Utilização do computador por professores

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UTILIZAÇÃO PEDAGÓGICA DO COMPUTADOR POR PROFESSORES 
ESTAGIÁRIOS DE MATEMÁTICA – DIFERENÇAS NA PRÁTICA 
DA SALA DE AULA 
 
 
Nélia Amado 
FCT da Universidade do Algarve 
namado@ualg.pt 
 
Susana Carreira 
FCT da Universidade do Algarve e CIEFCUL 
scarrei@ualg.pt 
 
 
Resumo: O professor e o aluno assumem um papel determinante para uma utilização das tecnologias na 
aula de matemática consistente com as actuais recomendações do currículo. Ao professor são lançados 
vários desafios que passam pela preparação de actividades que envolvam activamente os alunos de uma 
forma a tornar as aprendizagens mais eficazes. Neste estudo apresenta-se e discute-se uma taxonomia 
composta por três níveis utilização pedagógica do computador na aula de matemática por professores 
estagiários: como acessório, centrada no professor e centrada no aluno. 
 
 
Introdução 
 
As progressivas alterações nos currículos de Matemática têm vindo a atribuir às 
tecnologias um lugar cada vez mais consistente. Hoje, a calculadora gráfica é de 
utilização obrigatória no ensino secundário e a utilização do computador é 
explicitamente recomendada. A tecnologia, se for integrada de forma inteligente com o 
currículo e articulada com metodologias convenientes, produz ganhos de aprendizagem 
reais e visíveis (Smith, 2002). Pode não ser possível destrinçar se estes ganhos resultam 
directamente do uso da tecnologia ou se decorrem da interpretação do currículo e das 
estratégias de ensino renovadas. Mas, tal como Smith pergunta, será importante querer 
isolar a origem da melhoria dos resultados? Claro que esta questão não é determinante, 
sobretudo quando há evidências de que as duas coisas em sintonia produzem melhores 
resultados de aprendizagem. A este propósito podemos acrescentar que a união entre a 
resolução de problemas e a utilização das tecnologias tem como vantagem essencial o 
poder que cada um destes elementos pode acrescentar ao outro; por outras palavras, a 
tecnologia muda a forma como um problema de Matemática é resolvido e 
compreendido (ou até formulado) e, ao mesmo tempo, as ideias matemáticas 
desenvolvem-se mercê das características e capacidades das ferramentas utilizadas 
(Carreira, 2003). Em suma, os computadores e as situações problemáticas são dois 
elementos que actuam em reciprocidade como mediadores da actividade dos alunos. 
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Tecnologias na aula de Matemática, porquê e como? 
 
Uma das vantagens que advém da utilização das tecnologias no ensino da 
Matemática, é o facto de permitirem visualizar com grande prontidão. A possibilidade 
de visualização faz atenuar a necessidade de abstracção e de idealização, tornando as 
ideias menos herméticas e mais perceptíveis. A visualização matemática é, assim, um 
processo importante e mesmo fundamental do raciocínio matemático. A integração da 
visualização no processo de ensino/aprendizagem da Matemática promove a intuição 
matemática e dá sentido a muitos resultados e processos, além de oferecer um meio de 
expressão de um grande leque de conteúdos matemáticos. Desta forma, os alunos não 
apenas aprendem Matemática, quando recorrem a ferramentas tecnológicas, como 
também aprendem novas formas de pensar e encontram caminhos para desenvolverem a 
sua própria Matemática. Ao permitirem, não apenas a simplificação dos cálculos mas 
também a visualização de gráficos, de esquemas e de representações matemáticas, as 
tecnologias contribuíram para mudar a própria natureza dos problemas que são 
importantes na Matemática e os métodos que os matemáticos utilizam para os investigar 
(NCTM, 1991). Estas alterações impelem forçosamente a uma mudança no ensino da 
Matemática. 
O acesso à tecnologia permite tornar a Matemática um assunto de laboratório, na 
medida em que proporciona aos alunos a possibilidade de desenvolver conhecimentos 
matemáticos que emergem das suas experiências concretas (NCTM, 1994). A 
tecnologia, ao executar grande parte dos cálculos, permite que o aluno explore uma 
maior variedade de situações, testemunhando a verdadeira natureza dos processos 
matemáticos e envolvendo-se em aplicações com dados realistas, em substituição das 
usuais simplificações destes. Como consequência, os alunos podem melhorar e ampliar 
significativamente as suas aprendizagens. Hoyles & Noss (2003) sublinham que as 
tecnologias surgiram para nos aliviar do trabalho mais rotineiro, mais monótono, mais 
repetitivo e até pouco interessante. Mas ao aliviar-nos deste trabalho, vêm permitir 
investir em conhecimentos e capacidades de nível superior, tais como saber interpretar 
um gráfico, fazer conjecturas, ser capaz de relacionar conceitos e utilizá-los, saber 
analisar criticamente os resultados obtidos, investigar, ser versátil em representações 
matemáticas diversas. 
 
Resistências à introdução das tecnologias 
 
Apesar das razões enunciadas para a utilização das tecnologias, existem ainda 
algumas resistências sobre as quais importa olhar. 
 Os professores continuam a manifestar dificuldade em usar o computador na sala 
de aula de matemática, apesar da evolução tecnológica que se tem registado ao longo 
dos últimos anos. O esforço recente para dotar as escolas de computadores e o 
surgimento de software adequado ao ensino da matemática não parece ter tido a 
correspondência desejada nas práticas dos professores e, muito menos, na aula de 
Matemática. A utilização do computador na sala de aula está longe de ser uma prática 
comum. A mudança do papel do professor e do aluno na aula com tecnologias constitui 
uma das maiores resistências à sua utilização. Não obstante a utilização das tecnologias 
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mostrar ser algo que agrada aos alunos e os motiva, o professor continua a sentir 
insegurança em gerir uma aula com tecnologias, por diversas razões. O computador ou a 
calculadora gráfica incentivam a curiosidade, entusiasmam os alunos na descoberta, 
originam o surgimento de questões não imaginadas. Tudo isso cria, por vezes, um 
ambiente de aula com mais movimento, mais ruído, mais dificuldades, mais sobressaltos 
e receios para o professor. Assim, é hoje amplamente reconhecida a necessidade de os 
professores serem apoiados por outros colegas nas aulas com tecnologias, como referem 
diversos autores (Santos, 2000; Almiro, 2005). Santos (2000) faz até a advertência de 
que uma experiência mal sucedida com o computador na sala de aula pode dar origem a 
que o professor não volte a tentar. A ideia de que é imperativa uma mudança substancial 
no papel do professor na sala de aula continua a ser uma recomendação oportuna 
(Laborde & Perrin-Glorian, 2005). 
 
O papel do professor e dos alunos na aula com tecnologias 
 
Na aula com tecnologias, o professor deixa de ser o detentor e transmissor 
incontestável do conhecimento e passa a ser co-aprendente com os seus alunos (Ponte, 
2000). A ideia de professor como alguém que teve uma formação superior em 
determinado momento e que a admitia como suficiente ao longo da sua vida profissional 
está hoje aniquilada. Não basta que tenha conhecimento das novidades tecnológicas, ele 
precisa também de aprender a seleccionar as mais adequadas às suas aulas. Em suma, o 
professor tem de estar atento às mudanças que surgem, tem de aprender a perceber o 
que é mais adequado às suas práticas e encontrar formas produtivas e viáveis de integrar 
novos recursos no processo de ensino/aprendizagem da matemática. Tem de estar 
preparado para aprender continuamente e, muitas vezes, com os seus alunos. 
Esta nova forma de encarar o papel do professor é talvez uma das maiores 
dificuldades que se lhe colocam. Nem todos os professores estão preparados para aceitar 
esta mudança no seu papel. Ponte (2000) considera que a relação professor-aluno pode 
ser profundamente alterada pela utilização das tecnologias, particularmente, quando elassão usadas com alguma regularidade. Os professores e, em particular os estagiários, 
sentem alguma dificuldade em lidar com esta modificação que é tendencialmente 
sentida como fraqueza ou insegurança: chegar perto dos alunos e não saber dar resposta 
imediata a uma dúvida ou não conhecer exaustivamente o funcionamento de uma 
determinada ferramenta ainda é para muitos professores um sinal de inferioridade. A 
utilização das tecnologias conduz frequentemente ao surgimento de situações na aula 
que não tinham sido pensadas inicialmente, porque a aula deixa de estar totalmente nas 
mãos do professor e passa a ser também dominada pelo computador e pelo próprio 
desempenho dos alunos (Santos, 2000). Desta forma, o professor é obrigado a investir 
fortemente na preparação das suas aulas e o receio de ter de recorrer à improvisação só 
pode ser aliviado “com grande reforço no que diz respeito à preparação, nomeadamente 
de uma maior fluência computacional da sua parte e de uma planificação mais 
detalhada” (Santos, 2000, p.77-78). 
A utilização das tecnologias na sala de aula veio trazer ao aluno um maior 
protagonismo na sua própria aprendizagem; de um papel passivo de ouvinte atento do 
saber do professor, passou a ter um papel activo de participante na construção do seu 
saber e do saber partilhado na sala de aula. Quando a tecnologia está presente na aula de 
matemática o aluno tem um campo de experiência no seu horizonte e é nesse ambiente 
que ele poderá desenvolver conjecturas, testá-las, eventualmente refutá-las e comunicar 
as suas conclusões (Matos, 1991). A utilização do computador influencia não apenas a 
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forma como a matemática é aprendida mas as concepções dos alunos sobre esta 
disciplina e sobre o papel que atribuem às próprias ferramentas tecnológicas. 
Num ambiente marcado pela utilização das tecnologias há uma maior quantidade 
de exemplos e contra-exemplos, num menor espaço de tempo, os alunos são 
encorajados a observar e a conjecturar, há a possibilidade de trabalharem com múltiplas 
representações, há um desenvolvimento de atitudes positivas relativamente à aula de 
matemática e uma redução da ansiedade e do medo de cometer erros. Um uso mais 
sistemático das tecnologias na sala de aula tem como consequência que os alunos 
discutem mais entre si mas a comunicação incide essencialmente na actividade que 
estão a desenvolver e há menos dispersão por assuntos externos à aula.. 
 
O uso de taxonomias para caracterizar o modo de utilização das tecnologias 
 
A forma como os professores introduzem as tecnologias na sala de aula tem 
merecido um olhar atento de vários autores. Pierce e Stacey (2001) consideram que a 
introdução das tecnologias no ensino e aprendizagem da matemática pode ter lugar a 
dois níveis: funcional e pedagógico. Embora não clarifiquem o que define cada um 
destes níveis, a distinção parece estar primordialmente relacionada com o papel dos 
alunos na aula e com o acesso dos alunos às ferramentas. Na perspectiva funcional, a 
utilização das tecnologias parece estar confinada ao professor, cabendo aos alunos o 
papel de meros espectadores. Em contrapartida, será considerado um nível pedagógico 
aquele que tem lugar num contexto educativo, disciplinar ou não, mas em que há 
interacção directa do professor e dos alunos com as ferramentas tecnológicas. Com 
efeito, passar à prática o conceito de tecnologia como ferramenta pedagógica implica 
aspectos essenciais, tais como repensar os métodos e os propósitos da aprendizagem da 
matemática, o papel do professor e o papel do aluno, a natureza das actividades a 
realizar e a gestão do ambiente da aula (Kokol-Voljc, 2003). Por outro lado, a visão da 
tecnologia como ferramenta educacional não pode ser desligada da forma de uso que 
emana do próprio instrumento tecnológico. O conceito de ferramenta pedagógica é 
inseparável do uso que dela se faz. Os computadores e as calculadoras podem ser 
utilizados como ferramentas pedagógicas quando se verificam simultaneamente três 
condições cruciais: o tópico, o objectivo e o ser oportuno. Por consequência, o conceito 
de perspectiva pedagógica está relacionado com o uso da ferramenta e depende de 
quem a utiliza e da situação da aula em que é utilizada. 
Galbraith (2002) e Goos (2005) desenvolveram uma taxonomia para a utilização 
das tecnologias pelos professores de Matemática. No nosso entender, esta taxonomia 
permite distinguir melhor as várias formas de professores e alunos utilizarem as 
tecnologias. Estes autores elaboraram um conjunto de metáforas para descreverem 
como é que as tecnologias podem abrir caminho para incorporar novos papéis no 
ensino. Assim, quando a utilização da tecnologia não parte da sua própria iniciativa e 
vontade, mas é uma implementação que surge de uma imposição do sistema educativo, 
estamos perante uma acção dominadora (technology as master) das tecnologias sobre as 
práticas do professor. Hoje é exigido aos professores o recurso ao computador para a 
elaboração de uma grande quantidade de tarefas na escola. Muitos dos professores não 
se encontravam preparados nem motivados para esta mudança, mas tiveram de encarar e 
ultrapassar esta dificuldade. Embora esta acção dominadora esteja menos presente na 
sala de aula, também lá se poderá encontrar. Uma vez que, actualmente, é recomendado 
o recurso às tecnologias na disciplina de matemática, os professores estagiários, por 
serem aqueles que têm de abrir as portas da sua sala de aula aos orientadores, podem vir 
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a sofrer esta acção dominadora. A calculadora gráfica é de utilização obrigatória e o 
computador é amplamente recomendado. Um professor estagiário, mesmo sem vontade 
genuína, vai procurar responder às expectativas que o rodeiam. O recurso à tecnologia 
resulta do cumprimento de uma obrigação, num momento específico e determinado. 
Num segundo nível de utilização, já não predomina a imposição ou a exortação 
para a utilização das tecnologias. O professor já manifesta atenção e interesse pelos 
avanços da tecnologia, procura conhecê-los e utilizá-los. Por exemplo, o computador é 
usado para a elaboração de materiais de apoio e como suporte das suas aulas, 
nomeadamente através do PowerPoint. Contudo, não existe ainda qualquer mudança nas 
actividades na sala de aula. Galbraith (2002) e Goos (2005) consideram que esta é uma 
utilização da tecnologia como uma serva (technology as servant). 
Estas duas perspectivas parecem encaixar-se no nível funcional, na medida em 
que não introduzem uma alteração profunda nas actividades na sala de aula nem 
permitem ao aluno um contacto directo com as ferramentas. São meros observadores 
dos recursos tecnológicos, embora possam considerar que a aula se tornou mais 
colorida, mais moderna, com uns adereços fora do tradicional. Ao nível das 
aprendizagens não há nada de novo – o papel do professor e do aluno no processo de 
ensino/aprendizagem não se alteram. 
Isto não quer dizer que não possam surgir situações interessantes mesmo que os 
alunos não tenham acesso ao computador na aula de matemática; o importante é que as 
actividades a apresentar aos alunos sejam suficientemente ricas e adequadas para 
promover aprendizagens. 
Uma terceira forma de utilização das tecnologias, para Galbraith (2002) e Goos 
(2005) é a parceria (technology as partner). Esta situação ocorre quando as tecnologias 
são usadas pontualmente na sala de aula pelo professor e pelos alunos, permitindo-lhes 
alcançar algum conhecimento que de outra forma seria muito difícil, ou mesmo 
impossível. Neste caso, os professores desenvolvem uma relação de parceria com as 
tecnologias, como ferramenta para ajudar a resolver problemas e actividades e como 
meio de promover aprendizagens. É aqui que reside a grande questão – na natureza das 
tarefas e na forma como elas são apresentadas aos alunos. Estas devem permitir ao 
aluno ensaiar,investigar e tirar conclusões. Os professores devem estar conscientes de 
que não podem enxertar as tecnologias no seu ensino tradicional ou recorrer às 
tecnologias para resolver exercícios de treino que se resolvem com papel e lápis. De 
facto, observa-se, com alguma frequência, uma simples transposição de uma actividade 
de papel e lápis para a aula com tecnologias, levando a resultados pouco satisfatórios. 
Finalmente, a última forma de utilizar as tecnologias, que estes autores designam 
por extensão de si próprio (technology as an extension of self), é o nível mais elevado 
de utilização das tecnologias e, na nossa opinião, aquele que está em consonância com 
as orientações metodológicas do actual programa de Matemática para o ensino 
secundário. Esta utilização deve ocorrer num Laboratório de Matemática equipado com 
computadores, calculadoras gráficas, viewscreen, sensores e, eventualmente, um 
projector multimédia ou um quadro electrónico. 
Neste patamar, o uso criativo e eficaz das tecnologias é uma parte integrante do 
reportório do professor, a par da sua competência pedagógica e do seu conhecimento de 
Matemática. Neste caso, é muito importante o facto de saber colocar as tecnologias ao 
serviço da aprendizagem dos seus alunos e de promover a sua capacidade de as 
utilizarem de forma oportuna, inteligente e crítica. 
 
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O objectivo do estudo 
 
Ao longo dos últimos anos, temos assistido a um esforço no sentido de preparar os 
futuros professores para uma utilização pedagógica das tecnologias. Thomas & Cooper 
(2000) afirmam que existe uma grande inconsistência entre aquilo que os futuros 
professores aprendem sobre tecnologias na sua formação educacional e o trabalho que 
desenvolvem, mais tarde, na sala de aula. Apesar de se registar uma clara convergência 
relativamente à importância e à necessidade de dotar os futuros professores de uma 
preparação adequada à utilização pedagógica das tecnologias, a transposição para as 
práticas de sala de aula constitui um processo complexo. Daí o interesse e a pertinência 
de se desenvolverem trabalhos de investigação em torno desta problemática. 
O presente estudo teve como propósito compreender como é que futuros 
professores, com uma preparação sólida e consistente para a utilização pedagógica do 
computador, o fazem quanto chegam à sala de aula, no início da sua prática profissional. 
Procurou-se responder a várias questões, entre as quais: 
• Qual a importância e o valor dos seus conhecimentos e da formação adquirida 
no domínio da utilização pedagógica das tecnologias? 
• Como é integrado o recurso às tecnologias no processo de 
ensino/aprendizagem? 
 
 
Metodologia 
 
Neste estudo, procura-se descrever e compreender a forma como professores 
estagiários de matemática implementam as tecnologias na sala de aula. Assumimos o 
pressuposto teórico de que a realidade é construída através das interacções de cada um 
no seu mundo social e de que o conhecimento é tanto pessoal como social (Wenger, 
1998). 
Não se pretende medir ou quantificar a utilização das tecnologias nem tão pouco 
detectar a existência de relações causais entre o uso das tecnologias e determinadas 
variáveis previamente identificadas. A complexidade do fenómeno em estudo conduz a 
uma abordagem investigativa que exige a utilização de múltiplas fontes de dados. A 
diversidade de fontes revela também uma preocupação com a validade interna e a 
fiabilidade do estudo. Não se procura de modo algum generalizar, mas conhecer em 
profundidade casos que sejam ricos em informação acerca do fenómeno em estudo. 
A realidade estudada pela investigação qualitativa não é dada; é, sim, construída 
por diversos ‘actores’: qual deles será considerado crucial para essa construção é algo 
que depende da perspectiva teórica assumida no estudo do processo. (Flick, 2005, p.26) 
O estudo envolveu dois núcleos de estágio de duas escolas secundárias distintas e 
teve como participantes quatro estagiários, dois por cada núcleo de estágio, assim como 
as respectivas orientadoras da escola e da universidade (Amado, 2007). 
Os dados recolhidos incluíram observação de aulas, entrevistas aos estagiários e 
às orientadoras das escolas, em diferentes momentos do ano lectivo. Foi igualmente 
feita a recolha documental de materiais produzidos, tanto na preparação como na 
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realização das aulas, e de outros elementos relevantes para o estudo. Os dados aqui 
analisados constituem uma pequena parcela de todo o material empírico obtido ao longo 
da investigação que se estendeu durante um ano lectivo. 
 
 
Discussão dos Dados 
 
Em seguida, serão apresentadas e analisadas três aulas com recurso ao 
computador, cada uma delas, apoiada numa proposta de trabalho. Estas aulas reflectem 
características que permitem ilustrar formas diversas de concretização da perspectiva 
pedagógica de utilização do computador. As diferenças substanciais identificadas 
residiram nas actividades propostas e na forma como foram colocadas aos alunos destes 
professores estagiários. 
Perante a exiguidade da caracterização da perspectiva pedagógica, tornou-se 
necessário distinguir e refinar as formas observadas, na prática dos estagiários, de 
utilização pedagógica das tecnologias. Assim, surgiu a percepção de que a tecnologia, 
numa perspectiva pedagógica, pode ser encarada de três formas distintas: como 
acessório, centrada no professor e centrada no aluno. 
 
Perspectiva pedagógica I – a equação da circunferência “aparece” 
 
Nesta aula, os futuros professores pretendiam levar os seus alunos à descoberta da 
equação cartesiana da circunferência. A actividade consistia em pedir aos alunos que 
construíssem circunferências e com a ajuda do Cabri Géomètre obter a sua equação e 
coordenadas do centro. Trata-se da transposição de uma actividade de papel e lápis para 
o computador que não parece ter acrescentado nada de novo às aprendizagens dos 
alunos. Na aula seguinte foi feita a mesma actividade com papel e lápis. 
A intenção principal da utilização do computador nesta aula era a de levar os 
alunos a descobrirem, por si mesmos, uma representação analítica de um objecto 
geométrico, evitando a manipulação algébrica. Os estagiários explicitaram esta ideia da 
seguinte forma: 
Nós queríamos que os alunos descobrissem a equação da circunferência. Nós 
utilizámos o computador porque eles podiam fazer uma série de experiências e chegar 
à equação sem que nós tivéssemos que escrever no quadro e dizer: esta é a equação de 
uma circunferência. Eles podiam experimentar e chegar a essa conclusão sozinhos. 
A equação de circunferência acabou por surgir aos olhos dos alunos, não pela mão 
da professora, mas pelo Cabri. Na nossa perspectiva, foi omitida uma parte essencial do 
conhecimento matemático, o saber que podemos chegar a determinados conceitos 
matemáticos a partir de outros já conhecidos. De uma forma ilusória, o computador terá 
permitido aos alunos que estes “chegassem” à equação cartesiana da circunferência Esta 
utilização do computador pode ser vista como a de um servo enganoso no sentido em 
que exibiu a equação da circunferência mas sem permitir aos alunos perceber ou 
entender a sua origem. 
Deste modo, podemos encarar esta utilização do computador como um acessório. 
 
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Circunferências 
Recorrendo ao programa CABRI GÉOMÈTRE II, segue os passos seguintes: 
Selecciona a opção “Mostrar os eixos”. 
Marca um ponto. 
Com a opção “Equação e coordenadas”, identifica as coordenadas do ponto. 
Com a opção “Circunferência”, desenha uma circunferência com centro no ponto que escolheste 
e raio qualquer. 
Marca um ponto sobre a circunferência, com a opção “Ponto sobre um objecto”. 
Com a opção “Distância e comprimento”, calcula a distância do centro ao ponto marcado sobre 
a circunferência. 
Pede a equação da circunferência,com a opção “Equação e coordenadas”. Toma nota dessa 
equação. 
Com a opção “Ponteiro”, altera a posição do centro, arrastando-o, e verifica as diferentes 
equações. Que concluis? 
Com a opção “Ponteiro”, selecciona a circunferência e altera o seu raio. Que concluis? 
 
Perspectiva pedagógica II – a área do quadrado em 29 passos 
 
Neste caso, estamos perante uma actividade que os alunos não poderiam resolver 
sem o recurso ao computador; a manipulação é aqui essencial. Para além de se tratar de 
um problema dinâmico, a situação proposta permite estabelecer conexões entre vários 
conteúdos estudados ao longo do 10º ano. No entanto, parece existir um excesso de 
indicações por parte do professor estagiário que condiciona totalmente o caminho a 
seguir pelos alunos, não lhes dando espaço para pensar e estabelecer a sua própria 
estratégia para abordar o problema. Importa registar que os alunos estavam habituados a 
trabalhar com este software desde o início do ano lectivo e que esta situação foi 
apresentada no final do ano. Uma possível explicação para este encaminhamento da 
actividade pode estar na forma como era sentido o papel do professor e do aluno no 
trabalho com as tecnologias. Estes futuros professores pareciam sentir a necessidade de 
fornecer o caminho aos alunos e de não deixar margem para que surgissem novas 
situações não previstas. 
Nos primeiros 20 passos não surgiram novidades relativamente a outras 
construções feitas com o Cabri em aulas anteriores. Os últimos 9 passos foram aqueles 
que trouxeram algo de novo para os alunos. A orientação inicial parece ter sido, 
simultaneamente, excessiva e desnecessária, tendo em conta que os alunos já tinham 
feito construções semelhantes. Esta actividade poderia ter constituído uma oportunidade 
para os alunos ensaiarem e investigarem formas de construir a figura dinâmica, usando a 
sua própria imaginação e a sua compreensão do esquema, em vez de seguirem um 
percurso definido pela mão da estagiária. No entanto, alguns estagiários, tal como 
outros professores mais experientes, manifestam esta dificuldade em dar oportunidade 
aos alunos de criar, de pensar autonomamente, de imaginar, de encontrar um caminho, 
porventura diferente do pensado pelo professor. 
Pelas razões apontadas, consideramos que estamos perante uma perspectiva 
pedagógica centrada no professor. 
 
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A área do quadrado 
Recorrendo ao programa CABRI GÉOMÈTRE II, segue os passos seguintes: 
 
 
Nesta actividade precisamos de construir a figura representada acima. Assim, vamos começar por 
construir o quadrado [ABCD] e, de seguida, construiremos o quadrado [EFGP]. 
1) Com a opção Segmento, constrói o segmento [AB]. 
2) Agora temos de construir o lado [BC] com o mesmo comprimento do lado [AB]. Para isso 
utiliza a opção Circunferência e constrói uma circunferência de centro em B e raio [AB]. 
3) Utilizando a opção Recta Perpendicular, traça uma perpendicular ao segmento [AB], que passe 
em B. 
4) Determina o ponto de intersecção da circunferência e a perpendicular (opção Pontos de 
Intersecção), atribuindo-lhe a letra C (opção Rótulo). 
5) Com a opção Recta Paralela, faz passar por C uma recta paralela a [AB]. 
6) Determina a recta perpendicular a [AB], que passa em A. 
7) Atribui ao ponto de intersecção da última recta e a paralela a [AB], a letra D. 
8) Traça os segmentos [BC], [CD] e [DA]. 
9) Esconde a circunferência e as rectas traçadas anteriormente. 
Como? 
- Selecciona a opção Esconder/Mostrar. 
- Clica sobre os objectos que pretendes esconder. Estes ficarão a tracejado. 
- Selecciona a opção Ponteiro, para que os objectos escolhidos desapareçam. 
10) Marca sobre o segmento [AB], um ponto P, utilizando a opção Ponto sobre Objecto. 
11) Determina o comprimento do segmento [AP], com a opção Distância e Comprimento. 
Como? 
… … … 
22) Preenche a tabela com os diferentes valores que AP e a área tomam quando P se desloca no 
segmento [AB]. 
Como? 
- Selecciona a tabela, com a opção Ponteiro. 
- Activa a opção Animação e clica sobre o ponto P, mantendo pressionado esse botão e arrasta, 
um pouco, a mola que surge no ecrã. 
- Para terminar a animação clica no botão esquerdo do rato ou na tecla Esc do teclado. 
- Os valores deverão surgir na tabela. Se quiseres visualizar um maior número de registos, aumenta 
o número de linhas da tabela. 
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23) Traça uma semi-recta com origem em O (eixo das abcissas). 
24) Constrói uma recta perpendicular à semi-recta anterior, que contenha o ponto O (eixo das 
ordenadas). 
25) Utiliza a opção Transferência de Medidas, para marcar o comprimento do segmento [AP], no 
eixo das abcissas, e a área do quadrado [PEFG], no eixo das ordenadas. 
26) Atribui aos pontos obtidos no passo anterior as letras Q e R, respectivamente. 
27) Por estes pontos traça rectas perpendiculares aos eixos e define S como o ponto de intersecção 
das perpendiculares. 
28) Activa a opção Rasto e clica no ponto S. 
29) Anima o ponto P, utilizando a opção Animação. 
 
Analisa com cuidado o modelo obtido e responde às questões que se seguem. 
1. Entre que valores pode variar o deslocamento do ponto P? 
2. O que traduz o gráfico que obtiveste? 
3. Quando é que a área é máxima? E quando é que é mínima? Interpreta no contexto do 
problema. 
4. Indica o contradomínio desta função. 
5. Define analiticamente a função obtida. 
 
Perspectiva pedagógica III 
 
Em terceiro lugar, apresentamos um pequeno excerto de uma ficha de trabalho 
composta por várias actividades para o estudo das secções em sólidos no 10º ano. Este 
tema é usualmente trabalhado com o recurso a papel e lápis ou materiais manipulativos. 
No entanto, são reconhecidas as dificuldades sentidas pelos alunos no estudo das 
secções, mesmo quando lhes são proporcionadas oportunidades para visualizar e 
manipular os sólidos geométricos e os planos de corte. A utilização de um ambiente de 
geometria dinâmico é uma oportunidade excelente para promover a manipulação e a 
visualização das secções. Estes alunos nunca tinham trabalhado com o programa 
GEOMETRIA e dispuseram apenas de um guião de utilização mas rapidamente se 
adaptaram e não sentiram dificuldades. Na realização das várias actividades tiveram a 
possibilidade de escolher a sua própria estratégia, as questões foram surgindo de forma 
natural ao longo da aula e discutidas com o professor. Os estagiários e os alunos foram 
parceiros de um mesmo processo de construção de conhecimento, partilharam lado a 
lado as dúvidas e as dificuldades. Os alunos sentiram que a tecnologia os ajudou a 
compreender a Matemática, a ganhar confiança e que era uma ferramenta útil na 
resolução de problemas. Os próprios estagiários mostraram-se agradavelmente 
surpreendidos com o envolvimento dos seus alunos na realização das actividades e na 
discussão que estas proporcionaram mesmo para os alunos que habitualmente parecem 
menos motivados para o trabalho na aula de matemática. Deste modo, expressaram a 
sua satisfação pelo que observaram: 
Estou surpreendida, até alguns dos meus alunos mais desinteressados estiveram a 
trabalhar tão bem como os mais interessados! Nunca os vi assim! 
Do nosso ponto de vista, a utilização do computador nesta experiência foi 
interpretada como exemplo de uma perspectiva pedagógica centrada no aluno. 
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Secções 
Ao longo da execução das actividades desta ficha de trabalho, vamos utilizar o programa 
GEOMETRIA. Consulta o guião fornecido, que te indica os passos necessários. 
 
Actividade I 
Depois de introduzires um cubo no programa e de acordo com as indicações fornecidas: 
 
 
1.1. Representa a secção obtida no cubo; 
1.2. Classifica e desenha essa secção. 
 
 
 
a) O plano de corte é o plano DBE. 
 
 
 
 
 
b) O plano de corte é o plano HFB. 
 
 
 
 
 
c) O plano de corte é o plano IJK, sendo:I o ponto médio de [HG]; 
 J o ponto médio de [GF]; 
 K o ponto médio de [FB]. 
 
 
 
 
 
 
Considerações finais 
 
Os quatro professores estagiários envolvidos neste estudo tiveram o mesmo 
percurso de formação inicial, com uma mesma preparação consistente na utilização das 
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tecnologias, acompanhada de uma discussão sobre as suas potencialidades, 
possibilidades de utilização e objectivos pedagógicos. Contudo, tal como se tornou 
evidente nos dados apresentados, a implementação na sala de aula divergiu em muitos 
aspectos. Este facto não constitui uma surpresa, pois a investigação tem mostrado que 
não basta a preparação adquirida numa ou em várias disciplinas académicas para que os 
futuros professores façam uma imediata transferência desse conhecimento para a sala de 
aula. Adler (1996) argumenta que o conhecimento sobre o ensino – neste caso concreto, 
sobre a utilização das tecnologias na sala de aula – não pode ser adquirido apenas em 
disciplinas formais mas passa por uma participação continuada numa comunidade de 
professores. Uma utilização adequada das tecnologias na sala de aula exige, com efeito, 
uma aprendizagem através da participação numa prática que não é linear nem imediata. 
Deste modo, importa continuar a investir na preparação prévia dos futuros professores 
no âmbito do trabalho com tecnologias mas é necessário estar-se consciente de que 
existem outros aspectos importantes aos quais é imperioso dar atenção para uma boa 
implementação das tecnologias no ensino da matemática. 
A utilização das tecnologias na sala de aula numa perspectiva pedagógica ficou 
marcada, em cada um dos núcleos, por algumas diferenças que podem ser justificadas 
ou explicadas pelas próprias formas de encarar a matemática, o ensino/aprendizagem 
desta disciplina e, particularmente, pelo modo como os estagiários vêem o papel do 
professor e do aluno na sala de aula. 
Estes estagiários partilhavam a vontade e o desejo de levar os seus alunos a gostar 
de Matemática e a interessarem-se por esta disciplina, contudo, parecem ter ideias 
diferentes de como fazê-lo. Um deles, grande defensor e excelente utilizador das 
tecnologias, numa perspectiva pedagógica, defendia que a escola deve integrar as 
tecnologias que hoje fazem parte da nossa vida diária, tal como foi dito há mais de duas 
décadas por Monteiro e outros autores (1985). Mas todos parecem comungar da ideia de 
que as tecnologias podem ser um meio importante para cativar os alunos e para os levar 
a gostar mais desta disciplina. 
Num dos núcleos de estágio sobressaiu uma maior preocupação com as 
finalidades e objectivos com que integravam o computador na aula de Matemática. 
Notou-se nas práticas destes dois jovens professores uma perspectiva de utilização do 
computador muito concordante com as recomendações dadas por vários autores para a 
utilização desta ferramenta e de uma forma consistente com o currículo. Foi evidente a 
sua determinação em procurar e pesquisar, de modo a encontrar o software mais 
adequado a um determinado tópico e o cuidado posto na preparação das tarefas. Foram 
hábeis na forma como partilharam o seu poder na aula, deixando de arrogar para si o 
papel central e dando aos seus alunos, com grande naturalidade, uma maior e melhor 
oportunidade de se envolverem nas aprendizagens. 
No outro núcleo de estágio, os estagiários colocavam as tecnologias ao mesmo 
nível de outros materiais didácticos, por exemplo, os objectos manipuláveis. Por outro 
lado, existiram dois outros aspectos que podem ter contribuído para reduzir a 
predisposição inicial para a utilização das tecnologias. Foi evidente uma grande 
apreensão com o comportamento dos alunos e o receio de problemas de indisciplina foi 
motivo de alguma tensão inicial, que veio todavia a dissipar-se no contacto directo com 
os alunos. O segundo elemento dissuasor está relacionado com o modo como estes 
futuros professores encaram o seu papel: o professor é entendido como um sujeito que é 
detentor de todo o conhecimento e isso leva-os a agir de modo a traçar o caminho que 
deverá ser seguido pelos alunos e a tentar evitar o surgimento de dúvidas ou divagações. 
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Como se referiu anteriormente, o papel do professor e o papel do aluno, a natureza 
das actividades a realizar e a gestão do ambiente da aula (Kokol-Voljc, 2003) são três 
aspectos cuja conjugação é indispensável para se compreender o que significa e em que 
pode consistir uma perspectiva pedagógica da utilização das tecnologias. 
 
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