EQUAÇÃO DO 2º GRAU - COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com 
coeficientes numéricos a.b e c com . 
Exemplos: 
Equação a b c 
x²+2x+1 1 2 1 
5x-2x²-1 -2 5 -1 
 
CLASSIFICAÇÃO: 
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 
2º grau incompleta. 
1º caso: b=0 
Considere a equação do 2º grau incompleta: 
x²-9=0 » x²=9 » x= » x= 
2º caso: c=0 
Considere a equação do 2º grau incompleta: 
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x 
x(x-9)=0 » x=0,9 
3º caso: b=c=0 
2x²=0 » x=0 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU: 
 A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos 
agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 
com a, b e c diferentes de zero. 
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas 
pela fórmula de Bháskara. 
 COMO BHÁSKARA CHEGOU ATÉ A FÓRMULA DE RESOLUÇÃO 
DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU: 
 Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de 
Bháskara: 
 Multiplicamos os dois membros por 4a: 
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 4a²x²+4abx+4ac=0 
 4a²x²+4abx=-4ac 
 
 Somamos b² aos dois membros: 
 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac 
 Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de (delta) 
b²-4ac: 
 (2ax+b)²= 
 2ax+b= 
 2ax=-b 
 Logo: 
 ou 
Fórmula de Bháskara: 
 
 
 
 
 
 Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 
1) 3x²-7x+2=0 
a=3, b=-7 e c=2 
 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 
Substituindo na fórmula: 
 = 
 e 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 
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2) -x²+4x-4=0 
a=-1, b=4 e c=-4 
 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 
Substituindo na fórmula de Bháskara: 
 » x=2 
 
 
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. 
( ) 
3) 5x²-6x+5=0 
a=5 b=-6 c=5 
 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 
 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a 
equação não possui nenhuma raiz real. 
Logo: » vazio 
PROPRIEDADES: 
 
 Duas raízes reais e diferentes 
 Duas raízes reais e iguais 
 Nenhuma raiz real 
 
SOMA E PRODUTO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU: 
 
 
 
Vamos provar as relações descritas acima: 
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são: 
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 e 
A soma das raízes será: 
 
 
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
O produto das raízes será: 
 
 
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
 
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a. 
Obtendo: 
Substituindo por e : 
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: 
 
x² - Sx + P = 0 
Exemplos: 
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: 
a) x² - 4x + 3=0 
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3: 
 
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b) 2x² - 6x -8 =0 
Sendo a=2, b=-6 e c=-8 
 
c) 4-x² = 0 
Sendo a=-1, b=0 e c=4: 
 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS DO 2º GRAU: 
 Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o 
processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias. 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: 
a) Onde , pois senão anularia o denominador 
[Solução] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x 
Então: 
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: 
 » 
Aplicando a fórmula de Bháskara: 
 
 
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4} 
b ) e 
[Solução] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2) 
Então: 
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Eliminando os denominadores: 
 » » » 
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o 
denominador, logo a solução da equação será somente: 
x=-1 » S={-1} 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES LITERAIS DO 2º GRAU: 
 Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita. 
 
Equação a b c 
x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p 
 
Exemplo: Determine o valor da incógnita x. 
1) x²-3ax+2a²=0 
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara: 
a=1, b=-3a, c=2a² 
 
 , Logo: 
x = 2a e x = a » S={a,2a} 
 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES BIQUADRADAS: 
 Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão 
elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é: 
 
 Onde 
 
 
 
 
 
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Exemplo resolvido: 
1) 
Fazendo x² = y, temos 
Substituindo os valores na equação, temos: 
y² - 5y + 4 = 0 
Aplicando Bháskara: 
 
Logo, y = 4 e y`= 1 
Voltando a variável x: 
Como y=x², temos: 
x²=4 » e x²=1 » 
Então a solução será » S={-2,-1,1,2} 
ou simplesmente