GAAL ALGEBRA LINEAR TEXTO 03 ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS

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Universidade Salvador – UNIFACS 
GAAL - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
Cursos de Engenharia 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Algebra Linear 
 
Texto 03: Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais 
 
Espaços Vetoriais 
 
Introdução 
Os espaços vetoriais constituem o objeto de estudo da Álgebra Linear. No curso de 
Geometria Analítica foram estudados os conjuntos de vetores no plano e no espaço. 
Lembremos que duas operações foram definidas nestes conjuntos 
1. A adição de vetores 
 
 
2. Multiplicação por um escalar 
 
 
 
 
 
Estas duas operações gozam de determinadas propriedades e são as mesmas operações que 
estão também definidas, por exemplo, no conjunto das matrizes de ordem m x n em R , 
como foi visto anteriormente. 
Vamos agora generalizar esta estrutura apresentada no conjunto dos vetores do espaço e das 
matrizes m x n. O conceito de vetor vai ser estendido estabelecendo-se as propriedades 
mais usuais dos vetores como axiomas. 
 
Definição: Seja V  . V é dito um espaço vetorial se e somente se: 
I. Está definida uma adição em V que associa a cada par de elementos u e v um 
único elemento em V, indicado por u + v e chamado de soma de u com v, que 
satisfaz as seguintes propriedades:  u, v, w  V: 
 2 
i ) u + v = v + u , ( comutativa) 
ii) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w, ( associativa) 
iii)  0  V; 0 + u = u + 0 = u, ( 0 é chamado de elemento neutro ) 
iv)  u  V,  – u  V; u + (– u ) = 0 ( – u é chamado de elemento oposto) 
II. Está definida uma multiplicação por escalar que associa a cada escalar  de R e 
cada elemento v um único vetor v, em V, que goza das seguintes propriedades, 
 ,  R,  u, v  V 
v) (u) = ()u 
vi) (+) u = u + u 
vii) (u + v ) = u + v 
viii)  1 R; 1.u = u 
 
Observações: 
1. O espaço vetorial definido anteriormente em que os escalares considerados são 
números reais é chamado de espaço vetorial real ou espaço vetorial sobre R 
2. Podemos também considerar na definição, os escalares sendo números complexos e 
neste caso o espaço vetorial é chamado de espaço vetorial complexo. 
3. Só iremos trabalhar nesse curso com espaços vetoriais reais. 
 
Exemplos: 
1. V = R. O conjunto dos números reais é um espaço vetorial real. 
2. V = R2 é um espaço vetorial real 
V = R
2
 = {(x,y); x, y  R } é o conjunto dos pontos do plano. Um par ordenado (x, y) 
tanto pode ser interpretado como um ponto do plano ou como um vetor do plano (vetor 
localizado na origem ) 
3. V = R3 é um espaço vetorial real. 
V= {(x,y,z); x, y, z  R } é o conjunto dos pontos do espaço. Um terno ordenado 
(x, y, z) pode ser interpretado geometricamente como um ponto do espaço ou como 
um vetor do espaço (vetor localizado na origem ). 
 
 3 
Embora nossa visualização geométrica não se estenda além do espaço tridimensional, 
podemos considerar muitas das propriedades algébricas e numéricas estendendo-as a 
espaços, além do tridimensional. A idéia de se utilizar pares de números para situar pontos 
no plano e ternos de números para situar pontos no espaço se consolidou em meados do 
século XVII e é a idéia básica da Geometria Analítica . Na segunda metade do século 
XVIII os matemáticos e físicos perceberam que poderiam usar seqüências com quatro, 
cinco, n números, para representar pontos num espaço de dimensão maior. É o que 
formalizamos no exemplo a seguir 
 
4. Se n é um inteiro positivo, dizemos que uma seqüência 
 nxxx ,...,, 21
 de números 
reais é uma n-upla ordenada. O conjunto de todas as n-uplas ordenadas é chamado de 
espaço n-dimensional e denotado por R
n
. 
V = 
 Rx);x,...,x,x(R in21
n 
, com as operações: 
     nn2211n21n21 yx,...,yx,yxy,...,y,yx,...,x,x 
 
   n21n21 x,...,x,xx,...,x,x   
é um espaço vetorial real 
 
5. V = 
)R(Mmxn
- conjunto das matrizes de ordem m x n com elementos em R é um 
espaço vetorial real com as operações de adição de matrizes e multiplicação de uma 
matriz por um escalar, já definidas. 
Por exemplo, consideremos 












 Rw,z,y,x;
wz
yx
)R(MV 2
com as operações 
usuais definidas no conjunto das matrizes 
Adição:




















2121
2121
22
22
11
11
wwzz
yyxx
wz
yx
wz
yx 
Multiplicação por escalar: 












wz
yx
wz
yx



 
O conjunto V = M2(R) (matrizes dois por dois com elementos reais ) satisfaz a todos os 
axiomas de espaço vetorial 
 4 
6. V = 
)R(Pn
- conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n, com coeficientes em 
R, com as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por uma escalar 
 
n
nn1100
n
n10
n
n10 x)ba(...x)ba()ba()xb...xbb()xa...xaa( 
 
 
n
n10
n
n10 xa...xaa)xa...xaa(   
 
7. Toda reta que passa pela origem é um espaço vetorial. 
No plano temos {(x,y)  R2; y = kx } 
 
 
 
 
 
8. Todo plano que passa pela origem é um espaço vetorial 
{(x,y,z)  R3; ax + by + cz = 0, para a, b e c  R} 
 
Contra-Exemplos 
 
1. W = { (x, y)  R2, x  0 e y  0 } com as operações definidas em R2, não é espaço 
vetorial pois não fecha com a multiplicação por escalar ( Considere  = – 1 ) 
 
2. W = { (x, y)  R2, x + y = 1 } Não tem elemento neutro da adição. Se considerarmos 
também dois pontos sobre a reta, por exemplo, ( 1, 0 ) e ( 0, 1 ) a soma ( 1, 1 ) não está 
sobre a reta. 
 
3. W = { (x, y, z)  R3, x + y + z =1 } Não tem elemento neutro da adição. Se 
considerarmos dois pontos sobre o plano, a soma não está sobre o plano. ( Dê 
exemplo!) 
 
4. Generalizando: retas e planos que não passam pela origem não são espaços vetoriais 
 
 5 
Propriedades Gerais do Espaço Vetorial 
Seja V um espaço vetorial real. As seguintes propriedades são conseqüências imediatas da 
definição de espaço vetorial: 
P1 )  R, 0  V, 0 = 0 
P2)  u  V, 0  R, 0u = 0 
P3 ) Para   R, e u  V, u = 0   = 0 ou u = 0 
P4 )   R, u  V, (-  ) u = (-u) = - (u) 
 
Observação: Definimos a diferença entre dois vetores u e v como u – v = u + ( – v ) 
 
P5 )  ,   R, u e v  V temos 
( - ) u =u - u e  (u – v) = u - v 
P6 ) u  V , – ( u) = u 
P7 ) u, v e w  V, u + w = v + w  u = v ( Cancelamento da adição) 
 
Observações: 
1. As propriedades anteriores mostram que podemos operar com vetores em relação à 
adição e multiplicação por escalar como se estivéssemos operando com números 
reais. 
Exemplo: Se u, v são elementos de algum espaço vetorial, 3( u + v )  2u = u + 3v. 
 
2. Além das propriedades anteriores temos que o elemento neutro da adição ( vetor 
nulo) e o elemento oposto são únicos 
 
 
 
 
 
 6 
 
Subespaço VetorialÀs vezes é necessário se detectar dentro de um espaço vetorial subconjuntos W que são, 
eles próprios, espaços vetoriais. Vimos, por exemplo, que as retas que passam pela origem 
( no plano ) são espaços vetoriais que estão contidos no R
2
 e planos que passam pela 
origem são espaços contidos no R
3
. 
 
Exemplo: Consideremos V = R
2
 e W = { (x, y)  R2; y = kx } = { (x, kx)  R2 } 
W é uma reta passando pela origem 
W é também um espaço vetorial 
 ( x, kx) + ( x1, kx1) = ( x+x1, kx + kx1) = (x+x1, k(x + x1))  W 
Esta operação satisfaz de i) a iv) da definição de espaço vetorial 
 (x, kx) = (x, kx)  W 
Esta operação satisfaz de v) a viii) da definição de espaço vetorial 
 
Um subconjunto de um espaço vetorial V que é, ele mesmo, um espaço vetorial em relação 
às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em V, recebe um nome 
especial: subespaço de V 
 
Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W de V , W , é um subespaço 
vetorial de V se e somente se 
1)  u, v  W, u + v  W 
2)    R, u,  W, u  W 
 
Observações: 
1. As condições da definição acima garantem que ao operarmos em W não obtemos um 
vetor fora de W. Com isto W é também espaço vetorial e as propriedades que são 
válidas em V também são em W pois W  V. 
 7 
2. Qualquer subespaço vetorial W de V contém necessariamente o vetor nulo. De fato pela 
condição 2 da definição de subespaço 0.u = 0  W 
 
3. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços W = V e W = { 0 }. estes 
subespaços são chamados de subespaços triviais de V 
 
4. Para mostrar que um subconjunto W de V ( W  V ) é um subespaço de V não 
precisamos testar todos os axiomas de espaço vetorial. Basta verificar se as operações 
de adição e multiplicação por escalar estão fechadas em W, ou seja, somando dois 
elementos em W, o resultado está em W e multiplicando um escalar por um elemento 
de W o resultado está em W. Além disso, um bom teste inicial é verificar se W contém 
o vetor nulo, pois, caso contrário, W não é espaço vetorial ( Ver item 2 ). 
 
Exemplos 
1. V = R2 e W = { (x, y) ; y = kx } – retas passando pela origem 
2. V = R3 e W = { (x, y, z) ; ax + by + cz = 0 } – planos passando pela origem 
De fato: 
1) Considerando ( x,y,z) e (x1,y1,z1)  W temos que ax+by+cz = 0 e 
ax1 + by1 + cz1 = 0,. Assim, ( x,y,z) + (x1,y1,z1) = (x + x1,y + y1,z + z1)  W, 
pois a(x + x1)+b(y + y1)+c(z + z1) = (ax+by+cz) + (ax1 + by1 + cz1 ) = 0 
2) Considerando   R e (x,y,z)  W temos que (x,y,z) = (x, y, z)  W 
 pois a (x) + b( y) + c( z)) = (ax+by+cz) = 0 = 0 
 
3) V = M2x2( R ) e W 












(R)M
c0
ba
2x2
o conjunto das matrizes triangulares 
superiores( ou inferiores) de ordem 2 
1) 
W
cc0
bbaa
c0
ba
c0
ba
1
11
1
11



















 
2) 
W
c0
ba
c0
ba














 
 8 
 
4) Consideremos o conjunto-solução W de um sistema homogêneo de ordem 3 e 
V = M3x1( R ). O sistema pode ser dado na forma matricial por AX= 0, sendo A uma 
matriz m x 3. 
1) Se X1 e X2  W, então AX1 = 0 e AX2 = 0. Logo, A(X1+X2) = AX1+AX2 = 0+0 = 0 
e portanto X1 + X2  W 
2) Seja X  W e   R. Então A(X)= AX = .0 = 0 Logo, X  W 
 
Geometricamente temos que cada espaço solução W pode ser: 
i) Um plano que passa pela origem 
Exemplo: 








0963
0642
032
zyx
zyx
zyx
 escalonando obtemos 









 
0000
0000
0321
  x –2y +3z = 0 
 
ii) Uma reta que passa pela origem 
Exemplo: 








0642
0873
032
zyx
zyx
zyx
 escalonando obtemos 










0000
0110
0501
  





0
05
zy
zx 
As duas equações representam planos passando pela origem, e o sistema resultante pode ser 
interpretado como a equação da reta que é intersecção dos dois planos 
Um vetor genérico dessa reta é escrito como ( 5z, z, z ), z  R 
 
iii) A origem 
Exemplo: 








024
0873
032
zyx
zyx
zyx
 cuja solução é { ( 0, 0, 0 ) } que é o subespaço nulo 
 
iv) Todo o espaço 
Exemplo: 








0000
0000
0000
zyx
zyx
zyx
 
 9 
Contra-exemplos 
 
Vejamos, agora, alguns exemplos de subconjuntos de V que não são subespaços de V: 
1. V = R2 e W = { (x, y) R2; y = ax + b ( ab  0} 
W não é subespaço vetorial de V . De fato: 0  W 
 
2. V = R2 e W = { (x, y) R2; y = x2 } 
W não é subespaço vetorial de V . De fato: (1,1) e (2,4)  W e ( 1,1) + (2,4) = (3, 5)  W 
 
Observação O fato de 0  W já nos garante que W não é subespaço ( Exemplo 1). No 
entanto, o fato de 0  W não nos garante que W é subespaço vetorial (Exemplo 2) 
Em outras palavras 0  W  W não é subespaço, mas a recíproca não é verdadeira 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
- Álgebra Linear – Alfredo Steinbruch / Paulo Winterle 
- Álgebra Linear – Boldrini / Costa / Figueiredo / Wetzler 
- Álgebra Linear – Caliolli 
- Álgebra Linear com Aplicações – Anton / Rorres