01.1 Lista 1

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MAE 229 - Introduc¸a˜o a` probabilidade e Estat´ıstica II Lista 1
Lista 1 - Varia´veis Aleato´rias Discretas e Cont´ınuas
1. Considerando uma varia´vel aleato´ria X, com func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada dada abaixo,
determine:
F (x) =

0 se x < 1
0,2 se 1 ≤ x < 2
0,6 se 2 ≤ x < 3
0,9 se 3 ≤ x < 4
1,0 se x ≥ 4
(a) O gra´fico da distribuic¸a˜o acumulada.
(b) P(X ≥ 2) e P(X < 3).
(c) Func¸a˜o de Probabilidade.
(d) Esperanc¸a e variaˆncia.
2. SejaX o tempo de servic¸o de funciona´rios na sec¸a˜o de assisteˆncia te´cnica da Cia Milsa. Essa sec¸a˜o
tem 5 funciona´rios: A, B, C, D e E, cujos tempos de servic¸o na empresa sa˜o, respectivamente,
2, 2, 3, 6 e 6 anos.
(a) Fac¸a um gra´fico representando a distribuic¸a˜o de probabilidades de X.
(b) Calcule a esperanc¸a E[X], a variaˆncia V[X] e a mediana Md(X).
3. Dois dados honestos sa˜o lanc¸ados independentemente. Seja X a soma das duas faces e Y a
varia´vel aleato´ria que e´ igual a 1 se as duas faces sa˜o iguais e 0 caso contra´rio. Determine:
(a) As distribuic¸o˜es de probabilidades dessas duas varia´veis aleato´rias.
(b) Calcule a esperanc¸a E[Y ] e a variaˆncia V[Y ].
4. Uma indu´stria fabrica pec¸as das quais 15% sa˜o defeituosas. Dois compradores A e B classificam
os lotes adquiridos em categorias I e II, pagando R$ 1,80 e R$ 2,10 respectivamente do seguinte
modo:
• Comprador A: retira uma amostra de 6 pec¸as; se encontrar mais que duas defeituosas
classifica como I.
• Comprador B: retira uma amostra de 10 pec¸as; se encontrar mais que uma defeituosa,
classifica como I.
Em me´dia, qual comprador oferece maior lucro?
5. Cinco pontos sa˜o escolhidos, independentemente e ao acaso do intervalo [0, 1]. Seja X o nu´mero
de pontos que pertencem ao intervalo [0, c], em que 0 < c < 1. Apresente a distribuic¸a˜o
acumulada de X.
6. Qual e´ a P (X ≤ 2) se:
(a) X tem distribuic¸a˜o Uniforme Discreta assumindo os valores em {2, 4, 6, 8}.
(b) X tem distribuic¸a˜o Binomial com n = 8 e p = 0, 4: X ∼ Bin(8; 0,4).
(c) X tem distribuic¸a˜o Poisson com paraˆmetro λ = 3: X ∼ Poisson(3).
(d) X tem distribuic¸a˜o Geome´trica com probabilidade de sucesso p = 0,6: X ∼ Geo(0,6).
Professor: Alexandre G. Patriota
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7. Identifique o modelo que deve ser adotado e utilize-o nas situac¸o˜es a seguir para responder os
questionamentos e comente.
(a) Considere que a taxa de faleˆncia de pequenas empresas no Brasil e´ de 48% nos cinco
primeiros anos. Qual e´ a probabilidade de que, dentre uma amostra de 12 empresas,
nenhuma feche? Em me´dia, quantas empresas fechara˜o considerando o mesmo tamanho de
amostra?
(b) Suponha que o metroˆ paulista chega a` determinada estac¸a˜o a cada 1 minuto e 40 segundos
em me´dia. Qual e´ a probabilidade de que nenhum metroˆ chegue a estac¸a˜o neste intervalo
de tempo? E de que menos de dois metroˆs cheguem a estac¸a˜o?
(c) Suponha que na aula de terc¸a-feira (21:10hs) um determinado aluno entre na sala a qualquer
tempo distribu´ıdo uniformemente entre as 21:00hs e 21:15hs. Qual a probabilidade de que
ele se atrase? Qual a me´dia do hora´rio de chegada desse aluno? Qual a variabilidade
relacionada? (trabalhe preferencialmente com a variaˆncia ou desvio-padra˜o)
8. Considere a varia´vel aleato´ria Z = (X − E[X])/√V[X] , em que E[X] e V[X] sa˜o, respectiva-
mente, a esperanc¸a e a variaˆncia de X. Por meio das propriedades destas medidas, obtenha E[Z]
e V[Z].
9. O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automo´veis, sujeitos a uso
cont´ınuo e severo, pode ser considerado como uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, medida em anos.
Suponha que a func¸a˜o densidade e´ dada pela seguinte expressa˜o:
f(x) =

1
4x+
1
10 se 0 ≤ x ≤ 2;
k se 2 < x ≤ 6;
0 se x < 0 ou x > 6.
(a) Obtenha o valor de k para que a func¸a˜o acima seja uma densidade de probabilidade.
(b) Qual e´ a probabilidade de um automo´vel, sujeito a`s condic¸o˜es descritas acima, necessitar
de troca de amortecedores antes de 1 ano e meio de uso? E entre 1 e 4 anos?
(c) Qual e´ o tempo me´dio adequado para a troca do amortecedor desses automo´veis?
10. Para uma varia´vel aleato´ria X ∼ N(µ, σ2), encontre:
(a) P (X ≤ µ+ 1,5σ).
(b) P (|X − µ| ≤ 0,5σ).
(c) O nu´mero a tal que P (µ− aσ ≤ X ≤ µ+ aσ) = 0,96.
(d) O nu´mero b tal que P (X > b) = 0,92.
11. Um agricultor comercializa melancias. Considerando que o “peso”(massa) de cada melancia e´
um varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o Normal com me´dia 1000 g e variaˆncia 400 g2, ou seja,
X ∼ N(1000, 400). Assuma que o peso das melancias sa˜o independentes.
(a) Qual e´ a probabilidade de uma melancia pesar mais de 950 g?
(b) Cada melancia e´ vendida por 30 reais se tiver mais de 1050 g, por 10 reais se tiver entre 950
g e 1050 g e por 5 reais se tiver menos de 950 g. Quanto ele ganha em me´dia por melancia?
(c) O agricultor transporta suas melancias numa kombi que suporta no ma´ximo 95 kg. Ele
coloca 100 melancias na kombi. Qual e´ a probabilidade de que o limite da kombi (95 kg)
seja excedido?
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12. Uma companhia utiliza anualmente milhares de laˆmpadas ele´tricas que permanecem acesas con-
tinuamente, dia e noite. Admite-se que, em tais condic¸o˜es, o tempo de vida de uma laˆmpada
pode ser considerada como uma varia´vel distribu´ıda normalmente com me´dia de 70 dias e desvio
padra˜o de 12 dias. Ao primeiro dia de janeiro a companhia colocou em servic¸o 5000 laˆmpadas
novas. No dia primeiro de cada meˆs uma manutenc¸a˜o e´ feita e as laˆmpadas queimadas sa˜o
trocadas. Qual e´ o nu´mero esperado das laˆmpadas que deveriam ser substitu´ıdas no primeiro
dia de fevereiro?
13. O tempo, em minutos, de utilizac¸a˜o de um caixa eletroˆnico por clientes de um certo banco, foi
modelado por uma varia´vel aleato´ria T com densidade
f(t) =
1
3
exp
{
− t
3
}
, t ≥ 0.
(a) Calcule P (T ≤ 1 ∩ T ≤ 2).
(b) Calcule P (T ≤ 1|T ≤ 2).
(c) Determine o nu´mero a tal que P (T ≤ a) = 0,4.
14. O tempo necessa´rio para eliminar o perigo de contaminac¸a˜o de certo pesticida, apo´s sua aplicac¸a˜o
em um pomar, e´ uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o exponencial de paraˆmetro 4/3 (em
anos), ou seja, a me´dia e´ igual a 3/4 anos. O maior ou menor tempo depende de fatores
como chuva, vento e umidade da regia˜o. Tendo em vista esse comportamento, as autoridades
sanita´rias recomendam que o contato direto ou indireto com as frutas pulverizadas seja evitado
por algum tempo apo´s a aplicac¸a˜o. Calcule a probabilidade de uma fruta desse pomar, escolhida
ao acaso, na˜o estar mais contaminada apo´s 1 ano da pulverizac¸a˜o. Qual e´ a nossa “seguranc¸a”
se aguardarmos 2 anos e meio para consumir essas frutas, ou seja, calcule P (X ≥ 2,5)?
15. Suponha que o tempo de vida (em meses) de um certo tipo de laˆmpada pode ser considerada
uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por:
f(x) = 0,1 exp {−0,1x} , x ≥ 0.
Supondo que 10 laˆmpadas sa˜o instaladas de tal maneira que seus tempos de vida sejam inde-
pendentes, ache a probabilidade de que no ma´ximo 2 laˆmpadas queimem nos primeiros 3 meses.
16. Seja T uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o t de Student com ν graus de liberdade. Determine:
(a) Esperanc¸a E[T ], variaˆncia V[T ] e mediana Md(T ), quando ν = 16.
(b) O p-quantil para p = 0,95, quando ν = 20.
(c) O p-quantil para p = 0,90, quando ν = 150.
(d) P (−1,061 ≤ T ≤ 2,074), P (T ≤ −0,858) e P (T ≥ −1,321), quando ν = 22.
17. Seja Y uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o qui-quadrado com ν graus de liberdade, Y ∼ χ2ν .
Determine:
(a) Esperanc¸a E[Y ], variaˆncia V[Y ] e mediana Md(Y ), quando ν = 8.
(b) O p-quantil parap = 0,10, quando ν = 11.
(c) O p-quantil para p = 0,95, quando ν = 60.
(d) P (4,594 ≤ Y ≤ 17,534), P (0 ≤ Y ≤ 3,490) e P (Y ≥ 11,030), quando ν = 8.
18. Seja W uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o F de Snedecor com ν1 e ν2 graus de liberdade,
W ∼ F (ν1, ν2). Determine:
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(a) Para W ∼ F (6, 10) e Z = 1
W
, esperanc¸a E[Z], variaˆncia V[Z] e P (W ≤ 4,06).
(b) O p-quantil para p = 0,95, quando ν1 = 4 e ν2 = 10.
(c) O p-quantil para p = 0,975, quando ν1 = 12 e ν2 = 15.
(d) Para W ∼ F (11, 18), calcule usando o computador P (0,5 ≤W ≤ 2) e P (W ≤ 1,5).
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