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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia - CT Departamento de Engenharia de Produção ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Prof. Luciano Queiroz Natal/RN 17/02/14 Sumário Distribuição de Probabilidade Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é adequada para descrever situações onde existe uma probabilidade de ocorrência em um campo ou intervalo contínuo, geralmente tempo ou área. Por exemplo, o no de acidentes por mês, no de defeitos por metro quadrado, no de clientes atendidos por hora. A variável aleatória é discreta (número de ocorrência), no entanto a unidade de medida é contínua (tempo, área). Distribuição de Poisson Número de aviões quebrados em um dia Número de falhas em componentes por unidade de tempo Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o primeiro ano de vida A variável aleatória X é o n de ocorrências do evento no intervalo O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga. Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson Se um banco recebe em média λ = 6 cheque sem fundos por dia, qual é a probabilidade de receber 4 cheques sem cobertura em um dia qualquer: 1339,0 24 002479,0296.1 !4 6 )( 46 e xP Distribuição de Poisson Suponha que uma aplicação de tinta em um automóvel e feita de forma mecânica, e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson de parâmetro λ =1. Suponha que sorteamos um carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada, qual a probabilidade de encontrarmos, pelo menos, 1defeito? E qual a probabilidade de encontrarmos de 2 a 4 defeitos? Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson x Binomial Enquanto a distribuição binomial pode ser usada para encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos em n tentativas, a distribuição de Poisson é usada para encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo. As outras condições exigidas para se aplicar a distribuição Binomial são também exigidas para se aplicar a distribuição de Poisson; isto é, (1) deve existir somente dois resultados mutuamente exclusivos, (2) os eventos devem ser independentes, e (3) o número médio de sucessos por unidade de intervalo deve permanecer constante. Distribuição de Poisson x Binomial Podemos usar a distribuição de Poisson como uma aproximação da distribuição Binomial quando n, o número de tentativas, for grande e p ou 1 – p for pequeno (eventos raros). Um bom princípio básico é usar a distribuição de Poisson quando n ≥ 30 e n.p ou n.(1-p) < 5. Quando n for grande, pode consumir muito tempo em usar a distribuição binomial e tabelas para probabilidades binomiais, para valores muito pequenos de p podem não estarem disponíveis. Se n(1-p) < 5, sucesso e fracasso deverão ser redefinidos de modo que Np < 5 para tornar a aproximação precisa. Distribuição de Poisson x Binomial A experiência passada mostra que 1% das lâmpadas incandescentes produzidas numa f ábrica são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma lâmpada numa am ostra aleatória de 30 lâmpadas sejam defeituosas, usando: A distribuição Binomial e A distribuição de Poisson Distribuição de Poisson x Binomial a. Aqui n = 30, p = 0,01, e queremos encontrar P(X > 1). Então P(2) + P(3) + P(4) + ... = 0,0328 + 0,0031 + 0,0002 = 0,0361 ou 3,61%. b. Como n = 30 e n.p = (30).(0,01) = 0,3, podemos usar a aproximação de Poisson da distribuição binomial. Considerando λ = Np = 0,3, temos que encontrar P(X > 1) = 1 – P(X ≤ 1), onde X é o número de lâmpadas defeituosas. Agora, Distribuição de Poisson x Binomial Suponha que 10% das crianças de um determinado bairro do Rio de Janeiro prefiram sorvete de baunilha ao de chocolate. Qual a probabilidade de que, se entrevistarmos 10 crianças deste bairro, exatamente duas prefiram soverte de baunilha? Distribuição de Poisson x Binomial Distribuição Binomial Negativa O termo negativa vem da inversão do interesse de análise (número de observações para k sucessos) em relação à distribuição binomial (número de sucessos para n observações). Distribuição Contínua Distribuição Normal Distribuição Normal A distribuição Normal é a mais importante das distribuições estatísticas, tanto na teoria como na prática: Representa a distribuição de freqüência de muitos fenômenos naturais; As médias e as proporções de grandes amostras seguem a distribuição Normal (Teorema do Limite Central). A distribuição Normal é em forma de sino Os valores da variável aleatória podem variar de - a +. A área abaixo da curva Normal representa 100% de probabilidade associada a uma variável. A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos. Distribuição Normal A área total abaixo da curva é considerada como 100%. Isto é, a área total abaixo da curva é 1. área=1 área=0,5 área=0,5 Distribuição Normal Percentis da Distribuição Normal 99,73% 95,44% 68,26% 2 7 .6 2 7 .8 2 8 2 8 .2 2 8 .4 2 8 .6 2 8 .8 2 9 2 9 .2 -1 +1 -2 +2 -3 +3 Distribuição Normal A distribuição distribuição Normal fica completamente caracterizada por dois parâmetros: a média e o desvio-padrão. Ou seja, diferentes médias e desvio-padrões originam curvas normais distintas, como se pode visualizar nos exemplos contidos na tabela abaixo onde há amostras provenientes de distribuições com média e desvios-padrões distintos. A C B x f(x) Distribuição Normal a) da distribuição A para B muda a tendência central, mas a variabilidade é constante; b) b) da distribuição A para C muda a variabilidade, mas a tendência central é constante; c) da distribuição B para C muda a tendência central e a variabilidade. Distribuição Normal O cálculo de probabilidades (área sob a curva) pode ser realizado através de uma distribuição Normal padronizada, onde o parâmetro é a variável reduzida Z. A distribuição Normal pode ser representada por uma equação matemática dada por: 2 2 1 2 1 )( x exf Distribuição Normal A distribuição Normal acumulada é obtida calculando a probabilidade de X ser menor que um dado valor x: A solução está apresentada em tabelas da distribuição Normal padronizada onde se entra com a variável reduzida Z (número de desvios-padrões distantes da média) e encontra-se F(Z) ou vice-versa. Tabelado )( ZF x ZPxXP x dxxfxFxXP )()()( Distribuição Normal Uma conseqüência importante do fato de uma distribuição Normal ser completamente caracterizada por sua média e desvio-padrão é que a área sob a curva entre um ponto qualquer e a média é função somente do número de desvios-padrões que o ponto está distante da média. Como existem uma infinidade de distribuições normais (uma para cada média e desvio-padrão),transformamos a unidade estudada seja ela qual for (peso, espessura, tempo, etc.) na unidade Z, que indica o número de desvios-padrão a contar da média. Distribuição Normal Distribuição Normal Distribuição Normal A variável reduzida mede a magnitude do desvio em relação à média, em unidades de desvio padrão. Z = 1,5 significa uma observação está desviada 1,5 desvios padrão para cima da média. A variável reduzida é muito útil para comparar distribuições e detectar dados atípicos. S XX Z Distribuição Normal A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8; 1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm? Distribuição Normal Distribuição Normal O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações. Distribuição Normal
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