Aula 07 Função Dispêndio e Dualidade

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MICROECONOMIA 1
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Notas de Aula 7 - Graduac¸a˜o
Prof. Jose´ Guilherme de Lara Resende
1 Func¸a˜o Dispeˆndio e Dualidade
Nas aulas anteriores examinamos as demandas Marshallianas, soluc¸o˜es do seguinte problema:
quais sa˜o as quantidades de cada bem escolhidas que maximizam a utilidade do indiv´ıduo, dados
os prec¸os de mercado e a a renda dele.
Vamos agora examinar um outro problema, em que o indiv´ıduo minimiza os seus gastos, dado
um certo n´ıvel de utilidade que deseja alcanc¸ar. Esse problema e´ chamado dual do problema
de maximizac¸a˜o de utilidade. Mais a` frente estudaremos a questa˜o de dualidade entre os dois
problemas do consumidor.
O dispeˆndio (ou gasto) do consumidor com a cesta de bens x = (x1, x2, . . . , xn) e´ igual a`:
e = p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn
O consumidor minimiza os seus gastos para um certo n´ıvel de utilidade u0 que deseja alcanc¸ar:
min
x1,x2,...,xn
p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn s.a u(x1, x2, . . . , xn) = u0 (1)
Vamos lidar primeiro com os casos que podem ser resolvidos usando o me´todo do Lagrange.
O Langrageano desse problema e´:
L = p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn + µ(u0 − u(x1, x2, . . . , xn))
As n+ 1 CPO do problema sa˜o: 
p1 = µ
∗ ∂u
∂x1
(x∗1, x
∗
2, . . . , x
∗
n)
p2 = µ
∗ ∂u
∂x2
(x∗1, x
∗
2, . . . , x
∗
n)
...
...
pn = µ
∗ ∂u
∂xn
(x∗1, x
∗
2, . . . , x
∗
n)
u0 = u(x1, x2, . . . , xn)
As n primeiras CPO sa˜o ideˆnticas a`s CPO do problema de maximizac¸a˜o da utilidade. A
condic¸a˜o de que a TMS entre dois bens seja igual a` relac¸a˜o de prec¸os continua va´lida. Portanto,
a soluc¸a˜o do problema dual do consumidor satisfaz a condic¸a˜o de tangeˆncia entre a curva de
1
indiferenc¸a dada por u0 e a reta de dispeˆndio. Apenas a u´ltima CPO e´ diferente, e serve para
garantir que a cesta o´tima encontrada alcance o n´ıvel de utilidade u0.
As demandas desse problema sa˜o func¸o˜es dos prec¸os e do n´ıvel de utilidade:
xh1 = x
h
1(p1, p2, . . . , pn, u0)
xh2 = x
h
2(p1, p2, . . . , pn, u0)
...
...
xhn = x
h
n(p1, p2, . . . , pn, u0)
Essas func¸o˜es de demanda sa˜o chamadas demandas Hicksianas ou demandas compensadas. As
func¸o˜es de demanda Hicksianas sa˜o diferentes das func¸o˜es de demanda Marshallianas (obtidas
da maximizac¸a˜o da func¸a˜o de utilidade, dada a restric¸a˜o orc¸amenta´ria). As demandas Hicksianas
constituem a soluc¸a˜o do problema de minizar o gasto de se alcanc¸ar determinado n´ıvel de utilidade.
Portanto, sa˜o func¸o˜es dos prec¸os e do n´ıvel de utilidade. Ja´ as demandas Marshallianas sa˜o func¸o˜es
dos prec¸os e do n´ıvel de renda. Mais adiante vamos discutir melhor a relac¸a˜o entre essas duas
demandas.
O problema dual do consumidor tem a seguinte interpretac¸a˜o gra´fica: o consumidor fixa o
n´ıvel de utilidade que deseja alcanc¸ar. Ele enta˜o procura o gasto mı´nimo que alcanc¸a esse n´ıvel
de satisfac¸a˜o.
Resumidamente, o consumidor tenta alcanc¸ar o n´ıvel de utilidade desejado ao menor custo
poss´ıvel. A soluc¸a˜o do problema dual e´ dada pela curva (reta) de isocusto que tangencia a curva
de indiferenc¸a almejada (TMS entre os dois bens igual a` relac¸a˜o de prec¸os, a mesma condic¸a˜o que
vale na soluc¸a˜o do problema primal).
6
-
x2
x1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
��	
��	
E: Soluc¸a˜o do Problema
Dual do Consumidor
sE
��	
��	
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
2
Por que a demanda Hicksiana tambe´m e´ chamada demanda compensada? Porque ela “com-
pensa” o consumidor de modo a manteˆ-lo sempre na mesma curva de indiferenc¸a u0. Por exemplo,
se o prec¸o do bem 1 aumenta, as demandas o´timas mudam de modo que o n´ıvel de utilidade
continue o mesmo (evidentemente, o dispeˆndio mı´nimo para alcanc¸ar o mesmo n´ıvel de utilidade
aumentara´, ja´ que o prec¸o de um dos bens consumidos aumentou). O gra´fico abaixo ilustra essa
situac¸a˜o. Portanto, essa demanda compensa o consumidor de modo a manteˆ-lo sempre com o
mesmo n´ıvel de utilidade, seja qual for a alterac¸a˜o de prec¸os ocorrida.
6
-
x2
x1
Es
Equil´ıbrio original: E
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
Prec¸o do bem 1 aumentou
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
TT
Soluc¸a˜o muda de E para Eˆ
Eˆs
@
@I
A demanda Hicksiana na˜o e´ diretamente observa´vel, pois depende do n´ıvel de utilidade u0 que
o consumidor alcanc¸a, que na˜o e´ observa´vel. Apenas a demanda Marshalliana e´ observa´vel: ela
depende dos prec¸os e do n´ıvel de renda, varia´veis que podem ser observadas.
Substituindo as demandas Hicksianas no gasto do consumidor, encontramos a func¸a˜o dispeˆndio
desse consumidor:
e(p1, p2, . . . , pn, u0) = p1x
h
1(p1, p2, . . . , pn, u0) + · · ·+ pnxhn(p1, p2, . . . , pn, u0)
A func¸a˜o dispeˆndio mostra o gasto mı´nimo necessa´rio para se alcanc¸ar o n´ıvel de utilidade u0,
aos prec¸os p = (p1, p2, . . . , pn) de mercado.
Qual a interpretac¸a˜o econoˆmica do multiplicador de Lagrange µ do problema dual do consumi-
dor? Ele representa o custo marginal para se obter uma unidade adicional de utilidade. Existe uma
relac¸a˜o entre esse multiplicador de Lagrange µ com o multiplicador de Lagrange λ do problema
primal do consumidor:
µ =
pi
ui
e λ =
ui
pi
⇒ µ = 1
λ
3
Portanto, o multiplicador de Lagrange do problema de minimizac¸a˜o e´ o inverso do multiplicador
de Lagrange do problema de maximizac¸a˜o. Vamos agora resolver o problema de minimizac¸a˜o de
dispeˆndio para o caso da utilidade Cobb-Douglas.
Exemplo 1: Func¸a˜o de Utilidade Cobb-Douglas. O Lagrangeano do problema de mini-
mizac¸a˜o de dispeˆndio para o caso da utilidade Cobb-Douglas com dois bens e´:
L = p1x1 + p2x2 + µ(u0 − xα1x1−α2 )
As CPO sa˜o: 
p1 = µ
∗αxα−11 x
1−α
2
p2 = µ
∗(1− α)xα1x−α2
u0 = x
α
1x
1−α
2
Dividindo as duas primeiras CPO, encontramos uma expressa˜o para x2 em func¸a˜o de x1.
Substituindo essa expressa˜o na terceira CPO, determinamos a demanda compensada para o bem
1. Substituindo a demanda do bem 1 para a expressa˜o de x2 em func¸a˜o de x1, determinamos a
demanda compensada do bem 2. Essas demandas sa˜o:
xh1(p1, p2, u0) =
(
α
1− α
)1−α
pα−11 p
1−α
2 u0 e x
h
2(p1, p2, u0) =
(
α
1− α
)−α
pα1p
−α
2 u0
A func¸a˜o de dispeˆndio e´ encontrada substituindo as demandas compensadas no gasto do con-
sumidor: e(p1, p2, u0) = p1x
h
1 + p2x
h
2 . Simplificando essa expressa˜o, obtemos que:
e(p1, p2, u0) = α
−α(1− α)α−1pα1p1−α2 u0
O me´todo do Lagrangeano supo˜e uma se´rie de condic¸o˜es que nem sempre sa˜o satisfeitas. Vamos
analisar novamente os dois casos em que o me´todo de Lagrange na˜o se aplica: 1) bens substitutos
perfeitos (utilidade linear) e 2) bens complementares perfeitos (utilidade de Leontieff). A ana´lise
e´ feita caso a caso, com ajuda gra´fica para encontrar as demandas.
Exemplo 2: Bens Substitutos Perfeitos. Vimos que dois bens sa˜o substitutos perfeitos se
o consumidor aceita substituir um pelo outro a uma taxa constante. A func¸a˜o de utilidade que
representa essa relac¸a˜o e´ u(x1, x2) = ax1 + bx2, com a > 0, b > 0. O problema dual e´:
min
x1,x2
p1x1 + p2x2 s.a. u0 = ax1 + bx2
A figura abaixo ilustra graficamente o problema nesse caso.
4
6
-
x2
x1
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Curva de Indiferenc¸a
u = x1 + x2
���
u0
Suponha que p1 = 2p2
Soluc¸a˜o: cesta E
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AA
���
Dispeˆndio
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
sE
��	
��	
A cesta de bens o´tima do consumidor que deseja escolher entrebens substitutos perfeitos e´
consumir nada do bem mais caro e comprar somente o bem mais barato. Portanto, as demandas
Hicksianas sa˜o:
xh1(p1, p2, u0) =
 u0/a, se p1/a < p2/b0, se p1/a > p2/b
xh2(p1, p2, u0) =
 0, se p1/a < p2/bu0/b, se p1/a > p2/b
No caso em que p1/a = p2/b, o consumidor comprara´ qualquer quantidade x
∗
1 e x
∗
2 tal que
satisfac¸a a restric¸a˜o, ax∗1 + bx
∗
2 = u0.
A func¸a˜o dispeˆndio e´:
e(p1, p2, u0) =
 p1(u0/a), se p1/a ≤ p2/bp2(u0/b), se p1/a > p2/b
Podemos escrever a func¸a˜o dispeˆndio de modo mais simples como:
e(p1, p2, u0) = min
{p1
a
,
p2
b
}
u0
Exemplo3 : Bens Complementares Perfeitos. Vimos que dois bens sa˜o complementares per-
feitos se sa˜o consumidos conjuntamente, em proporc¸o˜es fixas. A func¸a˜o de utilidade que representa
essa relac¸a˜o e´ u(x1, x2) = min {ax1, bx2}, com a > 0, b > 0. O problema dual e´:
min
x1,x2
p1x1 + p2x2 s.a. u0 = min{ax1, bx2}
5
A figura abaixo ilustra graficamente o problema nesse caso.
6
-
x2
x1
u0
Utilidade u(x1, x2) = min{x1, x2}
Suponha que 2p1 = p2
Soluc¸a˜o do problema dual: cesta E
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
���
Gasto
HHHHHHHHHHHHHHHHH
��	
��	
sE
A cesta de bens o´tima continua sendo consumir quantidades dos bens tais que ax1 = bx2.
Portanto axh1 = bx
h
2 e usando a restric¸a˜o do problema, encontramos:
xh1(p1, p2, u0) =
u0
a
e xh2(p1, p2, u0) =
u0
b
A func¸a˜o dispeˆndio e´:
e(p1, p2, u0) =
(p1
a
+
p2
b
)
u0
2 Propriedades da Func¸a˜o Dispeˆndio
Se u(x1, x2) e´ cont´ınua e estritamente crescente, enta˜o a func¸a˜o dispeˆndio e(p, u0) e´:
1. Cont´ınua;
2. Homogeˆnea de grau 1 nos prec¸os;
3. Estritamente crescente em u e crescente nos prec¸os;
4. Coˆncava nos prec¸os;
5. Lema de Shepard: A derivada de e(p, u0) com relac¸a˜o ao prec¸o do bem i, i = 1, 2, . . . , n, e´
a demanda desse bem:
∂e(p, u0)
∂pi
= xhi (p, u0)
6
A propriedade de continuidade e´ consequeˆncia do teorema do ma´ximo, um resultado matema´tico
que garante a continuidade de func¸o˜es objetivos otimizadas, sob condic¸o˜es bastante fracas. Vamos
analisar detalhadamente cada uma das outras propriedades elencadas acima. Como usaremos o
Lema de Shepard para mostrar a terceira propriedade, comec¸amos por ele.
1) Lema de Shepard.
As derivadas da func¸a˜o dispeˆndio com respeito aos prec¸os sa˜o as func¸o˜es de demanda Hick-
sianas:
∂e(p, u0)
∂pi
= xhi (p, u0)
Portanto, usando o lema de Shepard, podemos obter as func¸o˜es de demanda a partir de qualquer
func¸a˜o dispeˆndio.
O lema de Shepard e´ consequeˆncia do teorema do envelope, que diz que quando a derivada de
uma func¸a˜o otimizada com respeito a um paraˆmetro e´ calculada no o´timo, a u´nica mudanc¸a que
importa e´ a mudanc¸a de primeira ordem.
Vamos provar o lema de Shepard para o bem 1 (supondo apenas dois bens, o caso geral e´
similar). Se derivarmos a func¸a˜o dispeˆndio com relac¸a˜o a p1, obtemos:
∂e(p1, p2, u0)
∂p1
= xh1(p1, p2, u0) + p1
∂xh1(p1, p2, u0)
∂p1
+ p2
∂xh2(p1, p2, u0)
∂p1
Vamos omitir o argumento das func¸o˜es para simplificar a notac¸a˜o. No o´timo, as CPOs do
problema dual garantem que pi = µui, com ui =
∂u
∂xi
, para todo bem i. Substituindo as CPOs na
equac¸a˜o acima, obtemos:
∂e
∂p1
= xh1 + µ
(
u1
∂xh1
∂p1
+ u2
∂xh2
∂p1
)
Se derivarmos a CPO para µ, u0 = u(x
h
1 , x
h
2), com relac¸a˜o ao prec¸o p1, obtemos:
u1
∂xh1
∂p1
+ u2
∂xh2
∂p1
= 0
Substituindo essa u´ltima equac¸a˜o na equac¸a˜o anterior a ela, obtemos o lema de Shepard:
∂e
∂p1
= xh1
2) Homogeˆnea de grau um nos prec¸os.
A func¸a˜o dispeˆndio e´ homogeˆnea de grau um nos prec¸os:
e(tp, u0) = te(p, u0), para todo t ≥ 0
7
Essa propriedade e´ consequeˆncia direta da definic¸a˜o da func¸a˜o dispeˆndio: se todos os prec¸os
dobram, enta˜o a renda deve dobrar para o consumidor permanecer na mesma curva de indiferenc¸a.
3) Na˜o decrescente em prec¸os e crescente em pelo menos um dos prec¸os; crescente
na utilidade.
Pelo lema de Shepard,
∂e(p, u0)
∂pi
= xhi (p, u0) ≥ 0
Um aumento do prec¸o do bem i obriga o consumidor a gastar mais (ou o mesmo, no caso em
que o bem na˜o e´ consumido, xhi = 0) para manter o n´ıvel de utilidade u0 inalterado. Deve existir
pelo menos um bem tal que a derivada acima e´ estritamente maior do que zero.
No caso de um aumento do n´ıvel de utilidade desejado, temos que:
∂e(p, u0)
∂u0
= µ(p, u0) > 0
Ou seja, no caso de um aumento do n´ıvel de utilidade almejado, se os prec¸os esta˜o fixos, enta˜o
o consumidor tem necessariamente que gastar mais para alcanc¸ar esse n´ıvel de utilidade maior.
3) Coˆncava nos prec¸os.
Essa propriedade da func¸a˜o dispeˆndio e´ crucial na teoria do consumidor, pois gera propriedades
importantes das func¸o˜es de demandas Hicksianas. Vamos provar essa propriedade formalmente.
Primeiro vamos definir o que significa a func¸a˜o dispeˆndio ser coˆncava.
Definic¸a˜o: A func¸a˜o de dispeˆndio e(p, u0) e´ coˆncava nos prec¸os se para os prec¸os p, p
′ e pt =
tp + (1− t)p′, com t ∈ [0, 1], vale que:
e(pt, u0) ≥ te(p, u0) + (1− t)e(p′, u0)
Prova da propriedade 3): Fixe um n´ıvel de utilidade u0 qualquer. Considere vetores de prec¸os
p, p′ arbitra´rios. Denote por x e x′ as soluc¸o˜es dos problemas de minimizac¸a˜o do dispeˆndio para
os prec¸os p e p′, respectivamente, considerando o n´ıvel de utilidade u0. Enta˜o:
e(p, u0) = px
e(p′, u0) = p′x′
Seja pt = tp + (1− t)p′ para t ∈ [0, 1]. Denote por xt a soluc¸a˜o do problema de minimizac¸a˜o
do dispeˆndio para o vetor de prec¸os pt, considerando o n´ıvel de utilidade u0. Observe que:
e(pt, u0) = ptxt = (tp + (1− t)p′)xt = tpxt + (1− t)p′xt
≥ tpx + (1− t)p′x′ = te(p, u0) + (1− t)e(p′, u0)
8
A desigualdade acima e´ va´lida porque px e p′x′ sa˜o os dispeˆndios mı´nimos para alcanc¸ar a
utilidade u0 aos prec¸os p e p
′, respectivamente. Ou seja,
e(p, u0) = px ≤ pxt
e(p′, u0) = p′x′ ≤ pxt
Isso conclui a prova da concavidade da func¸a˜o dispeˆndio.
Vamos analisar a intuic¸a˜o econoˆmica desse resultado, o resultado mais importante desta sec¸a˜o.
Observe a figura abaixo. A linha reta representa uma resposta passiva do consumidor a uma
mudanc¸a no prec¸o do bem 1, ou seja, o consumidor na˜o altera a cesta x∗ de bens consumidos. Nesse
caso, o consumidor na˜o esta´ escolhendo as quantidades de bens otimamente e reage passivamente
a` mudanc¸a do prec¸o p1. Portanto, a inclinac¸a˜o da reta ep de dispeˆndio passivo e´ x
∗
1, a quantidade
comprada do bem 1. Pore´m, o consumidor ajusta a cesta que consume quando o prec¸o p1 muda, e
portanto a curva de dispeˆndio se posiciona abaixo da reta ep. Quando essas duas linhas se tocara˜o?
Quando o prec¸o e´ tal que o consumo o´timo e´ x∗1, ambas as linhas ep, dispeˆndio passivo, e e, o
dispeˆndio o´timo, va˜o ter o mesmo valor e sera˜o tangentes. Para outros valores do prec¸o do bem
1, a func¸a˜o de dispeˆndio esta´ abaixo da reta ep. Portanto, a func¸a˜o dispeˆndio e´ coˆncava.
6
-
Gasto
p1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
e(p1, p2, u0)
p1
Dispeˆndio Passivo
eP = p1x
∗
1 + p2x
∗
2
Func¸a˜o Dispeˆndio
e(p1, p2, u0)s
As propriedades derivadas para func¸a˜o dispeˆndio refletem em duas propriedades sobre as de-
mandas hicksianas, a lei da demanda e a simetria.
9
Lei da Demanda.
Se combinarmos as propriedade de concavidade nos prec¸os e o lema de Shepard, obtemos:
∂2e(p, u0)
∂p2i
=
∂xhi (p, u0)
∂pi
≤ 0,
ou seja, a demanda Hicksiana satisfaz a lei da demanda sem excec¸o˜es mesmo do ponto de vista
teo´rico: um aumento nos prec¸os leva a uma queda na quantidade consumida, se mantivermos
constante o n´ıvel de utilidade do consumidor.
O ponto principala guardar e´ que uma restric¸a˜o orc¸amenta´ria linear nos prec¸os e´ transformada
em uma func¸a˜o dispeˆndio coˆncava nos prec¸os, devido a` minimizac¸a˜o dos gastos pelo consumidor.
Se o consumidor procura minimizar os seus gastos quando tenta atingir um determinado n´ıvel
de utilidade, o custo incorrido aumenta proporcionalmente menos do que a mudanc¸a nos prec¸os.
Na˜o e´ necessa´rio levantar qualquer hipo´tese sobre a utilidade para se atingir esse resultado: se
o consumidor minimiza os gastos para obter um dado n´ıvel de utilidade, esses gastos crescem
proporcionalmente menos do que uma mudanc¸a nos prec¸os, qualquer que seja a func¸a˜o de utilidade
do consumidor.
Simetria.
A mudanc¸a na quantidade demandada do bem i quando o prec¸o do bem k muda e´ igual a`
mudanc¸a na quantidade demandada do bem k quando o prec¸o do bem i muda, mantendo o n´ıvel
de utilidade constante. Esse resultado e´ uma consequeˆncia da simetria da matriz de derivadas
segundas da func¸a˜o dispeˆndio e do lema de Shepard:
∂xhk
∂pi
=
∂2e
∂pk∂pi
=
∂2e
∂pi∂pk
=
∂xhi
∂pk
⇒ ∂x
h
k(p, u0)
∂pi
=
∂xhi (p, u0)
∂pk
As duas propriedades acima sa˜o usualmente condensadas em uma matriz, chamada de matriz
de substituic¸a˜o, definida a seguir.
Definic¸a˜o. Matriz de Substituic¸a˜o. A matriz de Substituic¸a˜o S e´ dada por:
S =

∂xh1
∂p1
∂xh1
∂p2
. . .
∂xh1
∂pn
∂xh2
∂p1
∂xh2
∂p2
. . .
∂xh2
∂pn
. . . . . . . . . . . .
∂xhn
∂p1
∂xhn
∂p2
. . . ∂x
h
n
∂pn

As duas propriedades acima podem ser redefinidas em termos da matriz de substituic¸a˜o, ao
dizermos que essa matriz e´ sime´trica e negativa semi-definida (essa u´ltima propriedade e´ mais
10
restritiva do que a lei da demanda vista acima, mas tambe´m e´ va´lida, pois e´ consequeˆncia da
concavidade da func¸a˜o dispeˆndio). A matriz de substituic¸a˜o e´ utilizada para se testar a teoria
do consumidor: o sistema de demandas Hicksianas deve satisfazer as propriedades de simetria e
de semi-definida negativa. Pore´m, como a demanda Hicksiana na˜o e´ observa´vel, vamos encontrar
uma relac¸a˜o entre as derivadas das demandas Hicksianas contidas nessa matriz e as derivadas das
demandas Marshallianas, que sa˜o observa´veis. Esse sera´ o to´pico da pro´xima aula.
3 Condic¸o˜es de Segunda Ordem
Quais sa˜o as condic¸o˜es de segunda ordem do problema dual do consumidor no caso de dois
bens? Essas condic¸o˜es sa˜o obtidas calculando o Hessiano orlado do Lagrangeano. As CSO sa˜o
satisfeitas se o determinante do Hessiano orlado for negativo, ja´ que queremos achar um mı´nimo
para o problema.
O Hessiano orlado para o problema dual do consumidor com apenas dois bens e´:
H =

∂2L
∂µ2
∂2L
∂µ∂x1
∂2L
∂µ∂x2
∂2L
∂x1∂µ
∂2L
∂x21
∂2L
∂x1∂x2
∂2L
∂x2∂µ
∂2L
∂x2∂x1
∂2L
∂x22
 =

0 −u1 −u2
−u1 −µu11 −µu12
−u2 −µu12 −µu22

onde ui = ∂u/∂xi, i = 1, 2. O determinante e´:
det(H) = −2µu1u2u12 + µu22u11 + µu21u22
Como µ > 0, as demandas Hicksianas va˜o ser de fato um mı´nimo do problema dual do con-
sumidor se:
−2u1u2u12 + u22u11 + u21u22 < 0 ⇒ 2u1u2u12 − u22u11 − u21u22 > 0
Observe que a CSO para o problema de minimizac¸a˜o da func¸a˜o dispeˆndio e´ igual a` CSO do
problema de maximizac¸a˜o da utilidade. As CPOs sera˜o suficientes para determinar a soluc¸a˜o dos
dois problemas caso as curvas de indiferenc¸a sejam convexas em relac¸a˜o a` origem. Para ambos
os problemas de maximizac¸a˜o da utilidade e minimizac¸a˜o do dispeˆndio, uma func¸a˜o de utilidade
estritamente quasecoˆncava garante que o determinante do Hessiano orlado tenha o sinal requerido.
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