gabarito prova1 T02 2015 2 pdf rosane

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G A B A R I T O 
Prova de Cálculo I – T02 – 2015 (2O) – Data: 28-09-2015
Questão 1: Determine os limites, apresentando os cálculos e caso não exista justifique:
1.1) lim
h0
 xh− x
h
=0
0
, indeterminação e temos
 xh− x
h
.  xh x
 xh x
= xh− x
h. xh x 
= 1
 xh x . 
Assim
lim
h0
 xh− x
h
=lim
h0
1
 xh x
= 1
2 x
.
1.2) lim
x→−2
x ²+x−2
4−x ²
=0
0
indeterminação
x ²+x−2
4−x ²
=
(x+2).( x−1)
(2−x)(2+x )
= x−1
2−x
 e lim
x→−2
x ²+x−2
4−x ² = limx→−2
x−1
2−x=
−3
4 ;
1.3) lim
x∞
2
1
x .cos  1
x

 Regra da composta: lim
x→∞
1
x
=0 e as funções cos(y) e e y são contínuas em y=0, portanto: 
lim
y→0
cos( y )=cos (0)=1e lim
y→ 0
e y=e⁰=1
e , pela regra,
 lim
x→∞
cos( 1
x
)=cos ( lim
x→∞
1
x
)=cos(0)=1 e lim
x→∞
e
( 1
x
)
=e
(lim
x→∞
1
x
)
=e(0)=1 .
 Assim a regra do produto nos dá que
lim
x→∞
cos( 1
x
).e
(1
x
)
=1.1=1
Questão 2: Gráfico de f (x)= 8
4−x2
:
→ Domínio: ℝ− {−2,2}
→ Estudo se sinais: como o numerador é positivo a fração terá o sinal do denominador
 
_-______-__!______+__________+___ (2+x)
 -2
____+____________+____!___-____-__ (2-x)
 2
____-___-____!____+_______! -____-__ (4−x2)
 -2 2
 -2 2
 
 
→ Assíntotas Verticais: Candidatas x = 2 e x = -2, conferindo:
A reta x=2 é assíntota vertical pois:
lim
x 2
8
4−x2
= lim
x2
8
2 x
. 1
2−x 
mas quando x → 2 e x > 2 temos (2- x) → 0 e 2 – x < 0 e, portanto,
lim
x 2
1
2−x 
=−∞ e lim
x2
8
2 x
. 1
2−x 
=−∞ .
De modo análogo, também teremos
lim
x 2−
8
4−x2
=∞ .
A reta x= - 2 é assíntota vertical pois:
lim
x−2
8
4−x2
= lim
x−2
1
2 x
. 8
2−x 
mas quando x → - 2 e x > - 2 temos (2 + x) → 0 e 2 + x > 0 e, portanto,
lim
x−2
1
2 x
=∞ e lim
x−2
1
2 x
. 8
2−x 
=∞ .
De modo análogo, também teremos
lim
x−2−
8
4−x2
=−∞ .
→ Assíntotas Horizontais: A reta y = 0 é assíntota horizontal, de fato, 
lim
x∞
8
4−x2
=0= lim
x−∞
8
4−x2
;
→ Não há assíntotas oblíquas, pois o grau do numerador é menor que o do denominador.
O esboço do gráfico: f x =
8
4−x2
 2
 
 -2 2
 
 
Questão 3: 
3.1)Como pode ser obtido o limite fundamental lim
x0
sen x 
x
=1 utilizando desigualdade 
trigonométrica sen x xtg x  , se x∈0, 2
 ?
Dividindo toda a desigualdade por sen(x) obtemos 
1 x
sen x
 1
cos x 
, se x∈0,
2
 ,
como lim
x0
cos x=1 , então pela regra do sanduiche obtemos lim
x 0¿
x
sen x 
=1 . Para o 
outro limite lateral podemos usar o fato de sen(-x)= - sen(x).
3.2) lim
x0
sen x2 x
2x
=lim
x 0
sen x2 x
x2 x
. x
2x
2x e como :
i) fazendo =x2 x , temos lim
x0
sen x2x 
x2x
=lim
0
sen

=1 ;
ii) e lim
x0
x2x
2x
=lim
x0
x1
2
=1
2
obtemos: 
lim
x0
sen x2 x
2x
=1
2
.
Questão 4: A função é continua em todo ℝ ? Por que? Qual o dominio de continuidade da função?
4.1) f x ={cx22x , se x2x3−cx , se x≥2 }
Para x<2 ou x>2 a função coincide com uma polinomial e, portanto, será contínua. Falta verificar se é 
contínua em x=2:
lim
x 2−
f x = lim
x2−
cx22x=4c4 e lim
x2
f x =lim
x2−
x3−cx=8−2c ,
portanto, f será continua em x=2 apenas quando 4c+4 = 8 – 2c, isto é, se 6c=4, ou ainda, c=2/3 .
4.2) g  x=cos tg 
Não é continua em todo ℝ , pois seu domínio de continuidade será o mesmo que o da função 
tangente, ou seja, 
ℝ−{=2k1 2 , k∈ℤ} .
.