Resumo de quádricas, geometria analítica.

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
CURSO DE ENGENHARIA DE PESCA
DISCIPLINA: MATAMÁTICA PARA ENGENHARIA I
QUÁDRICAS
MAGNO LAPENDA
Recife, 04 de agosto de 2014.
RESUMO
 Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do espaço 3D cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis, conhecido como equações cartesianas da superfície como podem ver abaixo:
 Se o termo independente da equação acima for nulo, a quádrica passa pela origem, pois o ponto O=(0,0,0) satisfaz tal equação.
 Esferas, parábolas, elipses, hipérboles, cilindros e cones constituem as mais conhecidas superfícies quádricas. Porém, neste trabalho irei abordar apenas as quádricas: parábola, elipse e a hipérbole.
DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE CADA CASO
PARÁBOLA
Denomina-se PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que:
Diretriz = d = P’
Foco = F
Vértice = V
Parâmetro = PP’
Ponto qualquer = P(x,y)
Onde a distância do foco a diretriz é P, e o vértice é o ponto médio do seguimento PF. A distância do foco ao vértice é P/2, assim como a distância da diretriz ao vértice também será P/2.
A parábola poderá se encontrar no eixo do y ou no eixo do x, e sua concavidade será determinada pelo valor de P. Se P>0 a concavidade será voltada para cima (caso seu eixo principal seja o eixo dos y), ou para a direita (caso seu eixo principal seja o eixo dos x). Se P<0 0 a concavidade será voltada para baixo (caso seu eixo principal seja o eixo dos y), ou para a esquerda (caso seu eixo principal seja o eixo dos x). 
Ex: Demonstrar as parábolas através de gráficos, para P>0 e P<0 nos eixos dos x e dos y.
A equação reduzida da parábola com vértice na origem v(0,0) é:
x² = 2Py (tendo o eixo dos y como principal) 
 y² = 2Px (tendo o eixo dos x como principal)
Ex: Determinar o foco e a equação da diretriz da parábola x²=-2x.
Quando o vértice não se encontra na origem v(x0, y0) sua equação passa a ser:
(x-x0)²=2P(y-y0) (tendo o eixo dos y como principal)
(y-y0)²=2P(x-x0) (tendo o eixo dos x como principal)
Ex: Determinar a equação da parábola de vértice v(3,-1), sabendo que y-1=0 é a equação de sua diretriz.
ELIPSE
Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a>c. Por definição: PF1+ PF2= 2ª
F1 e F2 = Focos 
C = Distância do centro aos focos
A distância F1F2 é conhecida como distancia focal da elipse. A medida 2a é o maior eixo da elipse, e a medida 2b é o menor. Temos ainda o quociente c/a, que é conhecido como excentricidade da elipse. Sabemos que “a”, “b” e “c” formam um triângulo retângulo, então: a²=b² + c².
A Equação reduzida da elipse de centro na origem c(0,0) e de eixo maior na horizontal (eixo dos x) será:
Se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y, a equação da mesma de centro na origem (0,0) passa a ser:
Caso o centro não esteja na origem c(x,y), então:
X² = (x-x0)²
Y² = (y-y0)²
Ex:Dado a elipse x²/9 + y²/4 = 1, determine:
A medida dos semi-eixos 
Um esboço do gráfico
Os focos
A excentricidade 
HIPÉRBOLE 
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distância entre estes pontos seja igual a 2c>0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a<c. Por definição temos que: |PF1 - PF2| = 2 a
F1 e F2 = Focos
A distância F1F2 é conhecida com distância focal da hipérbole. A1A2 é denominado eixo real ou transverso, enquanto que B1B2 é denominado eixo não transverso ou conjugado da hipérbole. O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole. A relação: c2 = a2 + b2 é válida.
A Equação reduzida da hipérbole de centro na origem c(0,0) e de eixo transverso horizontal (eixo dos x) será:
Se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo dos y, então a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:
Caso o centro não esteja na origem c(x,y), então:
X² = (x-x0)²
Y² = (y-y0)²
Ex: Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.
REFERÊNCIAS 
Alfredo STEINBRUCH, Paulo WINTERLE “Geometria analítica”, 2ª ed., editora Makron Books.
Cônicas e quádricas, 5ªedição em pdf. Disponível em: http://geometriaa.dominiotemporario.com/livros/cq.pdf Acesso em 03 de Maio de 2014.