27 06 2017 Centroide

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�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝐿𝐿
∫ 𝑑𝐿𝐿
 (1) 
Da figura vemos que �̃� = 𝑅 𝑠𝑒𝑛(𝜃) e 𝑑𝐿 = 𝑅 𝑑𝜃 
Podemos substituir na integral acima: 
�̅� =
∫ 𝑅 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑅 𝑑𝜃𝐿
∫ 𝑅 𝑑𝜃𝐿
 (2) 
Observe no numerador que temos 𝑅 multiplicando 𝑅, logo ficamos com 𝑅². O raio 𝑅 é 
constante, poderia ser um número qualquer, logo sai da integral. Portanto a integral acima 
pode ser reescrita como: 
�̅� =
𝑅² ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝜃𝐿
𝑅 ∫ 𝑑𝜃𝐿
 (3) 
 
Temos que aplicar os limites de integral, que neste exemplo o 𝜃 varia de 0 a 𝜋/2, ou seja, de 
zero a 90°. Logo, reescrevendo a integral anterior: 
�̅� =
𝑅² ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝜃
 𝜋/2
0
𝑅 ∫ 𝑑𝜃
 𝜋/2
0
 (4) 
 Aplicando os conhecimentos de integral sabemos que: 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝜃
 𝜋/2
0
= −cos (𝜃)|0
𝜋/2
 (5) 
E que 
∫ 𝑑𝜃
𝜋/2
0
= 𝜃|0
𝜋/2
 (6) 
Temos que aplicar os limites de integração: Ou seja, substitui o 𝜃 nas equações (5) e (6) para 
𝜋/2 e subtrair o 𝜃 para 0, ou seja: 
−cos (𝜃)|0
𝜋/2
= − cos (
𝜋
2
) − (− cos(0)) (7) 
Ou 
= − cos (
𝜋
2
) + cos(0) (7) 
E para equação (6): 
𝜃|0
𝜋/2
=
𝜋
2
− 0 (8) 
Voltando para equação (4), vamos substituir os valores das equações (7) e (8): 
�̅� =
𝑅²(− cos (
𝜋
2) + cos
(0))
𝑅 (
𝜋
2 − 0)
 (9) 
Da trigonometria, sabemos que cos (
𝜋
2
), ou seja cos(90°) = 0 e que cos(0) = 1, logo 
�̅� =
𝑅²(0 + 1)
𝑅 (
𝜋
2)
=
𝑅²2 
𝑅 𝜋
=
2𝑅 
𝜋
 (10) 
O mesmo raciocínio se aplica para o centroide em relação ao eixo x (�̅�).