Exercícios Probabilidade e Estatística - Gabarito

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Distribui��o Normal Padr�o_.pdf
 
Distribuição Normal Padrão*: Valores de p tais que P(0 ≤ Z ≤ zc)=p 
Z 
Segunda decimal de zc 
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 
 
Lista_1.pdf
Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Primeira Lista de Probabilidade e Estat´ıstica (Engenharia de Software)
1. Descrever o espac¸o amostral (S) a cada um dos experimentos a seguir:
(1) Lanc¸a-se um dado honesto e observa-se os nu´meros nas faces voltadas para cima;
(2) Lanc¸am-se dois dados honestos e observam-se os nu´meros nas faces voltadas
para cima;
(3) Chamadas sa˜o repetidamente feitas em uma linha telefoˆnica ocupada ate´ que
uma conexa˜o seja alcanc¸ada;
(4) Um monitor registra a contagem de emissa˜o de uma fonte radioativa durante
um minuto.
Resposta:
S1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
S2 = {(1, 1); (1, 2); ...; (6, 6)}.
Sejam c =conectada e b =ocupada, logo S3 = {c; bc; bbc; bbbc; bbbbc; ...}.
S4 = {0, 1, 2, 3, ...., N}, em que N e´ o nu´mero ma´ximo de emissa˜o da fonte.
2. Descrever o espac¸o amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos
a seguir:
E1: Lanc¸ar uma moeda treˆs vezes, sucessivamente, e anotar a sequeˆncia de caras
(c) e coroas (k).
A1: Sair pelo menos duas caras.
E2: Numa linha de produc¸a˜o conta-se o nu´mero de pec¸as defeituosas num per´ıodo
de 1 hora.
A2: Obter menos de 3 defeituosas.
E3: Mede-se a durac¸a˜o de laˆmpadas, deixando-as acesas ate´ queimarem.
A3: O tempo de vida da laˆmpada e´ inferior a 30 horas.
E4: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produc¸a˜o sa˜o reti-
rados 3 artigos e cada um e´ classificado como bom (b) ou defeituoso (d).
A4: Pelo menos dois artigos sa˜o bons.
Respostas:
S1 = {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k); (k, k, k)}.
A1 = {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c)}.
S2 = {0; 1; 2; 3; ....;N}, em que N e´ o nu´mero ma´ximo de pec¸as defeituosas.
A2 = {0; 1; 2}.
S3 = {t ∈ <; t > 0}.
S3 = {t ∈ <; 0 < t < 30}.
S4 = {(b, b, b); (b, b, d); (b, d, b); (d, b, b); (b, d, d); (d, b, d); (d, d, b); (d, d, d)}.
A4 = {(b, b, b); (b, b, d); (b, d, b); (d, b, b)}.
1
3. Quatro estudantes de Engenharia Ele´trica da UFMS sa˜o selecionados aleatoriamente
em uma aula de Probabilidade e Estat´ıstica. Liste os elementos do espac¸o amos-
tral S1 usando a letra m para representar estudantes do sexo masculino e f para
feminino. Defina um segundo espac¸o amostral S2, onde os elementos representam o
nu´mero de estudantes do sexo feminino selecionados.
Respostas:
S1 = (mmmm); (mmmf); (mmfm); (mfmm); (fmmm); (mmff); (mfmf)
(mffm); (fmfm); (ffmm); (fmmf); (mfff); (fmff); (ffmf); (fffm); (ffff).
S2 = {0, 1, 2, 3, 4}.
4. Sejam A, B e C treˆs eventos quaisquer. Estabelec¸a uma expressa˜o para os eventos
abaixo:
(a) A e B ocorrem;
(b) A ou B ocorrem;
(c) B ocorre, mas A na˜o ocorre;
(d) A na˜o ocorre;
(e) na˜o ocorre A e na˜o ocorre B;
(f) A e B ocorrem, mas C na˜o corre;
(g) somente A ocorre, mas B e C na˜o ocorrem.
Respostas:
(a)A ∩B; (b)A ∪B; (c)B ∩ A; (d)A;
(e)A ∩B; (f)A ∩B ∩ C; (g) A ∩B ∩ C.
5. Uma balanc¸a digital (considerando inteiros na˜o-negativos) e´ usada para fornecer
pesos em gramas.
(a) Qual o espac¸o amostral para esse experimento? Sejam A o evento em que um
peso excede 11 gramas; B o evento em que um peso e´ menor que ou igual a 15
gramas e C o evento em que um peso e´ maior que ou igual a 8 gramas e menor que
12 gramas. Descreva os seguintes eventos:
(b)A ∪B; (c)A ∩B; (d)A; (e)A ∪B ∪ C; (f)A ∪ C;
(g)A ∩B ∩ C; (h)B ∩ C; (i)A ∪ (B ∩ C).
Respostas:
(a)S = {0; 1; 2; 3; ....}; (b)A ∪ B = {0; 1; 2; 3; ....}; (c)A ∩ B = {12; 13; 14; 15};
(d)A = {0; 1; 2; ...; 11}; (e)A ∪ B ∪ C = {0; 1; 2; 3; ....}; (f)A ∪ C = {0; 1; 2; 3; ...; 7};
(g)A ∩B ∩ C = φ; (h)B ∩ C = φ; (i)A ∪ (B ∩ C) = {8; 9; 10; 11; ....}.
6. Quatro bits sa˜o transmitidos um um canal digital de comunicac¸o˜es. Cada bit e´ dis-
torcido ou recebido sem distorc¸a˜o. Seja Ai o evento em que o i-e´simo bit distorcido,
i = 1, 2, 3, 4.
(a) Descreva o espac¸o amostral para esse experimento.
(b) Os eventos A1, A2, A3 e A4 sa˜o mutuamente exclusivos?
Descreva os resultados em cada um dos seguintes eventos:
(c) A1; (d)A1; (e)A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4; (f)(A1 ∩ A2) ∪ (A3 ∩ A4).
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Respostas:
(a)Seja D um bit distorcido e O um bit na˜o esta´ distorcido. Logo:
S=DDDD;DODD;ODDD;OODD;DDDO;DODO;ODDO;OODO;DDOD;DOOD;
ODOD;OOOD;DDOO;DOOO;ODOO;OOOO.
(b) Na˜o.
(c) A1=DDDD;DODD;DDDO;DODO;DDOD;DOOD;DDOO;DOOO.
(d)A1=ODDD;OODD;ODDO;ODOD;OOOD;ODOO;OODO.
(e)A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4=DDDD; (f)(A1 ∩
A2) ∪ (A3 ∩ A4)=DDDD;DODD;DDDO;
ODDD;DDOD;OODD;DDOO.
7. Dados P (A) = 1/2; P (B) = 3/8 e P (A ∩B) = 1/8. Calcule:
(a) P (A ∪B); (b) P (A ∩B); (c) P (A ∪B)
(d) P (A ∩B); (e) P (A ∩B).
Respostas:
(a)0.75; (b)0.25; (c)0.875; (d)0.375; (e)0.25.
8. Dois processadores tipo A e B sa˜o colocados em teste por 50 mil horas. A probabi-
lidade que um erro de ca´lculo acontec¸a em um processador do tipo A e´ de 1/30, no
tipo B, 1/80 e em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que:
(a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
(b) Nenhum processador tenha apresentado erro?
(c) Apenas o processador A tenha apresentado erro?
Respostas:
(a)0.045; (b)0.955; (c)0.032.
9. Suponha que P (A|B) = 0.4 e P (B) = 0.5. Calcule P (A ∩B).
Resposta: P (A ∩B) = 0.3.
10. Um sistema de computadores usa senhas, que sa˜o seis caracteres, sendo cada caracter
uma das 26 letras (a-z) ou 10 inteiros (0-9). Letras maiu´sculas na˜o sa˜o usadas. Seja
A o evento em que uma senha comece com uma vogal (a,e,i,o,u) e seja B o evento em
que a senha termine com um nu´mero par (0,2,4,6 ou 8). Suponha que um invasor
selecione uma senha ao acaso. Determine as seguintes probabilidades:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A ∩B); (d)P (A ∪B);
Respostas: (a)0.138889; (b)0.138889; (c)0.019290; (d)0.2585.
11. Uma fa´brica de informa´tica conte´m 3 lotes com mouses. O primeiro lote conte´m
5 mouses brancos e 2 pretos; o segundo lote conte´m 3 mouses brancos e 6 pretos;
o terceiro lote conte´m 4 mouses brancos e 4 mouses pretos. Tira-se um mouse de
cada lote. Calcular a probabilidade de que saiam um mouse branco e dois pretos.
Resposta: 8/21.
12. Uma sala de aula de Engenharia consiste em 25 estudantes de Engenharia de Soft-
ware, 10 de Computac¸a˜o, 10 de Ele´trica e 8 de Engenharia Civil. Se uma pessoa e´
selecionada aleatoriamente pelo professor para responder a uma pergunta, determine
a probabilidade de que o estudante escolhido seja:
(a)um estudante de Engenharia de Software;
(b)um estudante de Engenharia Civil ou Ele´trica.
Respostas: (a) 25/53; (b) 18/53.
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13. Um aluno vai se formar em Engenharia de Software no final do semestre. Depois
de ser entrevistado por duas empresas, ele avalia que a probabilidade de conseguir
uma oferta da empresa A e´ de 0.8 e da empresa B e´ de 0.6. Se, por outro lado, ele
creˆ que a probabilidade de conseguir uma oferta das duas empresas e´ de 0.5, qual e´
a probabilidade de que ele consiga uma oferta de pelo menos uma das empresas?
Resposta: 0.9.
14. Certo aparelho eletroˆnico tem duas laˆmpadas que podem estar acesas ou apagadas,
tendo sido observadas as seguintes probabilidades apresentada no quadro adiante.
O quadro mostra por exemplo, que ambas as laˆmpadas estavam simultaneamente
apagadas 30% do tempo.
Laˆmpada 1 Laˆmpada 2
Acesa Apagada
Acesa 0.15 0.45
Apagada 0.10 0.30
Pergunta-se:
(a) O fato da laˆmpada 1 acesa e´ independente da laˆmpada 2 acesa? Justifique sua
resposta.
(b) O fato da laˆmpada 2 apagada e´ independente da laˆmpada 2 acesa? Justifique
sua resposta.
Respostas:
(a)Sim; (b)Na˜o.
15. Discos de pla´stico de policabornato, provenientes de um fornecedor, sa˜o analisados
com relac¸a˜o a` resisteˆncia a arranho˜es e a choque. Os resultados de 100 discos esta˜o
resumidos a seguir:
Resisteˆncia a arranho˜es Resisteˆncia a choque
Alta Baixa
Alta 70 9
Baixa 16 5
Seja A o evento em que um disco tenha alta resisteˆncia a choque e B o evento em que
um disco tenha alta resisteˆncia a arranho˜es. Determine as seguintes probabilidades:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A|B); (d)P (B|A).
Respostas:
(a)0.86; (b)0.79; (c)0.8861; (d)0.8140.
16. Amostras de uma pec¸a de alumı´nio fundido sa˜o classificadas com base no acaba-
mento (em micropolegadas) da superf´ıcie e nas medidas de comprimento. Os resul-
tados de 100 pec¸as sa˜o resumidos a seguir:
Resisteˆncia a arranho˜es Resisteˆncia a choque
Alta Baixa
Alta 70 9
Baixa 16 5
4
Seja A o evento em que um disco tenha excelente acabamento na superf´ıcie e B o
evento em que um disco tenha excelente comprimento. Determine:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A|B); (d)P (B|A).
Respostas:
(a)0.82; (b)0.90; (c)0.889; (d)0.9757.
17. Um lote com 100 processadores conte´m 20 defeituosos. Dois deles sa˜o selecionados,
ao acaso, sem reposic¸a˜o.
(a) Qual e´ a probabilidade de que o primeiro processador selecionado seja defeituoso?
(b) Qual e´ a probabilidade de que o segundo processador selecionado seja defeituoso,
dado que o primeiro dele foi defeituoso?
(c) Qual e´ a probabilidade de que ambos sejam defeituosos?
Respostas:
(a)0.20; (b)0.1919; (c)0.03838.
18. Se P (A|B) = 0.3; P(B)=0.8 e P(A)=0.3. Os eventos A e B sa˜o independentes?
Resposta: Sim.
19. Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam Eng. de Software.
Ale´m disso, 45% dos estudantes sa˜o mulheres. Se um estudante selecionado ale-
atoriamente esta´ estudando Eng. de Software, qual a probabilidade de que este
estudante seja mulher?
Resposta: 0.3529.
20. A probabilidade e´ 1% de que um conector ele´trico, que seja mantindo seco, falhe
durante o per´ıodo de garantia de um computador porta´til. Se o conector for mo-
lhado, a probabilidade de falha durante o per´ıodo de garantia sera´ de 5%. Se 90%
dos conectores forem mantidos secos e 10% forem mantidos molhados, qual sera´ a
proporc¸a˜o de conectores que falhara´ durante o per´ıodo de garantia?
Resposta: 0.014.
21. Treˆs fa´bricas fornecem equipamentos de precisa˜o para o Laborato´rio de Informa´tica
de uma Universidade. Apesar de serem aparelhos de precisa˜o, existe uma pequena
chance de subestimac¸a˜o ou superestimac¸a˜o das medidas efetuadas. A tabela a seguir
apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada fa´brica:
Fa´brica I Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.01 0.98 0.01
Fa´brica II Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.005 0.98 0.015
Fa´brica III Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.00 0.99 0.01
5
As fa´bricas I, II, III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos uti-
lizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade
de:
(a) Haver superestimac¸a˜o de medidas.
(b) Sabendo que as medidas da˜o exatas, ter sido fabricado em III.
(c) Ter sido produzido por I, dado que na˜o subestima as medidas.
Respostas:
(a)0.012; (b)0.503; (c)0.199.
22. Uma companhia produz circuitos integrados em treˆs fa´bricas, I, II e III. A fa´brica I
produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem 30% cada uma. As probabi-
lidades de que um circuito integrado produzido por estas fa´bricas na˜o funcione sa˜o
0.01, 0.04 e 0.03, respectivamente. Escolhido um circuito da produc¸a˜o conjunta das
treˆs fa´bricas, qual a probabilidade de o mesmo na˜o funcionar? Resposta: 0.025.
23. Considere a situac¸a˜o do problema anterior, mas suponha agora que um circuito e´
escolhido ao acaso e seja defeituoso. Determinar qual a probabilidade de ele ter sido
fabricado por I. Resposta: 0.16.
24. Um sistema eletroˆnico consta de dois sub-sistemas digamos A e B. De testes pre´vios
sabe-se que: P(A falhe)=0.20; P(A e B falhem)=0.15 e P(B falhe sozinho)=0.15.
Calcule:
(a)P(A falhe|B falhou); (b)P(A falhe sozinho).
Respostas: (a)0.5; (b)0.05.
25. Um fabricante de impressoras obteve as seguintes probabilidades provenientes de
um banco de dados de resultatos de testes. Falhas nas impressoras esta˜o associadas
com treˆs tipos de problemas: ma´quina (hardware), programa (software) e outros
(tais como conectores) com probabilidades de 0.1; 0.6 e 0.3 respectivamente. A
probabilidade de uma falha na impressora devido a um problema de ma´quina e´ 0.9,
devido a um problema de programa e´ 0.2 e devido
a qualquer outro tipo de problema
e´ 0.5. Se um computador entrar no site do fabricante para o diagno´stico da falha
da impressora, qual sera´ a causa mais prova´vel do problema?
Resposta: A causa mais prova´vel do problema esta´ na categoria outro tipo, com
probabilidade de 41.66%.
6
Lista_2.pdf
Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Segunda Lista de Probabilidade e Estat´ıstica (Eng. de Software)
1. Seja P (X = x) = x
3
; em que x pode assumir 0, 1 ou 2. A func¸a˜o P (X = x)
determina uma distribuic¸a˜o de probabilidade? Resposta: Sim.
2. Os valores abaixo representam a distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria
X.
X -2 -1 0 1 2
P(X=x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
Calcule:
(a)P (X ≤ 2); (b) P (X > −2); (c)P (−1 ≤ X ≤ 1); (d)P (X ≤ −1 ou X = 2)
Respostas: (a)1; (b)7/8; (c)3/4; (d)1/2.
3. Uma urna conte´m 5 bolas de gude branca e 3 pretas. Se 2 bolas de gude sa˜o
extra´ıdas aleatoriamente sem reposic¸a˜o e X denota o nu´mero de bolas brancas
obtidas. Encontre a distribuic¸a˜o de probabilidade de X.
Resposta:
X 0 1 2
P(X=x) 3/28 15/28 5/14
4. Um arranjo consiste em treˆs componentes eletroˆnicos. Suponha que as probabilida-
des de o primeiro, o segundo e o terceiro componentes satisfazerem as especificac¸o˜es
sejam iguais a 0.95; 0.98 e 0.99. Considere que os componentes sejam independen-
tes. Determine a func¸a˜o de probabilidade do nu´mero de componentes no arranjo
que satisfazem as especificac¸o˜es.
Resposta: P (X = 0) = 0.00001; P (X = 1) = 0.00167; P (X = 2) = 0.07663;
P (X = 3) = 0.92169.
5. O nu´mero de hardwares que sa˜o vendidos semanalmente num stand de informa´tica
e´ uma varia´vel aleato´ria X com a seguinte func¸a˜o de probabilidade:
X 1 2 3 4
P(X=x) c c/2 c/3 c/4
(a) Encontre c. Resposta: 12/25.
(b) Determine a distribuic¸a˜o de X.
Resposta:
X 1 2 3 4
P(X=x) 12/25 6/25 4/25 3/25
(c) Calcule a probabilidade do nu´mero de hardwares vendidos na˜o chegar a 4 dado
que esse valor e´ maior que 1. Resposta: 10/13.
1
6. Considere X a varia´vel aleato´ria que representa o nu´mero de mensagens enviadas
por hora atrave´s de uma rede de computadores com a seguinte distribuic¸a˜o de
probabilidade:
X 10 11 12 13 14 15
P(X=x) 0.08 0.15 0.30 0.20 0.20 0.07
Determine a me´dia e o desvio-padra˜o do nu´mero de mensagens enviadas por hora.
Resposta: 12.5 e 1.36.
7. Os valores abaixo representam a distribuic¸a˜o de probabilidade de D, que denota a
procura dia´ria de um novo Software criado por uma Empresa.
D 1 2 3 4 5
P(D=d) 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2
(a) Calcule E(D) e V ar(D). Respostas: E(D) = 3.44; V ar(D) = 1.44.
(b) Estabelec¸a a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de D.
Respostas:
F(d)=

0; d < 1
0.1; 1 ≤ d < 2
0.2; 2 ≤ d < 3
0.5; 3 ≤ d < 4
0.8; 4 ≤ d < 5
1; d ≥ 5
8. O tempo T, em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a e´ uma
varia´vel aleato´ria com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade:
T 2 3 4 5 6 7
P(T=t) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1
(a) Encontre o tempo me´dio de processamento. Resposta: E(T ) = 4.6.
(b) Estabelec¸a a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada.
Resposta:
F(t)=

0; t < 2
0.1; 2 ≤ t < 3
0.2; 3 ≤ t < 4
0.5; 4 ≤ t < 5
0.7; 5 ≤ t < 6
0.9; 6 ≤ t < 7
1; t ≥ 7
(c) Para cada pec¸a processada, o opera´rio ganha um fixo de 2 u.m (unidade mo-
neta´ria). Mas se ele processar a pec¸a em menos de 6 minutos, ganha 0.50 u.m por
cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a pec¸a em 4 minutos, recebe
a quantia adicional de 1.00 u.m. Encontre a distribuic¸a˜o, a me´dia e a variaˆncia da
varia´vel G. G: Quantia em u.m que ganha por pec¸a.
2
Resposta:
G 4 3.5 3 2.5 2 2
P(G=g) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1
E(G) = 2.75; V ar(G) = 0.4125.
9. O nu´mero de vendas de HD’s realizadas diariamente numa loja em Campo Grande
e´ uma varia´vel X com func¸a˜o de probabilidade:
X 0 1 2 3 4
P(X=x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
Determine E(2X−1) e V ar(2X−1). Respostas: E(2X−1) = 3 e V ar(2X−1) =
4.8.
10. Se a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel discreta X, F (x), e´ dada
por:
F(x)=

0; x < 0
1/2; 0 ≤ x < 1
5/8; 1 ≤ x < 2
1; x ≥ 2
Determine a distribuic¸a˜o de probabilidade de X
Resposta:
X 0 1 2
P(X=x) 1/2 1/8 3/8
11. A espessura (em polegadas) de um painel eletroˆnico que um consumidor requer e´
uma varia´vel aleato´ria discreta X, com a seguinte func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada:
F(x)=

a; x < 0
1/6; 0 ≤ x < 2
1/4; 2 ≤ x < 4
b; 4 ≤ x < 6
c; x ≥ 6
Sabendo que P (X = 6) = 1/2. Determine:
(a) Os valores de a, b e c. Resposta: a=0, b=1/2 e c=1.
(b) Calcule o valor esperado da varia´vel Y = 2−3X
4
. Resposta: E(Y ) = −2.625.
12. Suponha que a demanda (X) por certa pec¸a numa certa loja de processadores, siga
a seguinte distribuic¸a˜o:
P (X = k) = a.2
k
k!
; k = 1, 2, 3, 4.
(a) Encontre o valor de a Resposta: 1/6.
(b) Calcule a demanda esperada Resposta: E(X) = 19/9.
(b) Qual e´ a variaˆncia da demanda? Resposta: V ar(X) = 80/81.
3
13. Uma empresa que fornece computadores pelo correio tem seis linhas telefoˆnicas. Seja
X o nu´mero de linhas em uso em determinado hora´rio com a seguinte distribuic¸a˜o
de probabilidade:
X 0 1 2 3 4 5 6
P(X=x) 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.06 0.04
Calcule a probabilidade de:
(a) no ma´ximo treˆs linhas esta˜o em uso; Resposta: 0.70 (b) menos de treˆs linhas
esta˜o em uso; Resposta: 0.45 (c) pelo menos treˆs linhas esta˜o em uso; Resposta:
0.55 (d) entre duas e cinco linhas inclusive esta˜o em uso; Resposta: 0.71 (e)entre
duas e quatro linhas, inclusive, na˜o esta˜o uso. Resposta: 0.65
14. Seja
f(x)=
{
2x+ 3; 0 < x ≤ 2
0; c.c.
Verifique se f(x) e´ uma func¸a˜o de densidade de probabilidade. Resposta: Na˜o.
15. Seja
f(x)=

x; 0 ≤ x < 1
2− x; 1 ≤ x < 2
0; c.c.
Verifique se f(x) e´ uma func¸a˜o de densidade de probabilidade. Resposta: Sim.
16. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua que representa o tempo de uma ma´quina ne-
cessa´rio para a pintura de uma pec¸a de automo´vel, em horas, com func¸a˜o densidade
de probabilidade (f.d.p) dada por:
f(x)=

0; x < 0
9x2 − 8x3; 0 ≤ x < 1
0; x > 1.
Determine:
(a) A probabilidade da ma´quina gastar menos de meia hora para a pintura? Res-
posta: 0.25.
(b) A probabilidade para que o tempo gasto pela ma´quina se situe entre 1/2 e 3/4?
Resposta: 0.3828.
(c) O tempo me´dio gasto pela ma´quina na pintura da pec¸a? Resposta: 0.65.
(d) O desvio padra˜o para o tempo gasto na pintura feito pela ma´quina? Resposta:
0.2110.
17. Em uma determinada localidade a distribuic¸a˜o de renda em mil u.m (unidade de
medida) e´ uma varia´vel aleato´ria X com func¸a˜o densidade
f(x)=

(1/10)x+ 1/10; 0 ≤ x < 2
−(3/40)x+ 9/20; 2 ≤ x < 6
0; c.c.
(a) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade da sua renda ser superior
a 3000? Resposta: 0.3375.
(b) Qual a renda me´dia nesta cidade? Resposta: E(X) = 2.5
(c) Estabelec¸a a Func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada.
4
Resposta:
F(x)=

0; x < 0
x2/20 + x/10; 0 ≤ x < 2
−(3/80)x2 + (9/20)x− 28/80; 2 ≤ x < 6
1; x > 6.
18. Considere X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua que representa o tempo (em segundos)
de compilac¸a˜o de um programa. Sua f.d.p
f(x)=
{
2x; 0 < x ≤ 1
0; c.c.
Encontre: P (X ≤ 1/2); E(X); V ar(X), P (X ≤ 1/2|1/3 ≤ X ≤ 2/3) e F (X).
Resposta: 1/4; 2/3; 1/18; 5/12
F(x)=

0; x < 0
x2; 0 ≤ x < 1
1; x ≥ 1.
19. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua que indica a corrente ele´trica em um fio de
cobre medido em miliampe´res
com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por:
f(x)=

ax; 0 ≤ x < 1
a; 1 ≤ x < 2
−ax+ 3a; 2 ≤ x < 3
0; c.c.
Determine a constante a. Resposta: 0.5.
20. O comprimento de uma pec¸a e´ uma varia´vel aleato´ria com a seguinte func¸a˜o densi-
dade de probabilidade (f.d.p):
f(x)=

kx; 0 ≤ x < 4
k(12− 2x); 4 ≤ x < 6
0; c.c.
Obtenha E(3X + 2). Resposta: 11.99.
21. A func¸a˜o densidade de probabilidade do tempo (em horas) de falha de um compo-
nente eletroˆnico de uma copiadora e´ dada por: f(t) = (1/50) exp (−t/50); t > 0.
(a) Qual a probabilidade de um componente durar mais que 24 horas e menos que
75 horas? Resposta: 0.3956.
(b) Qual a probabilidade de um componente durar mais que 50 horas? Resposta:
0.3679.
22. Considere X uma varia´vel que representa o tempo de vida de um tipo particular de
chip com fdp f(x) = exp(−x); x > 0. Determine as seguintes probabilidades:
(a)P (1 < X); (b)P (1 < X < 2.5); (c)P (X = 3); (d)P (X < 4); (e)P (3 < X);
(f) Determine x tal que P (x < X) = 0.10; (g) Determine x tal que P (X < x) = 0.10.
Respostas: (a)0.3678; (b)0.2857; (c)0; (d)0.9816; (e)0.049; (f)2.3025; (g)0.1053.
5
23. Suponha que f(x) = 0.5 cos(x); para −pi/2 < x < pi/2. Determine as seguintes
probabilidades:
(a)P (X < 0); (b)P (X < −pi/4); (c)P (−pi/4 < X < pi/4); (d)P (X > −pi/4);
(e) Determine x tal que P (X < x) = 0.95.
Respostas: (a)0.5; (b)0.1464; (c)0.70; (d)0.8535; (e)1.119.
24. Seja X uma varia´vel cont´ınua com f.d.p dada por:
f(x)=

1
15002
x; 0 ≤ x < 1500
1
15002
(3000− x); 1500 ≤ x < 3000
0; c.c.
Encontre E(X). Resposta: 1500
6
Lista_3.pdf
Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Terceira Lista de Probabilidade e Estat´ıstica - Eng. Software
1. Numa loja de informa´tica em Campo Grande, existe uma caixa com 8 discos r´ıgidos
que esta˜o funcionando e 5 discos r´ıgidos que na˜o esta˜o funcionando. Retira-se um
disco r´ıgido desta caixa de forma aleato´ria e considere X a varia´vel aleato´ria que
indica se o disco r´ıgido esta´ funcionando. Determine:
(a) A probabilidade de sair um disco r´ıgido funcionando. Resp: 3/8.
(b) E(X) e V ar(X)? Resp: E(X) = 3/8 e V ar(X) = (3/8).(5/8).
2. Das varia´veis abaixo descritas, assinale quais sa˜o binomiais, e para estas deˆ as
respectivas distribuic¸o˜es de probabilidades. Quando julgar que a varia´vel na˜o e´
binomial, aponte as razo˜es de sua conclusa˜o.
(a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, sem reposic¸a˜o,
cinco bolas. Seja X o nu´mero de bolas brancas nas 5 extrac¸o˜es. Resp: Na˜o.
(b) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposic¸a˜o,
cinco bolas. Seja X o nu´mero de bolas brancas nas 5 extrac¸o˜es. Resp: Sim.
3. Cada aluno de Eng. de Software tem 10% de chance de conseguir compilar um
programa no laborato´rio de informa´tica da UFMS. Considere que cada aluno tente
compilar o programa de forma independente. Encontre a probabilidade de que na
escolha de 18 alunos neste laborato´rio, exatamente 2 alunos consigam compilar um
programa. No mı´nimo 4 alunos consigam compilar um programa. E(X)?V ar(X)?
Resp: 0.284; 0.098; E(X) = 1.8; V ar(X) = 1.62.
4. Um fabricante de processadores garante que uma caixa de suas pec¸as contera´, no
ma´ximo, 2 defeituosas. Se a caixa conte´m 18 processadores, e a experieˆncia tem de-
monstrado que esse processo de fabricac¸a˜o produz 5% de processadores defeituosos,
qual a probabilidade de que uma caixa satisfac¸a a garantia? Resp: 0.9419.
5. Certa fa´brica produz memo´rias RAM, dos quais 15% sa˜o defeituosas. Achar a pro-
babilidade de que, numa amostra de 10 memo´rias selecionadas ao acaso, tenhamos
nenhuma defeituosa. Pelo menos uma defeituosa. No ma´ximo uma defeituosa?.
Resp: 0.1969; 0.8031; 0.5443.
6. Seja X uma varia´vel que indica o nu´mero de mouses defeituosos produzidos pela
empresa A. Se a probabilidade desta empresa produzir um mouse defeituoso e´ de
5%. Ao selecionar aleatoriamente dois mouses, qual a probabilidade de ambos serem
defeituosos? Ao selecionarmos 50 mouses, qual e´ a E(X) e a V ar(X)? Resp:
0.0025; E(X) = 2.5; V ar(X) = 2.4.
7. Achar a me´dia e a variaˆncia da varia´vel aleato´ria Y = 3X + 2, sendo o experimento
repetido 20 vezes e a probabilidade de sucesso na varia´vel aleato´ria X e´ de 0.3.
Resp: E(Y ) = 20; V ar(Y ) = 37.8.
8. Se X ∼ Bin(n; p). Em que µ = 12 e σ2 = 3. Calcule:
(a) n e p.
(b) E(Z) e V ar(Z), em que Z = X−12√
3
.
Resp:(a) n=16; p=0.75 (b) E(Z) = 0; V ar(Z) = 1.
1
9. Uma fileira de luzes de Natal conte´m 20 laˆmpadas ligadas em se´rie, isto e´, se uma
delas falha, toda a fileira falhara´. Cada laˆmpada tem 0.02 de probabilidade de falhar
durante um per´ıodo de 3 anos. As laˆmpadas falham independente umas das outras.
Qual e´ a probabilidade de toda a fileira de laˆmpadas permanecer sem falhar durante
treˆs anos? Resp: 0.6676.
10. Em um livro de Eng. de Software com 800 pa´ginas, ha´ 800 erros de impressa˜o. Qual
a probabilidade de que uma pa´gina contenha pelo menos 3 erros? Resp: 0.0803.
11. Em uma central telefoˆnica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade
de que a central receba 2 chamadas em 2 minutos? t chamadas em 5 minutos?
Resp: 0.00227; P (X = t) = 25
te−25
t!
.
12. Suponha que o nu´mero de falhas por hora de um computador segue uma distribuic¸a˜o
Poisson com uma me´dia de duas falhas por hora. Calcular a probabilidade existir no
ma´ximo 3 flhas em duas horas e a probabilidade de nenhuma falha em 90 minutos?
Resp: 0.4331; 0.0498.
13. Sa˜o contadas os nu´meros de part´ıculas radioativas emitidas em cada intervalo de 5
segundos. Suponha que o nu´mero de part´ıculas emitidas durante cada intervalo de
5 segundos tenha uma distribuic¸a˜o Poisson com paraˆmetro 2. Qual a probabilidade
de que menos de 3 part´ıculas sejam emitidas? Resp: 0.6765.
14. Seja X o nu´mero de acidentes mensais ocorridos numa determinada indu´stria. Se o
nu´mero me´dio de acidentes por meˆs e´ 3, qual a probabilidade de na˜o ocorrer nenhum
acidente no pro´ximo meˆs? Resp: 0.05.
15. O nu´mero de part´ıculas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuic¸a˜o de
Poisson com λ = 0.5 part´ıculas por segundo. Qual a probabilidade de a fonte emitir
uma part´ıcula em treˆs segundos? Qual a probabilidade de a fonte emitir no ma´ximo
duas part´ıculas em 3 segundos? Resp: 0.3347; 0.8088.
16. Em um certo tipo de fabricac¸a˜o de fita magne´tica, ocorrem cortes a uma taxa de 1
por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 cm tenha nenhum
corte? No ma´ximo dois cortes? Pelo menos dois cortes? Resp: 0.3679; 0.9197;
0.2642.
17. Numa linha adutora de a´gua, de 60 km de extensa˜o, o nu´mero de vazamento no
per´ıodo de um meˆs e´ em me´dia 4. Qual e´ a probabilidade de ocorrer, durante o meˆs,
pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extensa˜o? Resp: 0.1813.
18. Seja X o nu´mero de bits recebidos com erro em um canal digital de comunicac¸a˜o,
e considere que X seja varia´vel aleato´ria binomial com p = 0.001. Se 1000 bits
forem transmitidos, determine as seguintes probabilidades: P (X = 1); P (X ≥ 1);
P (X ≤ 2); E(X); Var(X). Resp: 0.3680; 0.6323; 0.9197; 1; 0.999.
19. Um fabricante afirma que apenas 5% de todos os mouses que produz tem durac¸a˜o
inferior a 20 meses. Uma loja compra semanalmente um grande lote de mouses
desse fabricante, mas sob a seguinte condic¸a˜o: ela aceita o lote se, em 10 mouses
escolhidas ao acaso, no ma´ximo um mouse tiver durac¸a˜o inferior a 20 meses; caso
contra´rio o lote e´ rejeitado.
(a) Se o fabricante de fato tem raza˜o, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?
(b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto e´, na verdade a proporc¸a˜o
de mouses com durac¸a˜o inferior a 20 meses e´ de
10%. Qual a probabilidade do lote
ser aceito, segundo o crite´rio acima? Resp: (a) 0.0861; (b) 0.736098.
2
20. Uma rede congestionada de computadores tem 1% de chance de perder um bloco
de dados, e perdas de blocos sa˜o eventos independentes. Uma mensagem de email
requer 100 blocos. Qual e´ a distribuic¸a˜o de blocos de dados que devem ser reeenvi-
ados? Inclua os valores dos paraˆmetros. Qual e´ a probabilidade de no mı´nimo um
bloco ter de ser reenviado? Qual e´ a probabilidade de dois ou mais blocos terem de
ser reenviados? Quais sa˜o a me´dia e a variaˆncia do nu´mero de blocos que teˆm de
ser reenviados. Resp: Binomial, n=100 e p=0.01; 0.6339; 0.2643; 1 e 0.99.
21. Quando um fabricante de disco para computador testa um disco, ele escreve nele
e enta˜o testa-o usando um certificador. O certificador conta o nu´mero de pulsos
perdidos ou erros. O nu´mero de erros na a´rea de teste do disco tem uma distribuic¸a˜o
Poisson, com paraˆmetro λ = 0.2. Qual e´ o nu´mero esperado de erros pela a´rea
testada? Qual e´ a porcentagem de a´reas testadas que teˆm dois ou menos erros?
Resp: 0.2 e 0.9989.
22. O nu´mero de mudanc¸as de conteu´do em uma pa´gina da internet segue a distribuic¸a˜o
de Poisson, com uma me´dia de 0.25 por dia. Qual e´ a probabilidade de duas ou mais
mudanc¸as um dia? Qual e´ a probabilidade de nehuma mudanc¸a em 5 dias? Qual
e´ a probabilidade de duas ou menos mudanc¸as em 5 dias? Resp: 0.0265; 0.287;
0.868.
23. O nu´mero de visitas a uma pa´gina da internet segue distribuic¸a˜o Poisson, com uma
me´dia de 1.5 por minuto. Qual e´ a probabilidade de nehuma visita em 10 minutos?
Qual e´ a probabilidade de duas ou menos visitas em 10 minutos? Resp: 0.000000305
e 0.000039.
24. O nu´mero de mensagens enviadas para um boletim em um computador e´ uma
varia´vel aleato´ria de Poisson, com uma me´dia de cinco mensagens por hora. Qual e´
a probabilidade de 5 mensagens chegarem em 1 hora? Qual e´ a probabilidade de 10
mensagens chegarem em 1.5 hora? Qual e´ a probabilidade de 2 mensagens chegarem
em 1/2 hora? Resp: 0.175446; 0.0858; 0.2565.
25. Considere que o nu´mero de erros ao longo de uma superf´ıcie magne´tica gravadora
seja uma varia´vel aleato´ria de Poisson, com uma me´dia de um erro a cada 105 bits.
Um setor de dados consiste em 4906 bytes de 8 bits. Qual e´ a probabilidade de mais
de um erro em um setor? Resp: 0.04329.
3
Lista_4.pdf
Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Quarta Lista de Probabilidade e Estat´ıstica - Eng. de Software
1. Considere Z ∼ N(0; 1). Com o aux´ılio da tabela, calcule a probabilidade de:
(a) P (0 < Z < 1.81)? Resp: 0.4649.
(b) P (−2.03 < Z < 0)? Resp: 0.4788.
(c) P (Z > 0.63)? Resp: 0.2643.
(d) P (Z < −1.02)? Resp: 0.1539.
(e) P (−1.03 < Z < 2.01)? Resp: 0.8263.
(f) P (0.31 < Z < 2.13)? Resp: 0.3617.
(g) P (−2.13 < Z < −0.97)? Resp: 0.1494.
2. Considere Z ∼ N(0; 1). Encontre o valor de zo tal que:
(a) P (0 < Z < zo) = 0.4649? Resp: zo = 1.81.
(b) P (Z < −zo) = 0.2932? Resp: zo = 0.55.
(c) P (Z > zo) = 0.2266? Resp: zo = 0.75.
(d) P (Z < zo) = 0.0314? Resp: zo = −1.86.
(e) P (−0.23 < Z < zo) = 0.5722? Resp: zo = 2.08.
(f) P (−zo < Z < zo) = 0.90? Resp: zo = 1.64.
(g) P (Z < zo) = 0.09? Resp: zo = −1.34.
(h) P (−1.71 < Z < zo) = 0.25? Resp: zo = −0.54.
(i) P (Z < −zo) = 0.09? Resp: zo = 1.34.
3. Se X ∼ N(10; 4). Calcule:
(a) P (9 ≤ X ≤ 12)? Resp: 0.5328.
(b) P (8 ≤ X ≤ 10)? Resp: 0.3413.
4. Se X ∼ N(1; 0.16). Calcule P (0.2 ≤ X ≤ 1.8)? Resp: 0.9544.
5. Uma enchedora automa´tica de garrafas de refrigerante esta regulada para que o volume
me´dio de liquido em cada garrafa seja de 1.000 cm3 e o desvio-padra˜o de 10 cm3. Pode-se
admitir que a distribuic¸a˜o da varia´vel seja normal.
(a) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido e menor que 990 cm3?
Resp: 0.1587.
(b) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido na˜o se desvia da me´dia
em mais que dois desvios-padra˜o? Resp: 0.9545.
6. A velocidade de transfereˆncia de um arquivo de um servidor da universidade para um
computador pessoal na casa de um estudante, em uma noite de dia de semana, e´ normal-
mente distribu´ıda, com me´dia de 60 Kbits por segundo e um desvio padra˜o de 4 Kbits por
segundo. Qual e´ a probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade de 70 Kbits
por segundo ou mais? Qual e´ a probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade
menor que 58 Kbits por segundo? Qual sera´ a a velocidade ma´xima de transfereˆncia (Kbits
por segundo) de um arquivo para que tenhamos 10.20 % de probabilidade de transfereˆncia?
Resp: 0.0062; 0.3085; 54.92 kb/s.
1
7. Suponha que o diaˆmetro me´dio dos parafusos produzidos por uma fabrica e´ de 0.25 po-
legadas e o desvio-padra˜o 0.02 polegadas. Um parafuso e´ considerado defeituoso se seu
diaˆmetro e´ maior que 0.28 polegadas ou menor que 0.20 polegadas. Suponha distribuic¸a˜o
normal.
(a) Encontre a probabilidade de parafusos defeituosos. Resp: 0.075.
(b) Qual deve ser a medida mı´nima para que tenhamos no ma´ximo 12% de parafusos
defeituosos? Resp: 0.2265.
8. A durac¸a˜o de certos tipos de mouses, em horas e´ normalmente distribu´ıda com durac¸a˜o
me´dia de 5000 horas e desvio-padra˜o de 1000 horas.
(a) Qual a probabilidade de um mouse escolhido ao acaso durar entre 4500 e 6350 horas?
Resp: 0.603.
(b) Se o fabricante desejasse fixar uma garantia de horas, de tal forma que se a durac¸a˜o do
mouse fosse inferior a garantia, o mouse seria trocado, de quanto deveria ser esta garantia
para que somente 1% dos mouses fossem trocados? Resp: 2670.
9. Dois dispositivos eletroˆnicos com lei de falhas exponencial com me´dia respectivamente 5h
e 10 h sa˜o ligados em paralelos formando um u´nico sistema e funcionando independente-
mente. Determinar:
(a) A probabilidade de cada um dos dispositivos apo´s 20 horas; Resp: 0.135 e 0.0183.
(b) A probabilidade do sistema todo apo´s 20 horas; Resp: 0.1512.
10. Um componente eletroˆnico tem distribuic¸a˜o exponencial, com me´dia de 50 horas. Suposta
uma produc¸a˜o de 10.000 unidades, quanto deles espera-se que durem entre 45 e 55 horas?
Resp: 737.
11. Suponha que a durac¸a˜o de vida de um dispositivo eletroˆnico seja exponencialmente dis-
tribu´ıda. Sabe-se que a probabilidade desse dispositivo durar mais de 100 horas de operac¸a˜o
e´ de 0.90. Quantas horas de operac¸a˜o devem ser levadas em conta para conseguir-se uma
probabilidade de 0.95? Resp: 48.72.
2
Lista_5.pdf
5ª LISTA DE EXERCÍCIOS - PROBEST 
TURMA: ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 
 
1) Classifique cada uma das variáveis abaixo em Qualitativa (nominal/ordinal) ou Quantitativa 
(discreta/contínua): 
a) Marcas de discos rígidos numa loja de informática em Campo Grande. 
b) Lojas de informática em Campo Grande. 
c) Tempo gasto para compilar um programa. 
d) Quantidade de mouses vendidos numa loja de informática. 
e) Grau do Programador numa empresa de informática: Júnior, Sênior e Pleno. 
 
R.: a) Qualitativa nominal; b) Qualitativa nominal; c) Quantitativa contínua; d) 
Quantitaiva discreta; e) Qualitativa ordinal. 
 
2) Um questionário foi aplicado aos dez funcionários do setor de uma empresa de Software, 
fornecendo os dados apresentados na tabela: 
Funcionário Sexo 
Curso 
(completo) 
Idade Salário (R$) 
Anos de 
empresa 
1 masculino superior 34 2100,00 5 
2 feminino superior 43 2450,00 8 
3 feminino médio 31 1060,00 6 
4 masculino médio 37 1060,00 8 
5 masculino médio 24 1000,00 3 
6 feminino médio 25 1000,00 2 
7 masculino médio 27 1000,00 5 
8 feminino médio 22 1000,00 2 
9 masculino fundamental 21 950,00 3 
10 feminino fundamental 26 950,00 3 
 
a) Classifique cada uma das
variáveis; 
b) Faça uma representação gráfica para a variável Curso; 
c) Faça uma tabela para à variável Curso em relação à variável Sexo. 
 
 R.: a) Sexo - Qualitativa nominal; Curso - Qualitativa ordinal; Idade - Quantitativa 
contínua; Salário - Quantitativa contínua; Anos de empresa - Quantitativa contínua. 
 
 b) Gráfico: colunas, barras, setor 
 
 
 
 
 
 
 
c) Tabela: Funcionários do setor da empresa por sexo e grau de instrução. 
Grau de Instrução 
Sexo 
Fundamental Medio Superior Total 
Feminino 
 
Masculino 
1 
 
1 
3 
 
3 
1 
 
1 
5 
 
5 
Total 2 6 2 10 
Fonte: exercicio 
 
 
 
3) Uma grande empresa do ramo de informática apresentou nos últimos anos os seguintes 
dados: 
Ano Computadores 
Vendidos 
Gastos com propaganda (R$) Renda per capita 
(US$) 
2008 116002 1713 429 
2009 154972 2835 455 
2010 178179 3585 482 
2011 233011 5566 514 
2012 295725 7251 556 
2013 343533 8146 596 
2014 379370 9148 632 
 Fonte: dados fictícios 
 
a) Represente graficamente cada série separadamente; 
b) Analisando essas tabelas e gráficos pode-se concluir que os gastos com propaganda foram 
compensados com o aumento da quantidade de computadores vendidos? Justifique. 
R.: a) Gráfico em linhas (preferencialmente), colunas ou barras; b) Sim. Quanto mais 
gasto com propaganda; maior foi o número de computadores vendidos e teve aumento na 
renda. 
 
4) Uma empresa de informática verificou que, nos últimos meses, ocorreu um aumento no 
número de reclamações sobre a ocorrência de defeitos nos computadores por ela fabricada. 
A empresa desejava eliminar esta situação indesejável e para isto iniciou estudos para 
melhorar os resultados. Na etapa de identificação do problema, os técnicos da empresa 
classificaram o número total de problemas encontrados em uma amostra de computadores 
produzida durante uma semana de trabalho, segundo os tipos de problemas que foram 
detectados. Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Defeitos encontrados em uma amostra durante uma semana de produção na empresa. 
Tipo de defeito 
Quantidade de 
defeitos 
Software não desinstala 14 
Hd não formata 01 
Computador não emite som 04 
Gabinete dando choque 24 
Computador trava aleatoriamente 01 
Computador não reconhece HD 44 
Monitor apresenta problema no 
RGB 
07 
Computador reiniciando 79 
Placa mãe não reconhece 
processador 
01 
Relógio do sistema operacional 
atrasando 
05 
Total 180 
 
a) Construa um gráfico adequado para esta situação. 
b) Identifique os tipos de defeitos que os técnicos da empresa deveriam “atacar” em primeiro 
lugar, com o objetivo de melhorar os resultados que vinham sendo obtidos pela emprresa. 
Justifique sua resposta. 
 
R. a) Pareto; b) Computador reiniciando, Computador não reconhece HD, Gabinete 
dando choque. Prioridade para os que apresentam maior ocorrência. 
 
 
5) De acordo com uma pesquisa, vê-se que dos 36 empregados da seção de orçamentos da 
Cia. Milsa, 12 têm o primeiro grau, 18 o segundo e 6 possuem título universitário. 
Apresente esta distribuição em uma tabela (com as proporções) e em um gráfico. 
 
 R.: Tabela: Grau de instrução empregados da seção de orçamentos da cia. Milsa. 
Grau de 
instrução 
Frequência 
simples absoluta 
Frequência 
simples relativa 
1 grau 
 
2 grau 
 
3 grau 
12 
 
18 
 
6 
0,33 
 
0,50 
 
0,17 
Total 36 1,00 
 Fonte: exercicio 
 
c) Gráfico de barra ou coluna. 
 
6) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados, tendo, para 
isso, realizado um levantamento abrangendo um período de 36 meses, onde foi observado o 
número de operários acidentados para cada mês. Os dados correspondentes são: 
1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 
5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 
6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 
 
a) Construa uma distribuição de freqüência adequada; 
b) Represente graficamente a distribuição do item a; 
c) Em qual porcentagem de meses houve, exatamente, seis acidentes? 
d) Em qual porcentagem de meses houve até quatro acidentes? 
 
R.: a) Tabela com a variável agrupada sem intervalo de classe; b) colunas; c)1/6
 d)1/3 
 
7) Contou-se o número de erros no programa durante 50 dias, obtendo-se os resultados abaixo: 
08 11 08 12 14 13 11 14 14 05 06 10 
14 13 06 12 07 05 08 08 10 16 10 12 
12 08 11 06 07 12 07 10 14 05 12 07 
09 12 11 09 14 08 14 08 12 10 12 13 
07 15 
 
a) Construa uma distribuição de freqüência adequada; 
b) Represente a distribuição graficamente; 
c) Calcule o número médio de erros de impressão por primeira página; 
d) Calcule a mediana; 
e) Determine a moda. 
 
R.: a) Tabela com a variável agrupada sem intervalo de classe; b) Gráfico barras ou 
colunas; c)10.24; d)10.5; e)12. 
 
8) A distribuição de freqüências do salário anual de uma empresa que têm alguma forma de 
rendimento é apresentada na tabela abaixo: 
Faixa Salarial (x10 S.M.) fi 
0  2 10.000 
2  4 3.900 
4  6 2.000 
6  8 1.100 
 8  10 800 
10  12 700 
12  14 2.000 
 
a) Construa um histograma da distribuição e identifique o tipo de assimetria; 
b) A média é uma boa medida para representar estes dados? Justifique sua resposta. 
R.: a) Positiva ou à direita b) Não. Devido a assimetria. 
 
9) O professor da disciplina Algoritmo e Programação solicitou que os 40 alunos de 
Engenharia de Software resolvesse um problema criando um algoritmo. O tempo (em 
milissegundos) de compilação do programa de cada aluno encontra-se abaixo: 
0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737 0,728 0,737 
0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735 0,745 0,736 0,742 0,740 
0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732 0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734 
0,738 0,739 0,727 0,735 
 
a) Construa uma tabela de distribuição de frequência por intervalos de classe; 
b) Represente graficamente a distribuição do item a. 
 
R.: a) n= 40 k= 6.32 AT = 0,021 h=0.004 
 
 Tabela: Tempo (em milissegundos) de compilação do programa. 
Tempos Números de alunos 
(fi) 
% 
 0.724  0.728 
0.728  0.732 
0.732  0.736 
0.736  0.740 
0.740  0.744 
0.744  0.748 
4 
6 
11 
12 
6 
1 
10 
15 
27.5 
30 
15 
2.5 
Total 40 100,0 
 Fonte: exercicio. 
 
b) Histograma 
 
 
10) Na empresa de informática X, a média dos salários é 10.000 unidades e o 750 percentil é 
5.000. Justifique. 
 
a) Se você se apresentasse como candidato a essa empresa e se o seu salário fosse escolhido ao 
acaso entre todos os possíveis salários, o que seria mais provável: ganhar mais ou menos 
que 5.000 unidades? 
 
b) Suponha que na empresa Y a média dos salários é 7.000 unidades e a variância é 
praticamente zero, e lá o seu salário também seria escolhido ao acaso. Em qual empresa 
você se apresentaria para procurar emprego? R.: a) Ganhar menos; b) Y.
11) O professor da disciplina Estrutura de dados solicitou que duas turmas de Análise de 
Sistemas compostas por 40 alunos em cada turma resolvessem um problema criando um 
algoritmo. O tempo (segundos) de compilação do programa de cada aluno das turmas está 
apresentado a seguir: 
 
Turma 1 
11,7 11,8 12,1 10,7 11,7 10,9 10,7 11,6 12,5 10,7 11,5 11,1 
11,2 11,2 11,8 11,2 11,0 11,7 11,1 11,3 11,0 12,2 10,7 12,2 
11,9 11,1 11,4 10,7 11,2 11,6 11,0 10,9 11,2 11,2 11,3 12,1 
10,9 11,7 11,3 11,5 
 
 
 
Turma 2 
11,4 11,5 11,5 10,4 11,0 9,9 10,5 10,8 11,4 11,5 10,9 10,2 
11,1 11,0 10,2 11,2 11,9 10,8 11,2 11,0 10,2 11,5 
10,9 
10,9 10,1 
11,2 10,7 11,8 11,1 10,4 11,8 11,9 10,7 10,8 10,8 10,4 10,8 
11,2 10,8 10,6 
 
11,0 
 
 
Para cada turma, calcule a média, a mediana, o desvio padrão, o coeficiente de variação, Q1 e 
Q3 da variável tempo de compilação do programa e construa o histograma e o box plot. A partir 
das medidas descritivas e dos histogramas e box plots, compare o desempenho das duas turmas 
comentando os aspectos de posição e variabilidade dos dados. 
R.: 
Turma 1 Turma 2 
Média=11.365 
Mediana=11.25 
Desvio Padrão=0.4715 
CV=0.0415 
Quartil 1: 11.0 
Quartil 3: 11.7 
 
Média=10.95 
Mediana=10.9 
Desvio Padrão=0.5109 
CV=0.0467 
Quartil 1: 10.6 
Quartil 3: 11.2 
 
 
 
 
 
12) Você está indeciso em comprar um disco rígico e decide avaliar algumas informações 
estatísticas, fornecidas pelo fabricante, sobre a duração (em horas) do seu tempo de vida. 
Com que marca você ficaria? 
Marcas A B C 
Média 8.000 8.200 8.000 
Mediana 8.000 9.000 7.000 
Desvio padrão 600 1.500 2.500 
 
R: Marca A. 
 
13) Um estudante de Análise de Sistemas está procurando um estágio para o próximo ano. As 
empresas de informática A e B têm programas de estágios e oferecem uma remuneração 
por 20 horas semanais com as seguintes características (em salários mínimos). Qual 
companhia é mais adequada? 
 
Empresas A B 
Média 2,5 2,0 
Mediana 1,7 1,9 
Moda 1,5 1,9 
 
 
R: A empresa A tem 50% dos seus estagiários recebendo até 1.7 salários minimos e 
o valor com maior frequência de ocorrência é 1.5. Como a média é 2.5 deve haver 
alguns poucos estagiários com salário bem mais alto, ou seja, valor alto com 
frequência pequena de ocorrência. A empresa B tem as três medidas bem 
próximas indicando uma razoável simetria entre os salários altos e baixos. A opção 
do estudante dependerá de sua qualificação. Se o estudante for bem qualificado, 
deve preferir a empresa A, pois terá mais chance de obter um dos altos salários. Se 
tiver qualificação próxima ou abaixo dos outros estudantes, deve preferir a B qua 
parece ter uma política mais homogênea de salários. 
 
14) A quantidade de vendas em uma loja de informática de Campo Grande durante 26 dias em 
relação a uma nova marca de processador encontra-se abaixo: 
 
73 19 16 64 28 28 31 90 60 56 
31 22 18 45 48 17 17 17 91 92 
63 50 51 69 16 17 
 
a) Calcule a média aritmética, a mediana, o primeiro quartil e o terceiro quartil. 
 
b) Construa o box-plot. Os dados são assimétricos? Em caso afirmativo, qual a direção da 
assimetria? Existem valores atípicos (possível presença de outliers)? 
 
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Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Sexta Lista de Probest
1. Considere que seja de interesse estudar os sala´rios de 10.000 funciona´rios de uma empresa de
informa´tica em Campo Grande. Seleciona-se uma amostra de 200 funciona´rios e anotam-se os
seus sala´rios. Encontre a Populac¸a˜o, Varia´vel e a Amostra.
Resp Populac¸a˜o: Funciona´rios de uma empresa de informa´tica em Campo Grande.
Varia´vel: X= Sala´rios dos funciona´rios da empresa.
Amostra: Os 200 entrevistados da empresa.
2. Deˆ sua opinia˜o sobre os tipos de problemas que surgira˜o no seguinte plano de amostragem. Para
investigar a proporc¸a˜o de estudantes de Ana´lise de Sistemas da UFMS, favora´veis a` mudanc¸a do
in´ıcio das atividades das 7:10 h para a`s 8:00 h, decidiu-se entrevistar os 30 primeiros estudantes
que chegassem no multiuso na segunda–feira.
Resp Na˜o representa a populac¸a˜o. Somente um dia, em um local e u´nico hora´rio.
3. Analise as situac¸o˜es descritas abaixo e decida se a pesquisa deve ser feita por amostragem ou por
censo, justificando sua resposta.
(a) Numa linha de produc¸a˜o de processadores, observar o tempo de vida u´til dos processadores
produzidos.
(b) Em uma sala de aula composta por 40 alunos de Engenharia de Software na aula de Probest,
analisar suas idades.
(c) Verificar em um lote com 10.000 pec¸as de discos r´ıgidos, a quantidade de pec¸as defeituosas.
(d) Verificar a carga hora´ria dia´ria de trabalho dos 20 funciona´rios de uma empresa de hardware
no estado de Mato Grosso do Sul.
Resp (a) Amostragem (b) Censo (c) Amostragem (d) Censo
4. Nos itens apresentados abaixo, identifique qual o tipo de amostragem mais adequado a ser utilizado
em cada situac¸a˜o.
(a) Ao escalar um ju´ri um tribunal de justic¸a decidiu selecionar aleatoriamente 4 pessoas brancas,
3 morenas, e 4 negras.
(b) Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador do Brasil, em carto˜es separados, mistura e
extrai 10 nomes.
(c) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que esta˜o na fila de espera para
serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma a cada 10 pessoas da fila.
Resp (a) Estratificada (b) Aleato´ria simples (c) Amostragem sistema´tica.
5. Considere que em Campo Grande existam 30 empresas de Software. Pretende conhecer o lucro
dia´rio dessas empresas. Os lucros (x100 reais) populacionais das 30 empresas sa˜o:
25;20;35;21;22;24;25;30;38;24;20;20;25;20;19;25;23;24;28;24;24;22;28;26;23;25;22;27;25;23.
Extraia uma amostra aleato´ria simples de tamanho 10 desta populac¸a˜o por sorteio.
Resp Escrevemos os valores em pape´is (ou tabelas de nu´meros aleato´rios) para obter os 10 valores.
6. Obter uma amostra de 80 funciona´rios de uma empresa de informa´tica em Campo Grande que
conte´m 2000 funciona´rios utilizando me´totodo de amostragem sistema´tica.
7. Suponha que uma populac¸a˜o apresenta grande variabilidade em relac¸a˜o a uma determinada carac-
ter´ıstica de interesse. Esta populac¸a˜o e´, enta˜o, dividida em 4 grupos homogeˆneos para a carac-
ter´ıstica de interesse, com tamanhos, respectivamente, N1=90, N2=120; N3=60 e N4=480.
(a) Determine qual a te´cnica de amostragem mais adequada a ser utilizada?
(b) Pretende-se retirar uma amostra aleato´ria simples com reposic¸a˜o de 100 elementos da populac¸a˜o.
Quantas amostras devem ser retiradas de cada grupo, supondo que sera´ retirada uma amostra
proporcional ao tamanho dos grupos?
Resp (a) Amostragem estratificada; (b) n1=12, n2=16, n3=8 e n4=64
1
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Se´tima Lista de Probest
1. Seja X ∼ N(80; 26). Dessa populac¸a˜o retiramos uma amostra n de tamanho 25. Calcule:
(a) P (X > 83)? Resp: 0.0016.
(b) P (X < 82)? Resp: 0.975.
2. Para se ajustar uma ma´quina, a correia deve ter entre 60 e 62 cm de comprimento. Tendo em vista
o processo de fabricac¸a˜o, o comprimento destas correias pode ser considerado como uma varia´vel
aleato´ria com distribuic¸a˜o normal, de me´dia 60.7 e desvio padra˜o 0.8 cm. Um grande revendedor
dessas correias estabelece um controle de qualidade nos lotes que compra da fa´brica:
ele sorteia 4
correias do lote e so´ aceita o lote se o comprimento me´dio estiver dentro do tamanho aceito pela
ma´quina. Calcule a probabilidade de aceitac¸a˜o do lote. Resp: 0.9593.
3. Seja X ∼ N(100; 85). Dessa populac¸a˜o retiramos uma amostra n de tamanho 20. Determine
P (95 < X < 105)? Resp: 0.985.
4. Um empresa que constro´i discos r´ıgidos fornece 10% com o tempo de vida abaixo do especificado.
Extra´ıda uma amostra aleato´ria de 400 discos r´ıgidos por essa empresa, qual a probabilidade de
que a proporc¸a˜o amostral de discos r´ıgidos com o tempo de vida abaixo do especificado esteja entre
9% e 11%? Resp: 0.4971
5. Seja X ∼ N(1200; 840). Qual devera´ ser o tamanho de uma amostra de tal forma que P (1196 <
X < 1204) = 0.90? Resp: n= 142.
6. Para uma populac¸a˜o com desvio padra˜o igual a 10, qual deve ser o tamanho da amostra para que
a diferenc¸a da me´dia amostral para a me´dia populacional, em valor absoluto, seja igual a 1, com
probabilidade igual a 0.99? Resp: 663.
7. A ma´quina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuic¸a˜o Normal, com
me´dia µ e desvio padra˜o σ de 10g. Em quanto deve ser regulado o peso me´dio µ para que apenas
10% dos pacotes tenham menos do que 500g? Resp: 512.8.
8. Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um ma´ximo de 10% de itens
defeituosos na produc¸a˜o. A cada 60 minutos sorteia-se uma amostra de 50 pec¸as, e, havendo mais
de 15% de defeituosos, para-se a produc¸a˜o para verificac¸o˜es. Qual a probabilidade da parada para
a verificac¸a˜o? Resp: 0.119.
9. Para uma distribuic¸a˜o Qui-quadrado, determine χ2α,v de modo que:
(a) P (χ2 > χ2α,4) = 0.99
(b) P (χ2 < χ2α,12) = 0.975
Resp: 0.30 e 23.34
10. Para uma distribuic¸a˜o T-Student, determine tα,v de modo que:
(a) P (T > tα,15) = 0.05
(b) P (T < −tα,20) = 0.025
(c) P (T > −tα,25) = 0.99
Resp: 1.753; 2.0860 e 2.485.
11. Se recolhesse 200 amostras de dimensa˜o 40 a partir da mesma populac¸a˜o, de modo que com elas
constru´ısse 200 intervalos de confianc¸a a 99%, quantos destes intervalos esperariam que contivessem
o verdadeiro valor do paraˆmetro em ana´lise? Resp: 198.
12. Na˜o se conhece a medida de um certo tipo de uma pec¸a. Sabe-se, no entanto, de estudos anteriores,
que o desvio padra˜o da medida de outras pec¸as do mesmo geˆnero e´ 10 mm. Na ana´lise de uma
amostra de 100 pec¸as deste tipo, obteve-se a me´dia de 20 mm. Encontre um I.C. para a me´dia
populacional das pec¸as em estudo. Adote um n´ıvel de confianc¸a de 95%. Resp: [18.04; 21.96].
1
13. Numa empresa de informa´tica de grande porte com 500 Analistas de sistemas, 25 analistas foram
selecionados para resolver um problema criando um algoritmo. O tempo de compilac¸a˜o (em milis-
segundos) de cada programa tem distribuic¸a˜o Normal, com um desvio padra˜o de 2 milissegundos.
O tempo de compilac¸a˜o do programa de cada engenheiro encontra-se abaixo 5.8; 5.5; 5.8; 7.2; 8.5;
8.8; 8.3; 6.5; 10.3 ;9.3 ;9.0 ;11.3 ;11.5 ;9.5 ;5.5; 11.7; 12.7; 8.5; 10.0 e 10.7.
(a) Obtenha um intervalo de confianc¸a para o tempo me´dio de compilac¸a˜o referente a populac¸a˜o
em estudo. Use o n´ıvel de confianc¸a de 95% Resp: [7.95; 9.70].
(b) Qual deveria saber o tamanho da amostra para que o intervalo de confianc¸a de 99% para o
tempo me´dio de compilac¸a˜o tivessem margem de erro de um milissegundo? Resp: n=27.
14. Uma amostra de tamanho 9, extra´ıda de uma populac¸a˜o Normal, apresentou me´dia igual a 1 e desvio
padra˜o igual a 0.264. Construir um intervalo de confianc¸a de 99% para a me´dia populacional. Resp:
[0.7047; 1.2952].
15. Em uma fa´brica, colhida uma amostra de 30 pec¸as para avaliac¸a˜o, obtiveram-se as informac¸o˜es sobre
o diaˆmetro me´dio e a variaˆncia do diaˆmetro das pec¸as que foram 13.13 mm e 2.05 mm. Construa
o I.C. para a me´dia adotando um n´ıvel de confianc¸a de 95%. Resp: [12.60; 13.66].
16. O objetivo de uma pesquisa e´ estimar o tempo me´dio que certo tratamento demora para fazer efeito.
Uma amostra piloto de pacientes em que foi aplicado o tratamento forneceu o desvio padra˜o de 15
dias. qual deve ser o tamanho de amostra para que o erro cometido ao estimarmos o tempo me´dio
na˜o seja superior a treˆs dias com probabilidade de 0.95? Resp: n=96.
17. Um analge´sico foi aplicado a um grupo de 50 pacientes e observou-se o tempo me´dio para o in´ıcio
do seu efeito de 6 meses e desvio padra˜o de 10 dias.
(a) Qual e´ a estimativa pontual do tempo me´dio que o analge´sico leva para fazer o efeito? Resp:
n= 180.
(b) Encontre uma estimativa intervalar com 93% de confianc¸a para o tempo esperado de efeito do
analge´sico.
Resp: [177.44; 182.56].
(c) Com base no intervalo encontrado em (b), qual e´ o erro amostral de sua estimativa pontual?
Resp: 2.56.
18. Um pesquisador deseja estimar a proporc¸a˜o de ratos nos quais se desenvolve num certo tipo de
tumor quando submetidos a radiac¸a˜o. Ele deseja que sua estimativa na˜o se desvie da proporc¸a˜o
verdadeira por mais de 0.01 com um grau de confianc¸a de 95%.
(a) Quantos animais ele precisa examinar para satisfazer essas as exigeˆncias? Resp: 9604.
(b) Como seria poss´ıvel diminuir o tamanho da amostra utilizando a informac¸a˜o adicional de que
este tipo de radiac¸a˜o na˜o afeta mais que 18%.? Resp: 5671.
19. Suponha que estejamos interessados em estimar a proporc¸a˜o p de consumidores de um determinado
disco r´ıgido. Determine:
(a) O tamanho da amostra necessa´ria para que o erro cometido na estimac¸a˜o seja no ma´ximo 0.02
com probabilidade 0.95? Resp: 2401.
(b) Qual seria o tamanho da amostra utilizando a informac¸a˜o adicional de que em geral a proporc¸a˜o
de consumidores do disco r´ıgido e´ no ma´ximo 10%? Resp: 865.
(c) Suponha que uma pesquisa de mercardo foi realizada com o tamanho de amostra obtido em
b e observou-se que 13% desses consumidores preferem tal disco r´ıgido. Construa o intervalo de
confianc¸a para p com n´ıvel de confianc¸a de 95%. Resp: [0.108; 0.152].
20. Certo jornal divulgou uma pesquisa eleitoral com 500 eleitores. A mate´ria afirmava que o candidato
A detinha 38% das intenc¸o˜es de voto e o candidato B detinha 35%. Determine intervalos com 98%
de confianc¸a para a intenc¸a˜o de votos dos dois candidatos Resp: [0.33; 0.43] e [0.30; 0.40].
21. O consumo de combust´ıvel e´ uma varia´vel aleato´ria com paraˆmetros dependendo do tipo de ve´ıculo.
Pore´m, precisamos de informac¸o˜es sobre o consumo me´dio. Para tal coletamos uma amostra de 40
automo´veis desse modelo e observamos o seu consumo.
(a) Quem seria um estimador pontual do consumo me´dio para todos dos automo´veis desse modelo?
2
(b) Se a amostra forneceu um consumo me´dio de 9.3 km/l e desvio padra˜o de 2 km/l. Construa um
intervalo de confianc¸a de 94% para a me´dia de consumo desses carros. (c) Se a amplitude de um
intervalo de confianc¸a, constru´ıdo a partir dessa amostra, e´ de 1.5 km/l; qual teria sido o coeficiente
de confianc¸a.
Resp: a) Me´dia amostral; b)[8.71; 9.89], c) 98.22%
22. Um fabricante sabe que a vida u´til das laˆmpadas que fabrica tem distribuic¸a˜o aproximadamente
normal com desvio padra˜o de 200 horas. Para estimar a vida me´dia das laˆmpadas, tomou uma
amostra de 400 delas, obtendo vida me´dia de 1.000 horas. (a) Construir um intervalo de confianc¸a
para µ usando o n´ıvel de confianc¸a de 99%; (b) Qual o valor do erro de estimac¸a˜o cometida em
a? (c) Qual o tamanho da amostra necessa´ria para se obter um erro de 5 horas, com 99% de
probabilidade de acerto? Resp: (a)[974.2; 1025.8]; (b) 25.8 hs; (c) 10609
23. Uma empresa fabricante de baterias de notebook efetua um teste para controle de qualidade de
seus produtos. Selecionou-se uma amostra de 600 baterias, das quais 18 apresentaram n´ıveis de
desgaste acima do tolerado. Verifique, ao n´ıvel de confianc¸a de 95%, a
proporc¸a˜o de baterias com
desgaste acima do tolerado, do atual processo industrial. Resp: [1.64%; 4.36%]
24. A seguinte amostra foi extra´ıda de uma populac¸a˜o normal: 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12. Construa o
intervalo de confianc¸a para a variaˆncia populacional, com n´ıvel de confianc¸a de de 90%.
Resp: [2.03; 11.53]
25. Suponha que estejamos interessados em estimar a proporc¸a˜o p de consumidores de um determinado
disco r´ıgido. Determine:
(a) O tamanho da amostra necessa´ria para que o erro cometido na estimac¸a˜o seja no ma´ximo 0.02
com probabilidade 0.95? Resp: 2401.
(b) Qual seria o tamanho da amostra utilizando a informac¸a˜o adicional de que em geral a proporc¸a˜o
de consumidores do disco r´ıgido e´ no ma´ximo 10%? Resp: 865.
(c) Suponha que uma pesquisa de mercardo foi realizada com o tamanho de amostra obtido em
b e observou-se que 13% desses consumidores preferem tal disco r´ıgido. Construa o intervalo de
confianc¸a para p com n´ıvel de confianc¸a de 95%. Resp: [0.108; 0.152].
26. Certo jornal divulgou uma pesquisa eleitoral com 500 eleitores. A mate´ria afirmava que o candidato
A detinha 38% das intenc¸o˜es de voto e o candidato B detinha 35%. Determine intervalos com 98%
de confianc¸a para a intenc¸a˜o de votos dos dois candidatos Resp: [0.33; 0.43] e [0.30; 0.40].
27. O consumo de combust´ıvel e´ uma varia´vel aleato´ria com paraˆmetros dependendo do tipo de ve´ıculo.
Pore´m, precisamos de informac¸o˜es sobre o consumo me´dio. Para tal coletamos uma amostra de 40
automo´veis desse modelo e observamos o seu consumo.
(a) Quem seria um estimador pontual do consumo me´dio para todos dos automo´veis desse modelo?
(b) Se a amostra forneceu um consumo me´dio de 9,3 km/l e desvio padra˜o de 2 km/l. Construa um
intervalo de confianc¸a de 94% para a me´dia de consumo desses carros. (c) Se a amplitude de um
intervalo de confianc¸a, constru´ıdo a partir dessa amostra, e´ de 1,5 km/l; qual teria sido o coeficiente
de confianc¸a. Resp: a) Me´dia amostral; b)[8,71; 9,89], c)87,28%
28. O tempo de execuc¸a˜o de uma etapa em um processo de produc¸a˜o tem distribuic¸a˜o aproximadamente
normal e foi medido doze vezes, obtendo-se os seguintes resultados em minutos: 15; 12; 14; 15; 16;
14; 16; 13; 14; 11; 15; 13.
(a) Apresente um intervalo de 95% de confianc¸a para o tempo me´dio; (b) E´ poss´ıvel afirmar com
uma confianc¸a de 95% que o tempo me´dio de execuc¸a˜o de uma etapa do processo produtivo seria
superior a 14 minutos, se fossem medidos os tempos de todos os funciona´rios do setor?
Resp: (a) [13.02; 14.98]; (b) Na˜o pois o I.C. com 95% de confianc¸a conte´m valores inferiores a 14.
29. Um fabricante sabe que a vida u´til das laˆmpadas que fabrica tem distribuic¸a˜o aproximadamente
normal com desvio padra˜o de 200 horas. Para estimar a vida me´dia das laˆmpadas, tomou uma
amostra de 400 delas, obtendo vida me´dia de 1.000 horas. (a) Construir um intervalo de confianc¸a
para ? ao n´ıvel de 1%; (b) Qual o valor do erro de estimac¸a˜o cometida em a? (c) Qual o tamanho da
amostra necessa´ria para se obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilidade de acerto? Resp:
(a)[974,2 ; 1025,8]; (b) 25,8 hs; (c) 10692
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30. Uma Fa´brica produziu 500.000 chips Pentium IV em um certo per´ıodo. Sa˜o selecionados aleatoria-
mente 400 chips para testes. (a) Suponha que 20 chips na˜o tenham a velocidade de processamento
adequada, construa um intervalo para a proporc¸a˜o de chips adequados com 95% de confianc¸a; (b)
Verifique se essa amostra e´ suficiente para obter um intervalo de 99% de confianc¸a e erro amostral
ma´ximo de 0.5% para a proporc¸a˜o de chips adequados. Caso contra´rio, qual deveria ser o tamanho
da amostra?
Resp: (a) [0.93 ; 0.97]. (b) O tamanho da amostra deveria ser 12549. Logo, a amostra na˜o e´
suficiente.
31. Um provedor de acesso a` Internet esta´ monitorando a durac¸a˜o do tempo das conexo˜es de seus
clientes, com o objetivo de dimensionar seus equipamentos. Mais especificamente, deseja estimar a
proporc¸a˜o P de usua´rios que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas operac¸o˜es. Uma
amostra aleato´ria de clientes que utilizam esse provedor foi coletada e o tempo de utilizac¸a˜o de cada
um foi registrado, fornecendo as seguintes medidas desse tempo (em minutos):
25, 28, 28, 40, 52, 15, 120, 34, 65, 78, 42, 16, 44, 27, 22, 36, 50, 80, 15, 45, 23, 34, 14, 58, 32, 90,
133, 48, 19, 17, 28, 39, 15, 40, 33, 68, 27, 37, 42, 59, 62, 73, 24, 28, 40, 70, 19, 46, 43, 31, 60.
a) Deˆ uma estimativa pontual para proporc¸a˜o de usua´rios que demoram 60 minutos ou mais para
realizarem suas operac¸o˜es. b) Construa uma estimativa intervalar com 95% de confianc¸a para
proporc¸a˜o de usua´rios que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas operac¸o˜es.
Resp (a)0.22; (b)[0.107; 0.334].
32. Uma centena de componentes foi ensaiada e 93 deles funcionaram mais que 500 horas. Dterminar
um intervalo de confianc¸a de 95% de confianc¸a para a proporc¸a˜o de pec¸as que va˜o funcionar mais
que 500 horas. Resp: [0.88; 0.98]
33. Foram realizados 20 experimentos com um algoritmo de uma empresa. A amostra representa o
tempo de compilac¸a˜o (em segundos): 9.85; 9.93; 9.75; 9.77; 9.67; 9.87; 9.67; 9.94; 9.85; 9.75; 9.83;
9.92; 9.74; 9.99; 9.88; 9.95; 9.95; 9.93; 9.92; 9.89 extra´ıda de uma populac¸a˜o normal. Construa o
I.C. para µ adotando um n´ıvel de confianc¸a de 95%. Resp: [9.8073; 9.8977]
34. Suponha que foi executado o programa de edic¸a˜o de imagens 10 vezes e em cada execuc¸a˜o foi
encontrado o valor medido (em segundos). Os valores foram: 9;8;12;7;9;6;11;6;10;9. Considere que
os valores medidos foi extra´ıdo de um Populac¸a˜o Normal. Construa o I.C. para µ adotando um
n´ıvel de confianc¸a de 95%. Construa o I.C. para σ2 adotando um n´ıvel de confianc¸a de 90%.
Resp: [7.27; 10.13] e [2.13; 10.81].
35. O tempo de processamento necessa´rio para executar uma tarefa foi medido em relac¸a˜o a um sistema.
Uma amostra coletada forneceu os seguintes resultados (em ms): 10, 13, 14, 11, 13, 14, 11, 13, 14,
15, 12, 14, 15, 13, 14, 12, 12, 11, 15, 16, ,13, 15, 14, 14, 15, 15, 16, 12, 10, 15. Supondo que os
tempos sejam aproximadamente normais, obtenha um intervalo de confianc¸a para o tempo me´dio
e a variaˆncia do sistema, usando um grau de confianc¸a de 98%. Resp: [12.61; 14.13] e [1.67; 5.81]
36. Foram realizados experimentos com dois algoritmos distintos numa empresa. Amostras foram ob-
tidas para a dos tempos (em milissegundos), dos dois algoritmos:
ALgoritmo 1: 120; 132; 123; 122; 140; 110; 120; 107
Algoritmo 2:126; 124; 116; 125; 109; 130; 125; 117; 129; 120.
Supondo que os tempos sejam aproximadamente normais, obtenha um intervalo de confianc¸a para
o tempo me´dio e a variaˆncia do tempo de cada tipo de algoritmo usando um grau de confianc¸a de
95%.
Resp: Algoritmo 1 - [112.8; 130.7] e [50.06; 474.22]; Algoritmo 2 - [117.42; 126.78] e [20.24; 142.57]
37. Suponha que o tempo de vida (horas) de um microprocessador tem distribuic¸a˜o aproximadamente
normal com variaˆncia de 25 horas2. Uma amostra aleato´ria de 20 microprocessador apresentou
uma me´dia de 1014 horas.
a) Construa o I.C. para a me´dia de vida das laˆmpadas usando um grau de confianc¸a de: 90%; 95%
e 99%.
b) Suponha que desejamos ser 95% confiantes de erro na estimac¸a˜o da vida me´dia e´ menor que 5
horas. Qual tamanho da amostra deveria ser usado?
c) Suponha que no´s queiramos um comprimento total do I.C. da me´dia de vida de ser de 6 horas
ao n´ıvel de confianc¸a de 95%. Qual tamanho amostral deveria ser usado?
Resp: a) [1012.1608; 1015.8392], [1011.8087; 1016.1913] e [1011.1211; 1016.8789] b) n = 4; c) n =
11
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38. Um provedor de acesso a` Internet esta monitorando a durac¸a˜o do tempo das conexo˜es de seus
clientes, com o objetivo de dimensionar seus equipamentos. Sa˜o desconhecidas
a me´dia e distribuic¸a˜o
de probabilidades desse tempo. Uma amostra de 500 conexo˜es resultou num valor me´dio observado
de 25 minutos e o desvio padra˜o e´ igual a
√
50 minutos. O que dizer da verdadeira me´dia com
confianc¸a de 92%. Resp: [24.45; 25.55].
39. O tempo de processamento necessa´rio para executar uma tarefa foi medido em relac¸a˜o a um sistema.
Uma amostra coletada forneceu os seguintes resultados (em ms): 10, 13, 14, 11, 13, 14, 11, 13, 14,
15, 12, 14, 15, 13, 14, 12, 12, 11, 15, 16, ,13, 15, 14, 14, 15, 15, 16, 12, 10, 15. Obtenha um intervalo
de confianc¸a para o tempo me´dio do sistema, usando um grau de confianc¸a de 98%. Resp: [12.6526;
14.0874]
40. Um provedor de acesso a` internet deseja implantar um plano sem limite de horas. Para isso, verificou
numa amostra de n=25 usua´rios os tempos de utilizac¸a˜o mensal, obtendo a me´dia amostral de 26.8
horas. Sabendo que a variaˆncia populacional e´ de 6.25 horas2. Encontre um intervalo de confianc¸a
para a me´dia. De quanto deve ser aumentado o tamanho da amostra para que, mantidas as demais
medidas, o comprimento do intervalo caia pela metade?
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