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Exemplos de Propriedade Associativa 
 
1. As operações usuais de adição e multiplicação em R, N, Q e Z são associativas. 
 
   
   yzxzxy
zyxzyx


 
 
2. Agora, note que a subtração usual em N não é associativa: 
 
(8 - 5) - 2 = 3 - 2 = 1 e 8 - (5 - 2) = 8 - 3 = 5 
 
O mesmo ocorre com a subtração em Z, Q e R. 
 
3. A operação de divisão também não é associativa em N, Z, Q e R. Iremos verificar 
esse fato em N: 
 
(12 : 6) : 2 = 2 : 2 = 1 e 12 : (6 : 2) = 12 : 3 = 4. Encontramos resultados 
diferentes. 
 
4. Agora, iremos considerar, em Z, a operação * definida por: 
 
  2,
:


yxyxyx
ZZZ
 
 
A operação * é associativa? Precisamos de três elementos em Z. Vamos considerar 
x, y e z. A propriedade é associativa se (x * y) * z = x*(y*z). 
 
     
      4222
4222


zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx
 
 
Assim, fica verificada a propriedade associativa em Z com a operação *. 
 
 
 
5. Agora, vamos considerar, em Z, a operação * definida por: 
 
  yxyxyx
ZZZ


2,
:
 
 
A operação * é associativa? Precisamos de três elementos em Z. Consideremos x, y 
e z. A propriedade é associativa se (x*y)* z = x* (y * z). 
 
     
      zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyx


22222
24222
 
 
A propriedade associativa em Z, com a operação *, não foi verificada.