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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia - CT 
Departamento de Engenharia de Produção 
ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO
Prof. Luciano Queiroz
Natal/RN 17/02/14
Sumário
Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Poisson
 A distribuição de Poisson é adequada para descrever situações onde existe uma
probabilidade de ocorrência em um campo ou intervalo contínuo, geralmente tempo ou
área.
 Por exemplo, o no de acidentes por mês, no de defeitos por metro quadrado, no de
clientes atendidos por hora.
 A variável aleatória é discreta (número de ocorrência), no entanto a unidade de medida
é contínua (tempo, área).
Distribuição de Poisson
 Número de aviões quebrados em um dia
 Número de falhas em componentes por unidade de tempo
 Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t
 Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o primeiro ano de vida
 A variável aleatória X é o n de ocorrências do evento no intervalo
 O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga.
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
Se um banco recebe em média λ = 6 cheque sem fundos por dia, qual é a probabilidade de 
receber 4 cheques sem cobertura em um dia qualquer:
1339,0
24
002479,0296.1
!4
6
)(
46



e
xP
Distribuição de Poisson
 Suponha que uma aplicação de tinta em um automóvel e feita de forma mecânica, e pode produzir 
defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma variável 
aleatória que segue uma distribuição de Poisson de parâmetro λ =1. Suponha que sorteamos um 
carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada, qual a probabilidade de encontrarmos, pelo 
menos, 1defeito? E qual a probabilidade de encontrarmos de 2 a 4 defeitos?
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson x Binomial
 Enquanto a distribuição binomial pode ser usada para encontrar a probabilidade de um
número designado de sucessos em n tentativas, a distribuição de Poisson é usada para
encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo.
 As outras condições exigidas para se aplicar a distribuição Binomial são também exigidas
para se aplicar a distribuição de Poisson; isto é, (1) deve existir somente dois resultados
mutuamente exclusivos, (2) os eventos devem ser independentes, e (3) o número médio de
sucessos por unidade de intervalo deve permanecer constante.
Distribuição de Poisson x Binomial
 Podemos usar a distribuição de Poisson como uma aproximação da distribuição Binomial
quando n, o número de tentativas, for grande e p ou 1 – p for pequeno (eventos raros). Um
bom princípio básico é usar a distribuição de Poisson quando n ≥ 30 e n.p ou n.(1-p) < 5.
 Quando n for grande, pode consumir muito tempo em usar a distribuição binomial e tabelas
para probabilidades binomiais, para valores muito pequenos de p podem não estarem
disponíveis. Se n(1-p) < 5, sucesso e fracasso deverão ser redefinidos de modo que Np < 5 para
tornar a aproximação precisa.
Distribuição de Poisson x Binomial
 A experiência passada mostra que 1% das lâmpadas incandescentes produzidas numa f
ábrica são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma lâmpada numa am
ostra aleatória de 30 lâmpadas sejam defeituosas, usando:
 A distribuição Binomial e
 A distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson x Binomial
 a. Aqui n = 30, p = 0,01, e queremos encontrar P(X > 1). Então
 P(2) + P(3) + P(4) + ... = 0,0328 + 0,0031 + 0,0002 = 0,0361 ou 3,61%.
 b. Como n = 30 e n.p = (30).(0,01) = 0,3, podemos usar a aproximação de Poisson da
distribuição binomial. Considerando λ = Np = 0,3, temos que encontrar P(X > 1) = 1 – P(X ≤ 1),
onde X é o número de lâmpadas defeituosas. Agora,
Distribuição de Poisson x Binomial
 Suponha que 10% das crianças de um determinado bairro do Rio de Janeiro
prefiram sorvete de baunilha ao de chocolate. Qual a probabilidade de que,
se entrevistarmos 10 crianças deste bairro, exatamente duas prefiram
soverte de baunilha?
Distribuição de Poisson x Binomial
Distribuição Binomial Negativa
O termo negativa vem da inversão do interesse de análise (número de observações para k
sucessos) em relação à distribuição binomial (número de sucessos para n observações).
Distribuição Contínua
 Distribuição Normal
Distribuição Normal
 A distribuição Normal é a mais importante das distribuições estatísticas, tanto na teoria como na prática:
 Representa a distribuição de freqüência de muitos fenômenos naturais;
 As médias e as proporções de grandes amostras seguem a distribuição Normal (Teorema do Limite Central).
 A distribuição Normal é em forma de sino
 Os valores da variável aleatória podem variar de - a +.
 A área abaixo da curva Normal representa 100% de probabilidade associada a
uma variável.
 A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos
quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos.
Distribuição Normal
 A área total abaixo da curva é considerada como 100%. Isto é, a área
total abaixo da curva é 1.
área=1
área=0,5 área=0,5
Distribuição Normal
 Percentis da Distribuição Normal
 99,73%
 95,44%
 68,26%
 2 7 .6 2 7 .8 2 8 2 8 .2 2 8 .4 2 8 .6 2 8 .8 2 9 2 9 .2
 -1 +1
 -2 +2
 -3 +3
Distribuição Normal
 A distribuição distribuição Normal fica completamente caracterizada por dois parâmetros:
a média e o desvio-padrão.
 Ou seja, diferentes médias e desvio-padrões originam curvas normais distintas, como se
pode visualizar nos exemplos contidos na tabela abaixo onde há amostras provenientes
de distribuições com média e desvios-padrões distintos.
A
C
B
x
f(x)
Distribuição Normal
a) da distribuição A para B muda a 
tendência central, mas a 
variabilidade é constante;
b) b) da distribuição A para C 
muda a variabilidade, mas a 
tendência central é constante;
c) da distribuição B para C muda a 
tendência central e a 
variabilidade.
Distribuição Normal
 O cálculo de probabilidades (área sob a curva) pode ser realizado
através de uma distribuição Normal padronizada, onde o parâmetro é a 
variável reduzida Z.
 A distribuição Normal pode ser representada por uma equação
matemática dada por:
2
2
1
2
1
)(





 


 


x
exf
Distribuição Normal
 A distribuição Normal acumulada é obtida calculando a probabilidade de X ser menor
que um dado valor x:
 A solução está apresentada em tabelas da distribuição Normal padronizada onde se
entra com a variável reduzida Z (número de desvios-padrões distantes da média) e
encontra-se F(Z) ou vice-versa.
  Tabelado )( 





 
 ZF
x
ZPxXP 

 
x
dxxfxFxXP )()()(
Distribuição Normal
 Uma conseqüência importante do fato de uma distribuição Normal ser
completamente caracterizada por sua média e desvio-padrão é que a
área sob a curva entre um ponto qualquer e a média é função somente
do número de desvios-padrões que o ponto está distante da média.
 Como existem uma infinidade de distribuições normais (uma para cada
média e desvio-padrão),transformamos a unidade estudada seja ela
qual for (peso, espessura, tempo, etc.) na unidade Z, que indica o
número de desvios-padrão a contar da média.
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Distribuição Normal
 A variável reduzida mede a magnitude do desvio em relação à média, 
em unidades de desvio padrão.
 Z = 1,5 significa uma observação está desviada 1,5 desvios padrão
para cima da média.
 A variável reduzida é muito útil para comparar distribuições e detectar
dados atípicos.
S
XX
Z


Distribuição Normal
 A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica 
tem distribuição N(8; 1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a 
concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm? 
Distribuição Normal
Distribuição Normal
 O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição
Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as
especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 pol., determine o
percentual de unidades produzidas em conformidades com as
especificações.
Distribuição Normal