5. Estude a diferenciabilidade de: h(x) = arctg
(x+ 1
x− 1
)
.
Note que a função não é contínua em x = 1, logo, não é derivável em x = 1. Por outro lado:
>h:=x->arctan((x+1)/(x-1)):
>p:=simplify(diff(h(x),x));
p := − 1
1 + x2
>Limit(p,x=1,left)=limit(p,x=1,left);
lim
x→1−
− 1
1 + x2
= −1
2
>Limit(p,x=1,right)=limit(p,x=1,right);
lim
x→1+
− 1
1 + x2
= −1
2
Pode explicar o resultado?
>plot(p, x = -2 .. 3, discont = true, thickness = 3, color = blue);
Figura 4.11: Exemplo 5.
6. Esboce a reta tangente e a reta normal a f(x) = x3 − 5x + 1, no ponto x0 = 1; digitamos:
>with(plots):
>f:=x->x ˆ 3 -5*x+1:
120 CAPÍTULO 4. DERIVADA
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unnaply(p,x);
h := x 7→ 3x2 − 5
>ta:=f(1)+h(1)*(x-1);
ta := −1− 2x
>no:=f(1)-(1/h(1)) *(x-1);
no := −7
2
+
1
2
x
>a1:= plot(no(x), ta(x), x = -8 .. 8, y = -8 .. 8, color = [coral, red], thickness = [2, 2]):
>a2 := plot(f(x), x = -3 .. 3, color = blue, thickness = 3):
>display(a1,a2);
Figura 4.12: Exemplo 6.
7. (Serpentina de Newton). Seja f(x) =
8x
x2 + 1
:
(a) Determine os pontos do gráfico onde o coeficiente angular é igual a 3.
(b) Determine as equações das retas tangente e normal nos pontos de (a).
(a) Digitamos:
>f:=x->8*x/(x ˆ 2 +1):
>simplify(diff(f(x),x)):
4.4. SINTAXES QUE ENVOLVEMA DERIVADA 121
>m:=unapply( ,x);
m := x 7→ −8 x
2 − 1
(x2 + 1)2
>with(RealDomain):
>solve(m(x)=3,{x});
{x = −1
3
√
3}, {x = 1
3
√
3}
>x0=-sqrt(3)/3,x1:=sqrt(3)/3:
>ta:=z->f(z)+m(z)*(x-2):
>no:=z->f(z)-(1/m(z))*(x-2):
>ta0:=ta(x0);
ta0 := −
√
(3) + 3x
>ta1:=ta(x1);
ta1 := 3x +
√
3
>no0:=no(x0);
no0 := −19
9
√
3− 1/3x
>no1:=no(x1);
no1 :=
19
9
√
3− 1/3x
122 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Figura 4.13: Exemplo 7.
4.4.1 O Operador Diferencial
O operador diferencial D calcula a derivada de operadores e não de funções. Não confundir
com diff, que calcula a derivada de funções. O argumento e o resultado deD são operadores.
A sintaxe é:
D(expressão,variável);
A derivada de ordem n, tem a seguinte sintaxe:
>D@@n;
Exemplo 4.6.
1. Note a diferenças:
>D(g @f);
(D (g) ◦ f)D (f)
>diff(g @f);
Error, invalid input: diff expects 2 or more arguments, but received 1
>diff((g @f)(x),x);
D (g) (f (x))
d
dx
f (x)
4.4. SINTAXES QUE ENVOLVEMA DERIVADA 123
2. Digite
>D(f)(x);
D (f) (x)
>convert( , diff);
d
dx
f (x)
agora, se digitamos:
>D(f)(0);
D (f) (0)
>convert( , diff);
d
dt1
f(t1)
∣∣∣∣
t1=0
3. Digite
>D(arctan);
z 7→ 1
1 + z2
Pode explicar?
4. Digite:
>Id:=x->x:
>H:=Id+D-D@@2+6*D@@3-D@@4;
Id +D −D(2) + 6D(3) −D(4)
H deve ser aplicado em funções, por exemplo:
>f:=x->sin(3*x):
>H(f)(x);
−71 sin(3x)− 159 cos(3x)
AgoraH(f) é uma função e pode ser calculada em algum valor:
>H(f)(Pi);
124 CAPÍTULO 4. DERIVADA
159
Considere:
>g:=x->xˆ2*cosh(x):
>H(g)(x);
−x2 cosh(x) + 38x cosh(x) + 7x2 sinh(x)− 14 cosh(x)− 12x sinh(x) + 36 sinh(x)
>H(g)(0);
−14
No exemplo 3, podemos calcular:
>D(arctan)(Pi);
1
1 + pi2
4.5 Regra da Cadeia
Sejam f e g funções, tais que g ◦ f esteja bem definida. Se f é derivável em x e g é derivável em
f(x), então g ◦ f é derivável em x e:
(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x)
Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x = f(t), nas hipóteses do
teorema, temos que:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
OMAPLE já tem a regra da cadeia:
>Diff((g @f)(x),x)=diff((g @ f)(x),x);
d
dx
g (f (x)) = D (g) (f (x))D (f) (x)
Exemplo 4.7.
1. Calcule a derivada de f(x) = ln(cos(α(x))); digitamos:
>p:= ln(cos(alpha(x))):
>Diff(p, x)=diff(p, x);
4.6. DERIVAÇÃOS IMPLÍCITA 125
d
dx
ln (cos (α (x))) = −sin (α (x))
d
dxα (x)
cos (α (x))
2. Calcule a derivada de f(x) = arctg(α(x))); digitamos:
>p:= arctan(alpha(x)):
>Diff(p, x)=diff(p, x);
d
dx
arctan (α (x)) =
d
dxα (x)
1 + (α (x))2
3.Calcule y′ se y = x4 − 2x3 + 2 e x = x(t) = t sen(t).
>f:=x->xˆ4 -2*x ˆ 3+2:
>x:=t->t*sin(t):
>h:=f(x(t)):
>simplify(diff(h,x)
2 (sin (t))2t2
(
−2 (cos (t))2 t+ 2 sin (t) cos (t) t2 − 3 t cos (t) + 2 t− 3 sin (t)
)
4.6 Derivaçãos Implícita
Seja F (x, y) = 0 uma equação nas variáveis x e y.
Definição 4.5. A função y = f(x) é definida implicitamente pela equação F (x, y) = 0, quando
F (x, f(x)) = 0.
Em outras palavras, quando y = f(x) satisfaz à equação F (x, y) = 0.
Se F (x, y) = 0, define implicitamente, uma função derivável y = f(x), a sintaxe para calcular a
derivada da função definida implicitamente é:
>implicitdiff(expressão, y, x);
onde y é a variável dependente e x a variável independente. Em geral:
>implicitdiff({f1,...,fm}, {y1,...,yn}, x1,...,xk) ;
Observemos que nada garante que uma função definida implicitamente seja contínua, deri-
vável, etc. Na verdade, nem sempre uma equação F (x, y) = 0 define implicitamente alguma
função. Por exemplo, considere a seguinte equação:
x3 y6 + x3 tg(x y2) + ln(x+ y) + sen(x) = 0.
126 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Exemplo 4.8.
Calcule a derivada das funções definidas implícitamente, se y = f(x) é uma função derivável:
1. x3 − 3x2 y4 + y3 = 6x + 1; digitamos
>F:=x ˆ 3 - 3*x ˆ 2 *y ˆ 4 +y ˆ 3 =6*x+1:
> implicitdiff(F, y, x);
2− x2 + 2x y4
y2 (1− 4x2 y)
2. x2 + x y + x sen(y) = y sen(x); digitamos
>F:=x ˆ 2+x*y +x*sin(y)=y*sin(x):
> implicitdiff(F, y, x);
−−2x− y − sin (y) + y cos (x)−x− x cos (y) + sin (x)
O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pela
forma implícita é derivável. Mas, para os exemplos e exercícios, sempre consideraremos esta
exigência satisfeita.
Exemplo 4.9.
1. (Folium de Descartes). Ache a equação da reta tangente à função definida implicitamente
por:
x3 + y3 = 6x y,
no ponto (3, 3).
>F:=x ˆ 3 +y ˆ 3 =6*x*y:
> implicitdiff(F, y, x);
−x2 + 2 y
y2 − 2x
>m := subs(x = 3, y = 3, );
m := −1
>ta:=3+m*(x-3);ta := 6− x
>with(plots):
4.6. DERIVAÇÃOS IMPLÍCITA 127
>a1:=implicitplot(F=0,x=-5..7,y=-6..6,thickness=3,color=blue,gridrefine=3):
Pesquise a opção gridfine.
>a2 := plot(ta(x), x = -4 .. 7, thickness = 2):
>display(a1,a2);
Figura 4.14: Folium de Descartes.
2. (Lemniscata de Bernoulli). Ache a equação da reta tangente à função definida implicita-
mente por:
2 (x2 + y2)2 = 25 (x2 − y2),
no ponto (3, 1).
>F:=2*(x ˆ 2 +y ˆ 2)ˆ 2 =25*(x ˆ 2-y ˆ 2):
> implicitdiff(F, y, x);
−x
(
4x2 + 4 y2 − 25)
y (4x2 + 4 y2 + 25)
>m := subs(x = 3, y = 1, );
m := − 9
13
>ta:=1+m*(x-3);
ta :=
40
13
− 9
13
x
>with(plots):
>a1:=implicitplot(F, x = -4 .. 4, y = -2 .. 4, thickness = 3, color = blue, gridrefine = 3):
128 CAPÍTULO 4. DERIVADA
>a2 :plot(ta(x), x = -4 .. 6, y = -2 .. 4, thickness = 2):
>display(a1,a2);
Figura 4.15: Lemniscata de Bernoulli.
4.7 Aproximação Linear
É intuitivo pensar que uma função derivável restrita a um pequeno intervalo contido em seu
domínio "comporta-se"como uma função polinomial do primeiro grau.
Por exemplo, consideremos y = f(x) = x2. Estudando f num pequeno intervalo contendo
x = 1, por exemplo I = [0.99, 1.01], obtemos:
x f(x)
0.99 0.9801
0.999 0.998001
1 1
1.001 1.0002001
1.01 1.0201
A reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1 é dada por y = 2x − 1; seu coeficiente angular
é 2. Determinemos os coeficientes angulares das retas passando pelos pontos (0.999, f(0.999)),
(1, f(1)) e (1.001, f(1.001)), (1, f(1)), respectivamente:
m1 =
f(1)− f(0.999)
1− 0.999 = 1.9990
m2 =
f(1.001) − f(1)
1.001 − 1 = 2.0010.
m1 e m2 são valores bastante próximos de 2. Observe que se |x − 1| → 0 (x perto de 1), então
f(x) = x2 fica próxima de y = 2x− 1. De fato:
4.7. APROXIMAÇÃO LINEAR 129
lim
x→1
|f(x)− y| = lim
x→1
|x2 − 2x + 1| = 0.
Isto nos leva a estabelecer a seguinte definição:
Definição 4.6. Seja y = f(x) uma função derivável em x0. A aproximação linear de f em torno de x0
é denotada por l(x) e definida por:
l(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0)
se x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0 pequeno.
A função l(x) também é chamada linearização de f ao redor ou em torno do ponto x0.
A proximidade de f(x) e l(x) nos permitirá fazer algumas aplicações.
A notação para f(x) próxima a l(x) é f(x) ≃ l(x). O erro da aproximação é E(x) = f(x)− l(x)
e satisfaz à seguinte condição:
lim
x→x0
∣∣ E(x)
x− x0
∣∣ = lim
x→x0
∣∣f(x)− f(x0)
x− x0 − f
′(x0)
∣∣ = 0.
A sintaxe, para determinar a linearização de uma função, é a mesma que para achar a reta
tangente. De fato, a linearização de f(x) ao redor do pointo x0 é:
>f:=x->expressão:
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unnaply(p,x):
>l:=x->f(x0 )+h(x0 )*(x-x0 );
Exemplo 4.10.
1. Se f(x) =
1
(1 + 2x)4
representa a temperatura num arame, calcule aproximadamente a
temperatura f(0.01).
Vamos determinar l(x) = f(0) + f ′(0)x:
>x0=0:
>f:=x->1/(1+2*x)ˆ4:
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unapply(p,x):
>l:=x->f(x0)+h(x0)*(x-x0);
130 CAPÍTULO 4. DERIVADA
l := x 7→ 1− 8x
>l(0.01);
0.92
Note que:
1
(1 + 2x)4
≃ l(x) = 1− 8x,
no intervalo (−ε, ε), tal que ε > 0 (pequeno). Como 0.01 ∈ (−ε, ε), temos:
f(0.01) ≃ l(0.01) = 0.92 graus
Figura 4.16: Aproximação linear de f do exemplo 1.
2. Se f(t) = e0.3x representa o crescimento de uma população de bactérias, calcule a população
de bactérias para x = 20.012.
Vamos determinar l(x) = f(20) + f ′(20) (x − 20); então:
>x0=20:
>f:=x->exp(3*x):
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unapply(p,x):
>l:=x->f(x0)+h(x0)*(x-x0);
l := x 7→ 403.42 + 121.02 (x − 20)
4.7. APROXIMAÇÃO LINEAR 131
>l(20.012);
404.87
Figura 4.17: Aproximação linear de f do exemplo 2.
3. Calcule, aproximadamente (1.001)7 − 2 3
√
(1.001)4 + 3.
Considere a função f(x) = x7 − 2 3
√
x4 + 3 e x = 1.001. Então, para x0 = 1, temos:
>x0=1:
>f:=x->xˆ 7-2*root(xˆ4,3):
>p:=diff(f(x),x):
>h:=unapply(p,x):
>l:=x->f(x0)+h(x0)*(x-x0);
l := x 7→ 1
3
(13x − 7)
>l(1.001);
2.00433
132 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Figura 4.18: Aproximação linear de f do exemplo 3.
4.8 Aproximação de Ordem Superior
De forma análoga à aproximação linear podemos definir, em uma vizinhança do ponto x0,
uma aproximação quadrática, aproximação cúbica, etc. É possível verificar que o erro destas
aproximações é cada vez menor ao redor de um pequeno intervalo em torno de x0.
Definição 4.7. Seja f ∈ C4. A aproximação quadrática e a aproximação cúbica de f em torno de x0 são
denotadas e definidas por:
q(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2
c(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2 + f
(3)(x0)
3!
(x− x0)3.
se x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0 pequeno.
As aproximações linear, quadrática e a cúbica são casos especiais do chamado polinômio de
Taylor.
4.9 Polinômio de Taylor
Seja f uma função n vezes derivável no ponto x0.
Definição 4.8. O polinômio de Taylor de ordem n, (n = 0, 1, 2, ....), no ponto x0 é denotado por Pn(x)
e definido por:
Pn(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k
= f(x0) + f
′(x0) (x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2 + ......... + f
(n)(x0)
n!
(x− x0)n
4.9. POLINÔMIO DE TAYLOR 133
onde f (0) = f .
O polinômio de Taylor é aplicado para aproximar uma função em uma vizinhança de umponto
x0, conforme foi feito na definição 4.7 acima. A aproximação gera um resto, cuja expressão
contém derivadas da função de ordens superiores àquelas usadas para formar o polinômio de
Taylor. Assim, para aproximar uma função por seu polinômio de Taylor de ordem n, em uma
vizinhança de x0, devemos, pelo menos, exigir que as derivadas da função, até ordem n, sejam
contínuas e que a derivada de ordem n+ 1 exista, numa vizinhança de x0. Por isso, na sintaxe,
abaixo, para achar o polinômio de Taylor de ordem n, inclui n+ 1.
A sintaxe para determinar o polinômio de Taylor ao redor de x0, de ordem n, é:
>taylor(função,x=x0,n+1);
Exemplo 4.11.
1. Determine o polinômio de Taylor de ordem 10, no ponto x0 = 0, de f(x) = sen(x).
>taylor(sin(x),x=0,11);
x− 1
6
x3 +
1
120
x5 − 1
5040
x7 +
1
362880
x9 +O
(
x11
)
A expressão O(x11) envole derivadas da func cão f de ordem maior ou igual a 11 e que repre-
senta o erro cometido na aproximação polinomial fa função.
2. Determine o polinômio de Taylor de ordem 6, nos pontos x0 = 0 e x = −1, de f(x) = ex.
>taylor(exp(x),x=0,7);
1 + x+
1
2
x2 +
1
6
x3 +
1
24
x4 +
1
120
x5 +
1
720
x6 +O
(
x7
)
>taylor(exp(x),x=-1,7);
e−1 + e−1 (x + 1) +
1
2
e−1 (x+ 1)2 +
1
6
e−1 (x + 1)3 + 1
1
24
e−1 (x + 1)4 +
1
120
e−1 (x+ 1)5 +
+
1
720
e−1 (x+ 1)6 +O
(
(x+ 1)7
)
A sintaxe para obter as aproximações é:
>s:=taylor(função,x=x0,n+1):
>p:=simplify(convert(s,polynom));
>aprox:=unapply(p,x);
No MAPLE 13, podemos utilizar a seguinte sintaxe:
134 CAPÍTULO 4. DERIVADA
>with(Student[Calculus1]):
>p:=TaylorApproximation(função, x = ponto, order = a ordem de aproximação);
>aprox:=unapply(p,x);
Exemplo 4.12.
1. Determine a aproximação de ordem 4 de f(x) =
x
1 + x2
, ao redor de x0 = 0.
>f:=x/(1+xˆ2):
>s:=taylor(f,x=0,5);
s := x− x3 +O (x5)
p:=simplify(convert(s,polynom));
p := x− x3
>aprox:=unapply(p,x);
aprox := x 7→ x− x3
Figura 4.19: Gráfico de f(x) (azul) e da aproximação (vermelho).
2. A proporção de lâmpadas de sódio que falham após x horas de uso é dada por:
P (x) = 1− 10000
(x + 100)2
.
Determine a proporção de lâmpadas que falham após 99 horas de uso.
4.9. POLINÔMIO DE TAYLOR 135
Faremos diversas aproximações:
>with(Student[Calculus1]):
>f:=1-10000/(x+100)ˆ 2 :
>p1:=TaylorApproximation(f,x=100,order=1);
p1 :=
1
2
+
1
400
x
>p2:=TaylorApproximation(f,x=100,order=2);
p2 :=5
16
+
1
160
x− 3
160000
x2
>p3:=TaylorApproximation(f,x=100,order=3);
p3 :=
3
16
+
1
100
x− 9
160000
x2 +
1
8000000
x3
>l:=unapply(p1,x);
l := x 7→ 1
2
+
1
400
x
>q:=unapply(p2,x);
q := x 7→ 5
16
+
1
160
x− 3
160000
x2
>c:=unapply(p3,x);
c := x 7→ 3
16
+
1
100
x− 9
160000
x2 +
1
8000000
x3
Logo:
>evalf(l(99));
0.7475
>evalf(q(99));
0.74748125
>evalf(c(99));
0.747481250
136 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Figura 4.20: Aproximação linear e quadrática, respectivamente.
Figura 4.21: Aproximação cúbica.
3. Calcule, aproximadamente (1.1)2 ×√10− 1.12, utilizando uma aproximação de ordem 5.
Considere a função f(x) = x2
√
10 − x2 e x = 1.1. Então, para x0 = 1, temos:
>g:=xˆ 2 *sqrt(10-xˆ 2):
>p:=TaylorApproximation(g,x=1,order=5);
p := − 125
4374
+
295
2187
x+
2125
729
x2 +
466
2187
x3 − 1025
4374
x4 − 1525
39366
x5
>apro:=unapply(p,x);
apro := x 7→ − 125
4374
+
295
2187
x+
2125
729
x2 +
466
2187
x3 − 1025
4374
x4 − 1525
39366
x5
>apro(1.1);
4.10. ERROS DE APROXIMAÇÃO 137
3.587400047
Figura 4.22: Gráfico de f(x) (azul) e da aproximação (vermelho).
4.10 Erros de Aproximação
É possível provar que, se f ∈ Cn+1([a, b]) e x0 ∈ (a, b), então:
f(x) = Pn(x) +Rn(x), ∀x ∈ [a, b]
onde:
Rn(x) =
(x− x0)n+1
(n+ 1)!
f (n+1)(ν), ν ∈ (x1, x2)
onde x1 = min{x0, x} e x2 = max{x0, x}. Se |f (n+1)(x)| ≤M para todo x ∈ [a, b], temos que:
E(x) ≤ |x− x0|
n+1 M
(n+ 1)!
E(x) = |f(x)−Pn(x)| é o erro da aproximação. A função Rn = Rn(x) é dita resto de Lagrange;
no MAPLE é denotado, por O((x − x0))n. Note que para n = 0 temos o Teorema do Valor
Médio.
Exemplo 4.13.
1. Determine o erro cometido ao calcular ln(1.00013), utilizando aproximação de ordem 4.
>g:=ln(x):
>p:=TaylorApproximation(g,x=1,order=4);
p := 4x− 25
12
− 3x2 + 4
3
x3 − 1
4
x4
138 CAPÍTULO 4. DERIVADA
>q:=diff(p,x$5);
q :=
24
x5
Note que q ≤ 24 se x ≥ 1, logo:
>R4:=24*abs(x-1)ˆ5 /5!;
R4 :=
1
5
|x− 1|5
>simplify(subs(x = 1.00013, R4));
7.425860000 × 10−21
Figura 4.23: Gráficos de f(x) (varmelho) e apro(x) (azul).
2. Determine o erro cometido ao calcular
√
e, utilizando aproximação de ordem 8.
>g:=exp(x):
>p:=TaylorApproximation(g,x=0,order=8);
p := 1 + x + 1/2x2 + 1/6x3 + 1/24x4 +
1
120
x5 +
1
720
x6 +
1
5040
x7 +
1
40320
x8
>q:=diff(p,x$9);
q := ex
Note que, se 0 < x < 1, então ex < e < 3, logo:
>R8:=3*xˆ9 /9!;
R8 :=
1
120960
x9
4.10. ERROS DE APROXIMAÇÃO 139
>simplify(subs(x = 0.5, R8));
1.614686673 × 10−8
Figura 4.24: Gráficos de f(x) (varmelho) e apro(x) (azul).
3. Determine o erro cometido ao calcular cos(1.570791), utilizando aproximação de ordem 5.
>evalf(Pi/2);
1.570796327
>g:=cos(x):
>p:=TaylorApproximation(g,x=Pi/2,order=5);
p := −x+ 1
2
pi + 1/6x3 − 1/4x2pi + 1/8xpi2 − 1/48pi3 − 1
120
x5 + 1/48x4pi − 1
48
x3pi2+
+
1
96
x2pi3 − 1
384
xpi4 +
1
3840
pi5
>q:=diff(p,x$6);
q := −cos(x)
Note que, se |cos(x)| ≤ 1,
>R5:=abs(x-Pi/2)ˆ 6 /6!;
R5 :=
1
720
|x− 1
2
pi|6
>simplify(subs(x =1.570791, R5));
3.173684014 × 10−35
140 CAPÍTULO 4. DERIVADA
Figura 4.25: Gráficos de f(x) (varmelho) e apro(x) (azul).
4. Usando o polinômio de Taylor, em x0 = 0, aproxime 3
√
e, com um erro inferior a 10−5.
Pelo visto no exemplo 2.
>Rn:=n->3ˆ(-n)/(n+1)!;
Rn := x 7→ 3
−n
(n+ 1)!
>convert(Rn( 1) < 10ˆ(-5), ’truefalse’);
false
>convert(Rn( 3) < 10ˆ(-5), ’truefalse’);
false
>convert(Rn( 5) < 10ˆ(-5), ’truefalse’);
true
>p:=TaylorApproximation(exp(x),x=0,order=5);
p := 1 + x+
1
2
x2 +
1
6
x3 +
1
24
x4 +
1
120
x5
evalf(subs(x = 1/3, p))
1.395610425
4.10. ERROS DE APROXIMAÇÃO 141
Figura 4.26: Gráficos de f(x) (varmelho) e da aproximação (azul).
142 CAPÍTULO 4. DERIVADA
4.11 Exercícios
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abs-
cissa dada:
(a) y = ln(x2), x = 1
(b) y = tg(x + 1), x = −1
(c) y = sen((x + 1)pi), x = 0
(d) y = 3
√
ex, x = 0
(e) y =
x
x3 + 1
, x = 1
(f) y =
1√
x2 + 1
, x = 1
(g) y =
x5 − 1
x4 + 1
, x = −1
(h) y =
1
x2 (x4 + 1)
, x = 1
2. Determine as equações das retas tangentes à curva y = x2, nos pontos de abscissa x = ±3.
3. Determine o ponto onde a curva y = x3 tem tangente paralela à reta tangente à mesma
curva no ponto de abscissa x = 4. Determine a equação da reta tangente nesse ponto.
4. Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de
abscissas dadas:
(a) y = tg(−x2 + 1), x = 1
(b) y = e−
1
x , x = −1
(c) y = cos(
x
2
), x = 0
(d) y = arccos(2x), x = 0
(e) y =
x5 + 1
x4 + 1
, x = 1
(f) y = sen(ex), x = ln(pi)
(g) y = ln(x2 + 1), x = 1
(h) y = (4x3 + 3x+ 1) ln(x), x = 1
5. Sabendo que as curvas y = 4x2 e y = −x−1 tem retas tangentes paralelas com abscissa
comum, determine-as.
6. Determine f ′(x) se:
(a) f(x) = (x2 + x+ 1) (x3 + x) (x + 1)2
(b) f(x) = (x5 + x3 + 1)3
(c) f(x) =
( x+ 2
3x + 1
)
(x2 + 2)
(d) f(x) =
(x3 + 1
x2 − 3
)
(x4 − 2x3 + 1)
7. Calcule as derivadas das funções:
(a) y = 5x−1
(b) y = (10x + 10−x)2
(c) y = log5(x2)
(d) y = x log4(x)− x
(e) y = ln(
x
x+ 1
)
(f) y = ln(cosh(x))
(g) y = ln(10x)
4.11. EXERCÍCIOS 143
(h) y = ln(log10(x))
(i) y = sen(ex)
(j) y = ex sen(ln((x)))
(k) y =
√
x3 + 2
(l) y =
(x+ 4
x+ 7
)6
(m) y = xx−1
(n) y = 3ln(x)
(o) y =
ex (x3 − 1)√
2x+ 1
(p) y = (x2)x
(q) y = xx
2
(r) y = x
1
x
(s) y =
(
sen(x)
)x
(t) y = xe
x
(u) y =
(
cos(x)
)sen(x)
(v) y =
(
ln(x)
)ln(x)
(w) y =
√
1− tg2(x)
(x) y =
√
2− cos2(x)
(y) y =
1
cos(2x)
(z) y = arcsen
(x
3
)
8. Supondo que a equação dada define implicitamente y = f(x), calcule
dy
dx
. :
(a) x3 + y3 = 5
(b) x3 + x2y + y2 = 0
(c)
√
x +
√
y = 10
(d) y3 =
x− y
x+ y
(e) 3 cos2(x+ y) = 7
(f) tg(y) = x y
(g) ey = x+ y
(h) ln(y2 + x) = y3 − x2
(i) (x+ y)2 = (x− y)2
(j) (x2 − y2)2 = y2 + x2
(k) sen(x y) = x cos(y)
(l) ln(y − x) = ln(y + x)
(m) e−2x−y = 5 + ln(x)
(n) ln(y x) = exy
(o) ln
(y
x
)
= e
x
y
(p) cos(y x2) = sen(y x2)
(q) x y2 + 3 tg(y) = x y
(r) x arctg(y) + y arctg(x) = 1
9. Supondo que a equação dada define implicitamente x = g(y), calcule
dx
dy
. :
(a) x3 + y3 = 5
(b) x3 + x2y + y2 = 0
(c)
√
x +
√
y = 10
(d) y3 =
x− y
x+ y
(e) 3 cos2(x+ y) = 7
(f) tg(y) = x y
(g) ey = x+ y
(h) ln(y2 + x) = y3 − x2
(i) (x+ y)2 = (x− y)2
(j) (x2 − y2)2 = y2 + x2
(k) sen(x y) = x cos(y)
(l) ln(y − x) = ln(y + x)
(m) e−2x−y = 5 + ln(x)
(n) ln(y x) = exy
(o) ln
(y
x
)
= e
x
y
(p) cos(y x2) = sen(y x2)
(q) x y2 + 3 tg(y) = x y
(r) x arctg(y) + y arctg(x) = 1
144 CAPÍTULO 4. DERIVADA
10. Determine os pontos da curva x2 + 2x y + 3 y2 = 3 nos quais as retas tangentes nesses
pontos sejam perpendiculares à reta x+ y = 1.
11. Determine a segunda e terceira derivada de:
(a) y = 6
√
x
(b) y = x−5
(c) y = sen(x2)
(d) y = tg2(x)
(e) y = sen2(x) + cos(x)
(f) y =
x
2 (x + 1)
(g) y =
(
1 +
1
x
)2
(h) y =
x√
x2 − 1
(i) y =
ex
x
(j) y = cos(sen(x))
(k) y = ln(ln(x))
(l) y = arctg(sen(x))
(m) y = sec(
√
x)
(n) y = arcsec(x2)
(o) y = arccotgh(x3 + 1)
12. Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada:
(a) y = 3x4 − 2x, n = 5
(b) y =
√
3− x2, n = 10
(c) y =
1
x− 1 , n = 14
(d) y = e2x+1, n = 12
(e) y = ln(2x), n = 14
(f) y = −2 cos(x
2
)
, n = 15
(g) y = sen(ax),n
(h) y = ln
(1
x
)
, n = 10
(i) y = x ex, n
(j) y = x cosech(ln(x)), n = 10
(k) y = x arctgh(x) − ln(√1− x2), n = 4
(l) y = cosh9(x), n = 6
(m) y = arcsenh(ex), n = 4
(n) y = ln(sech(x)), n = 5
(o) y = senh(cosh(x)), n = 38
(p) y = x
(
sen(ln(x))− cos(ln(x))),
n = 10
(q) y = ln
(1 + sen(x)
1− sen(x)
)
, n = 5
13. Seja y = a ex + b e−x + c x + x5, verifique que:
x3 y(3) + 5x2 y′′ + (2x− x3) y′ − (2 + x2) y = 40x3 − 4x5.
14. Calcule y′′(x) se:
(a) x4 + y4 = 16
(b) x2 + 6x y + y2 = 8
(c) x2 y2 = (y + 1)2(y − y2)
(d) y2 = x3 (2− x)
(e) sen(y) + sen(x) + sen(x y) = x
(f) cos(y)− sen(x) = x
15. Determine a aproximação, linear, quadrática e cúbica, no ponto x0 = 0, das seguintes
funções:
4.11. EXERCÍCIOS 145
(a)
x
x2 + 1
(b) x2 cos(x)
(c) arctg(x2 + 1)
(d)
√
x + 3
(e) e−2x
(f) 3
√
x+ 1
(g)
x
x2 + 1
(h) ln(x3 + 5x + 5)
(i) (4x3 + 3x− 1)7
16. Esboce, no mesmo referencial, as aproximações obtidas no ítem anterior.
17. Calcule, utilizando aproximação de ordem 10, o valor de:
(a) 3
√
0.12668
(b) 10
√
102340.462380
(c) sen(610)
(d) (1.0022546)7 + sen(1.0024589 × pi)
(e) 3
√
(8.014567)4 − 1
3
√
8.0194623
(f) 22.0025783
18. Use o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x) = sen(x) em x0 =
pi
6
para achar o
valor aproximado de sen(31o). Avalie o erro e esboce a função e a aproximação nomesmo
referencial.
19. Use o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f(x) = sen(x) em x0 = 0 para achar o
valor aproximado de sen(2o). Avalie o erro e esboce a função e a aproximação no mesmo
referencial.
20. Use o polinômio de Taylor de ordem 4 da função f(x) = cos(x) em x0 = 0 para achar o
valor aproximado de cos(2o). Avalie o erro e esboce a função e a aproximação no mesmo
referencial.
21. Use o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f(x) = ln(x + 1) em x0 = 0 para achar
o valor aproximado de ln(1.56783). Avalie o erro e esboce a função e a aproximação no
mesmo referencial.
22. Usando o polinômio de Taylor, em x0 = 0, determine uma aproximação de sen
( pi
11
)
, com
erro inferior a 3× 10−4.
23. Usando o polinômio de Taylor, em x0 =
pi
4
, determine uma aproximação de cos(46o), com
erro inferior a 10−5.
24. Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta
varia de 10 cm para 10.1 cm.
146 CAPÍTULO 4. DERIVADA
25. Mostre que a função logística:
L = L(t) =
A
1 + C Ae−rt
satisfaz à equação
dL
dt
= C L
(
1− L
A
)
Se L = L(t) representa o crescimento populacional, quando a população se estabiliza?
26. A redução de oxigênio na água de uma lagoa, devido ao despejo de esgoto, só volta a
níveis normais t dias após o despejo do esgoto. Sabendo que a quantidade de oxigênio
que permanece, após t dias é dada por:
P (t) = 500
t2 + 10 t + 100
t3 + 20 t2 + 200
,
medido em% do nível normal de oxigênio, determine a velocidade com que a quantidade
de oxigênio está sendo reduzida, após 1, 10, 20 e 50 dias após o despejo.
27. A frequência da vibração da corda de um violino é dada por
f =
1
2L
√
T
ρ
,
onde L é o comprimento da corda, T é a tensão sobre a corda e ρ é densidade linear de
massa da corda. Determine a taxa de varição de f em relação a L (com T e ρ constantes);
a taxa de varição de f em relação a T (com L e ρ constantes); a taxa de varição de f em
relação a ρ (com L e T constantes) e interprete os resultados.

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