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Equações Diferenciais UFRGS - SLIDES AREA 3
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AREA 3/area03_01_10.2e10.4_Fourier.pdf
Boyce/DiPrima 9ª ed.
10.2: Série de Fourier
Veremos que muitos problemas importantes envolvendo
equações diferenciais parciais podem ser resolvidos, desde que
uma determinada função possa ser expressa como uma soma
infinita de senos e cosenos.
Nesta seção e nas duas seções a seguir, explicamos em detalhes
como isso pode ser feito.
Essas séries trigonométricas são chamadas séries de Fourier e
são um pouco análogas às séries de Taylor, na medida em que
ambos os tipos de séries fornecem um meio de expressar funções
complicadas em termos de certas funções elementares familiares.
Repersentação de funções em série de Forier
Começamos com uma série da forma
No conjunto de pontos em que essa série converge, define uma
função f cujo valor em cada ponto x é a soma das séries para esse
valor de x.
Neste caso, a série é a série de Fourier de f.
Nossos objetivos imediatos são determinar quais funções podem
ser representadas em séries de Fourier e encontrar alguns meios
de calcular os coeficientes da série correspondente a uma
determinada função.
1
0 sincos
2 m
mm
L
xm
b
L
xm
a
a
Periodicidade das funções seno e cosseno.
Nós primeiro desenvolvemos propriedades de
sen(mπx/L) e cos (mπx/L),
onde m é um número inteiro positivo.
A primeira propriedade é seu caráter periódico.
Uma função é periódica com o período T> 0 se o domínio de f
contiver x + T sempre que contiver x e se
f (x + T) = f (x),
para todo o x. Veja o gráfico abaixo.
• Para uma função periódica do período T, f (x + T) = f (x) para todo o
x.
• Observe que 2T também é um período, e assim é qualquer múltiplo
de T.
• O menor valor de T para o qual f é periódico é chamado de período
fundamental de f.
• Se f e g são duas funções periódicas com o período comum T,
• então fg e c
1
f + c
2
g são também periódicas com o período T.
• Em particular, sen(mπx/L) e cos (mπx/L) são periódicas com o
período T = 2L / m.
Periodicidade das funções seno e cosseno.
Ortogonalidade
• O produto interno padrão (u, v) de duas funções de valor real u
e v no intervalo α ≤ x ≤ β é definido por
• As funções u e v são ortogonais em α ≤ x ≤ β se o produto
interno (u, v) for zero:
• Um conjunto de funções é mutuamente ortogonal se cada par
de funções distintas no conjunto for ortogonal.
dxxvxuvu )()(),(
0)()(),( dxxvxuvu
Ortogonalidade de seno e cosseno
As funções sen(mπx/L) e cos (mπx/L), m = 1, 2, ..., formam um
conjunto de funções mutuamente ortogonais em -L≤ x≤ L, com
Estes resultados podem ser obtidos por integração direta; Veja o texto. A ideia é usar:
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)
sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
sen(a-b)=sen(a)cos(b)-cos(a)sen(b)
Seno é uma função ímpar, então , para qualquer constante c.
.,
,,0
sinsin
;, all,0sincos
;,
,,0
coscos
nmL
nm
dx
L
xn
L
xm
nmdx
L
xm
L
xm
nmL
nm
dx
L
xn
L
xm
L
L
L
L
L
L
cos(a)cos(b)=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
cos2(a)=1/2[cos(2a)+1]
sen(a)sen(b)=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
sen2(a)=1/2[1-cos(2a)]
cos(a)sen(b)=1/2[sen(a+b)-sen(a-b)]
sen (c x )dx=0
Uma função f é dita ser par, se f(x)=f(-x), para todo x.
Exemplos:
f(x)=xn, com n par.
f(x)=cos(cx)
Uma função f é dita ser ímpar, se f(x)=-f(-x), para todo x.
Exemplos:
f(x)=xn, com n ímpar
f(x)=sen(cx) .
Seja f uma função par, então
Seja f uma função ímpar, então
Sejam f
p
e g
p
funções pares e f
i
e g
i
funções ímpares, então
f
p
x g
p
é par
f
p
x f
i
é ímpar
f
i
x g
i
é par
f ( x )dx=2 f ( x )dx
f ( x )dx=0
Revisão sobre funções Pares e Ímpares
(isso faz parte da seção 10.4)
Assim, poderíamos ter visto direto que a integral marcada com ,
no slide anterior, é igual a zero, pois a função que está sendo integrada é ímpar.
Mas para as outras somos obrigados a fazer a conta.
Calculando algumas das integrais do slide 6:
;,
,,0
coscos
nmL
nm
dx
L
xn
L
xmL
L
Fica como exercício as seguintes integrais: Exercício!!!!
Encontrando os coeficientes da série de
Fourier:
• Suponha que a série converge, e a vamos chamar de f(x):
• Os coeficientes an, n = 1, 2, …, podem ser encontrados da
seguinte forma:
• Por ortogonalidade e
1
0 sincos
2
)(
m
mm
L
xm
b
L
xm
a
a
xf
L
L
m
m
L
L
m
m
L
L
L
L
dx
L
xn
L
xm
b
dx
L
xn
L
xm
adx
L
xna
dx
L
xn
xf
cossin
coscoscos
2
cos)(
1
1
0
n
L
L
n
L
L
Ladx
L
xn
adx
L
xn
xf 2coscos)(
−L
L
cos( n π xL )dx= Ln π [ sen (nπ )− sen (−nπ ) ]=0
Fórmulas dos coeficientes
• Do slide anterior
• Similarmente, os coeficientes bn são
• Na próxima aula calcularemos a
0
,2,1,cos)(1 ndxL
xn
xf
L
a
L
L
n
,2,1,sin)(1 ndxL
xn
xf
L
b
L
L
n
Exercício!!!!
1
0 sincos
2
)(
m
mm
L
xm
b
L
xm
a
a
xf
Exercícios do Boyce/DiPrima 9ª ed. - Seção 10.2 – do 1 ao 8
Exercícios do Boyce/DiPrima 9ª ed. - Seção 10.4 – do 1 ao 6
AREA 3/area03_01_10.2e10.4_Fourier_continuacao.pdf
Fórmulas dos coeficientes
• Da aula anterior
• Similarmente, os coeficientes bn são
• Para encontrar a0, nós temos
• Assim
0
11
0 sincos
2
)( Ladx
L
xm
bdx
L
xm
adx
a
dxxf
L
L
m
m
L
L
m
m
L
L
L
L
,2,1,0,cos)(1 ndxL
xn
xf
L
a
L
L
n
,2,1,cos)(1 ndxL
xn
xf
L
a
L
L
n
,2,1,sin)(1 ndxL
xn
xf
L
b
L
L
n
Exercício!!!!
1
0 sincos
2
)(
m
mm
L
xm
b
L
xm
a
a
xf
−L
L
cos( n π xL )dx= Ln π [ sen (nπ )− sen (−nπ ) ]=0
−L
L
sen ( nπ xL )dx=0, pois sen ( nπ xL )é funçãoímpar
• Assim, os coeficientes são dados pelas equações
• que são conhecidas como fórmulas de Euler-Fourier.
• Observe que essas fórmulas dependem apenas dos valores de
• f (x) no intervalo [-L, L].
• Como cada termo da série de Fourier
• é periódico com o período 2L, pois sen(mπx/L) e cos (mπx/L) têm
período 2L/m e sabemos que múltiplos do período também são períodos,
• temos que f tem período 2L.
• E f é determinado para todos os x da reta pelos seus valores
em [-L, L].
,,2,1,sin)(
1
,,2,1,0,cos)(
1
ndx
L
xn
xf
L
b
ndx
L
xn
xf
L
a
L
L
n
L
L
n
1
0 sincos
2
)(
m
mm
L
xm
b
L
xm
a
a
xf
1
0 sincos
2
)(
m
mm
L
xm
b
L
xm
a
a
xf
Relembre (da aula passada):
,,2,1,sin)(
1
,,2,1,0,cos)(
1
ndx
L
xn
xf
L
b
ndx
L
xn
xf
L
a
L
L
n
L
L
n
1
0 sincos
2
)(
m
mm
L
xm
b
L
xm
a
a
xf
Se a série abaixo convergir: uma função f de período 2L pode ser escrita em série de
Fourier da seguinte forma:
Onde os coeficiente são:
Lembremos (da aula passada) que:
o produto de duas funções pares dá uma função par,
o produto de duas funções ímpares dá uma função par e
o produto de uma função par com uma ímpar dá uma função ímpar.
Assim,
se f for uma função par, então b
n
=0, para n=1,2,... e
se f for uma função ímpar, então a
n
=0, para n=0,1,2,...
f ( x )=
a0
2
+∑
m=1
∞
am cos (m π xL )
f ( x )=∑
m=1
∞
bm sen (m π xL )
Série de Fourier dos senos
Série de Fourier dos cossenos
Este é o assunto da seção 10.4!!! Claro que temos que fazer muitos exemplos!
E ver para qual tipo de f temos garantias que a série converge (que está feito na seção 10.3)!!!!
Exemplo 1: Onda Triangular (1 de 3)
• Considere a função:
• Esta função representa uma onda triangular e é periódica com
o período T = 4. Veja o gráfico de f abaixo. Nesse caso, L = 2.
• Supondo que f tenha uma representação em série de Fourier,
encontre os coeficientes a
m
e b
m
.
)()4(,
20,
02,
)( xfxf
xx
xx
xf
Exemplo 1: Coeficientes (2 de 3)
• Primeiro, encontre a0:
• Então para am, m = 1, 2, …, temos
Onde usamos a integração por partes. Veja o texto para obter
detalhes.
Como f é par, temos que bm= 0, m = 1, 2, …
211
2
1
2
1 2
0
0
2
0 dxxdxxa
even,0,
odd,)/(8
2
cos
2
1
2
cos
2
1
2
2
0
0
2 m
mm
dx
xm
xdx
xm
xam
Exemplo 1: Expansão em Série de Fourier (3 de 3)
• Assim, bm= 0, m = 1, 2, …, e
• Então
1
22
,...5,3,1
22
222
1
0
)12(
2/)12cos(8
1
)2/cos(8
1
2
5
cos
5
1
2
3
cos
3
1
2
cos
8
1
sincos
2
)(
n
m
m
mm
n
xn
m
xm
xxx
L
xm
b
L
xm
a
a
xf
even,0,
odd,)/(8
,2
2
0
m
mm
aa m
[ ]
Exemplo 2: Função (1 de 4)
• Considere a função abaixo.
• Esta função é periódica com o período T = 6.
• Neste caso, L = 3.
• Supondo que f tenha uma representação em série de Fourier,
encontre os coeficientes a
n
e b
n
.
)()6(,
31,0
11,1
13,0
)( xfxf
x
x
x
xf
Exemplo 2: Pontos de Discontinuidade (2 de 4)
• Observe que para f (x) não é atribuído valores nos pontos
de descontinuidade, como x = -1 ou x = 1.
• Isso não tem efeito sobre os valores dos coeficientes de
Fourier, porque eles resultam da avaliação de integrais e o
valor de uma integral não é afetado pelo valor do
integrando em um único ponto ou em um número finito de
pontos.
• Assim, os coeficientes são os mesmos independentemente
do valor que é atribuído à f (x), se houver, em um ponto de
descontinuidade.
)()6(,
31,0
11,1
13,0
)( xfxf
x
x
x
xf
Exemplo 2: Coeficientes (3 de 4)
• Primeiro encontre a0:
• Como f é par, bn=0.
• Então calcule a
n
:
3
2
3
1
)(
3
1 1
1
3
3
0 dxdxxfa
,,2,1,
3
sin
2
3
sin
1
3
cos
3
1
1
1
1
1
1
nnn
xn
n
dx
xn
an
Exemplo 2: Expansão em série de Fourier
(4 de 4)
• Assim, bn= 0, n = 1, 2, …, e
• Então
3
5
cos
5
1
3
4
cos
4
1
3
2
cos
2
1
3
cos
3
3
1
3
cos
3
sin
2
3
1
sincos
2
)(
1
1
0
xxxx
xnn
n
L
xn
b
L
xn
a
a
xf
n
n
nn
,2,1,
3
sin
2
,
3
2
0 nn
n
aa n
Boyce/DiPrima 9ª ed.
Seção 10.2
Exercícios:
13,15,17, 19 (a e b),
21(a e b) e 23(a e b)
Exemplo 1: Função dente de serra (1 de 2)
• Considere a função:
• Esta função representa uma onda de dente de serra, e é
periódica com o período T = 2L. Veja o gráfico de f abaixo.
• Encontre a representação da série de Fourier para esta função.
)()2(,
,0
,
)( xfLxf
Lx
LxLx
xf
Exemplo 1: Coeficientes (2 de 2)
1
1
sin
12
)(
n
n
L
xn
n
L
xf
,2,1,1
2
cossin
2
sin
2
,2,1,0,0
1
0
2
0
n
n
L
L
xn
L
xn
L
xn
n
L
L
dx
L
xn
x
L
b
na
n
L
L
n
n
Como f é uma função periódica e ímpar com o período 2L,
temos
Segue-se que a série de Fourier de f é
A extensão periódica e par de f (x) = x em [0, 2] é a onda triangular g (x) dada abaixo.
A extensão periódica e ímpar de f (x) = x em [0, L] é a onda dente de serra h (x) dada abaixo.
Seja f definida em [0,L], a extensão períodica de período 2L e par é:
Seja f definida em [0,L], a extensão períodica de período 2L e ímpar é:
20,
02,
)(
xx
xx
xg
Lx
LxLx
xh
,0
,
)(
)()2(,
0),(
0),(
)( xgLxg
xLxf
Lxxf
xg
)()2(,
0)(
,0,0
0),(
)( xhLxh
xLxf
Lx
Lxxf
xh
Exemplo 2
• Considere a função:
Como indicado anteriormente, podemos representar f por uma
série de coseno ou uma série seno em [0, 2]. Aqui, L = 2.
A série de coseno para f converge para a extensão periódica de f
do período 4, e esse gráfico é dado abaixo à esquerda.
A série seno por f converge para a extensão periódica ímpar de
f do período 4 e este gráfico é dado abaixo à direita.
21,0
10,1
)(
x
xx
xf
Boyce/DiPrima 9ª ed. - Seção 10.4 - Exercícios: 7,9,11,15,17,19
1
3
1
3
1
3
AREA 3/area03_01_10.3_Fourier_extra.pdf
Boyce/DiPrima 9ª ed.
10.3: O Teorema de convergência de Fourier
Na Seção 10.2 mostramos que se uma série de Fourier
converge e, portanto, define uma função f, então f é periódico
com o período 2L, com os coeficientes am e bm dados por
Nesta seção, começamos com uma função periódica f do período
2L que é integrable em [-L, L]. Nós calculamos am e bm usando as
fórmulas acima e construímos a série de Fourier associada.
A questão é se esta série converge para cada x e, se for caso, se a
sua soma é f (x).
1
0 sincos
2 m
mm L
xmb
L
xmaa
dx
L
xmxf
L
bdx
L
xmxf
L
a
L
Lm
L
Lm
sin)(1,cos)(1
Representação das funções em série de Fourier
Para garantir a convergência de uma série de Fourier para a
função a partir da qual seus coeficientes foram computados, é
essencial colocar condições adicionais na função.
Do ponto de vista prático, tais condições devem ser amplas o
suficiente para cobrir todas as situações de interesse, mas simples
o suficiente para serem facilmente verificadas para funções
específicas.
Para este fim, lembramos a definição de uma função contínua por
partes no próximo slide.
Funções contínuas por partes
Uma função f é contínua por partes em um intervalo [a, b] se
esse intervalo pode ser particionado por um número finito de
pontos a = x0 < x1 < … < xn = b tais que
(1) f é contínua em cada (xk, xk+1)
• A notação f(c+) denota o limite de f(x) quando x→ c pela
direita, e f(c-) denota o limite de f(x) quando x→ c pela
esquerda.
nkxf
nkxf
k
k
xx
tx
,,1,)(lim)3(
1,,0,)(lim)2(
1
Teorema 10.3.1
Suponha que f e f' sejam contínuas por partes em [-L, L].
Além disso, suponha que f seja definida fora de [-L, L] para que
seja periódico com o período 2L.
Então f tem uma série de Fourier.
onde
A série de Fourier converge para f (x) em todos os pontos x onde f
é contínua e para [f (x +) + f (x -)] / 2 em todos os pontos x onde
f é descontínua.
1
0 sincos
2
)(
m
mm L
xmb
L
xmaaxf
dx
L
xmxf
L
bdx
L
xmxf
L
a
L
Lm
L
Lm
sin)(1,cos)(1
Teorema 10.3.1: Discussão
• Note-se que a série de Fourier converge para a média de f (x
+) e f (x-) nas descontinuidades de f.
• As condições dadas neste teorema são suficientes para a
convergência de uma série de Fourier; Eles não são
necessárias. Nem são as condições gerais mais gerais
possíveis.
• Funções que não estão incluídas no teorema são
principalmente aquelas com descontinuidades infinitas em [-
L, L], como 1 / x2.
• Uma série de Fourier pode convergir para uma função que não
é diferenciável ou contínua, mesmo que cada termo na série
seja contínuo e infinitamente diferenciável.
• O próximo exemplo ilustra isso, assim como o Exemplo 2 da
Seção 10.2.
Exemplo 1: Onda quadrada (1 de 4)
Considere a função abaixo.
Deixamos temporariamente a definição de f em x = 0, x=L e
x = -L, exceto para dizer que seu valor deve ser finito.
Esta função representa uma onda quadrada e é periódica com o
período T = 2L. Ela é uma função contínua por partes. Veja o
gráfico de f abaixo.
)()2(,
0,
0,0
)( xfLxf
LxL
xL
xf
Exemplo 1: Coeficientes (2 de 4)
• Primeiro, encontre a0:
• Depois am, para m = 1, 2, …,
• E por último bm, para m = 1, 2, …,
LdxL
L
dxxf
L
a
LL
L
00
1)(1
0,0sincos1
0
0
mL
xm
m
Ldx
L
xmL
L
a
L
L
m
even,0,
odd,/2
cossin1
0
0 m
mmL
L
xm
m
Ldx
L
xmL
L
b
L
L
m
Exemplo 1: Expansão em série de Fourier
(3 de 4)
• Assim am= 0, m = 1, 2, …, and
• Então
1
,...5,3,1
1
0
12
/)12sin(2
2
)/sin(2
2
5sin
5
13sin
3
1sin2
2
sincos
2
)(
n
m
m
mm
n
LxnLL
L
LxmLL
L
x
L
x
L
xLL
L
xmb
L
xmaaxf
even,0,
odd,/2
,0 m
mmL
bLa m
[ ]
Exemplo 1: Teorema 10.3.1 (5 de 5)
• Assim,
Agora f é contínua em (kL, (k-1)L) para k=…, -2,-1,0,1,2,3..., daí
a série de Fourier converge para f (x) nesses intervalos, pelo
Teorema 10.3.1.
Nos pontos x = 0, +nL, -nL, para n=1,2,…, onde f é descontínua,
todos os termos após o primeiro desaparecem, e a soma é L / 2 =
[f (x +) + f (x -)] / 2.
Assim, podemos optar por definir f (x) para ser L / 2 nestes
pontos de descontinuidade, pois a série convergirá para f nesses
pontos.
1 12
/)12sin(2
2
)(
n n
LxnLLxf
[ ]
Boyce/DiPrima 9ª ed. - Seção 10.3 - Exercícios: 1,3,5
Slide 1
Slide 2
Slide 3
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Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
AREA 3/area03_02_10.5_eq.calor.pdf
Boyce/DiPrima 9ª ed.
10.5: Separação de Variáveis; Equação do Calor
• As equações diferenciais parciais básicas de condução de calor,
propagação de ondas e teoria potencial que discutiremos neste
capítulo estão associadas a três tipos distintos de fenômenos físicos:
processos difusivos, processos oscilatórios e processos
independentes do tempo ou estáveis.
• Consequentemente, eles são de fundamental importância em muitos
ramos da física, e são significativamente matematicamente.
• As equações diferenciais parciais cuja teoria é melhor desenvolvida
e cujas aplicações são mais significativas e variadas são as equações
lineares de segunda ordem.
• Todas essas equações podem ser classificadas como um dos três
tipos: a equação de calor, a equação de onda e a equação de
potencial são protótipos dessas categorias.
Condução de calor em uma barra:
Suposições (1 de 6)
• Considere um problema de condução de calor em uma barra reta,
com seção transversal uniforme e feita de material homogêneo.
• Deixe o eixo x ser escolhido para ficar ao longo do eixo da barra, e
deixe x = 0 e x = L indicar as extremidades da barra. Veja a figura
abaixo.
• Suponha que os lados da barra estejam perfeitamente isolados para
que nenhum calor passe por eles.
• Suponha que as dimensões da seção transversal são tão pequenas
que a temperatura pode ser considerada constante na mesma seção
transversal.
• Então, u é uma função apenas da coordenada axial x e tempo t.
• Logo, u(x,t) nos diz qual a temperatura na posição x no instante t.
Condução de calor em uma barra:
Equação do Calor (2 de 6)
A variação de temperatura na barra é regida pela equação de
condução de calor, e tem a forma
Onde α2 é uma constante conhecida como a difusividade térmica.
O parâmetro α2 depende apenas do material a partir do qual a
barra é feita e é definida por α2 =κ/ρs, onde κ é a condutividade
térmica, ρ é a densidade e s é o calor específico do material na
barra. As unidades de α2 são (comprimento) 2 / tempo.
0,0,2 tLxuu txx
Condução de calor em uma barra:
Conds. iniciais e conds. de contorno (3 de 6)
Além disso, assumimos que a distribuição inicial da temperatura
na barra é dada e, portanto,
onde f é uma função dada.
Finalmente, assumimos que as extremidades da barra são
mantidas a temperaturas fixas: a temperatura T1 em x = 0 e T2 em
x =
L.
No entanto, como será mostrado na Seção 10.6, precisamos
apenas considerar T1 = T2 = 0.
Assim, temos as condições de contorno
Lxxfxu 0),()0,(
0,0),(,0),0( ttLutu
Condição inicial
Condução de calor em uma barra:
Problema de condução do calor (4 de 6)
Assim, o problema fundamental da condução de calor é encontrar
u(x, t) satisfazendo:
• Com respeito à variável de tempo t, este é um problema de
valor inicial; Uma condição inicial é dada e a equação
diferencial governa o que acontece mais tarde.
• Com relação à variável espacial x, é um problema de valores
de contorno; Condições de fronteira são impostas em cada
extremidade da barra e a equação diferencial descreve a
evolução da temperatura no intervalo entre elas.
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
• Alternativamente, podemos considerar o problema como um
problema de valor de contorno no plano xt, veja a figura abaixo.
• A solução u (x, t) que satisfaz o problema de condução de
calor é procurada na tira semi-definida 0 <x <L, t> 0, sujeita à
exigência de que u (x, t) deve assumir um valor prescrito em
cada ponto no contorno desta tira.
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Condução de calor em uma barra:
Condições de Fronteira (5 de 6)
Condução de calor em uma barra:
Equação linear homogênea (6 de 6)
O problema de condução de calor
• É linear, pois u aparece apenas na primeira potência em toda
equação.
• A equação diferencial e as condições de contorno também são
homogêneas.
• Isso sugere que possamos abordar o problema buscando soluções da
equação diferencial e condições de contorno, e depois as sobrepondo
para satisfazer a condição inicial.
• Em seguida, descrevemos como esse plano pode ser implementado.
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Método da Separação de Variáveis (1 de 7)
Nosso objetivo é encontrar soluções não triviais para a equação
diferencial e condições de fronteira.
Começamos assumindo que a solução u (x, t) tem a forma
Substituindo isso em nossa equação diferencial
nós obtemos
ou
)()(),( tTxXtxu
txx uu
2
TXTX 2
T
T
X
X
2
1
Nós temos
Nota: o lado esquerdo depende apenas de x e lado direito apenas em t.
Assim, para que esta equação seja válida para 0 <x <L, t> 0, é
necessário que ambos os lados dessa equação sejam iguais à
mesma constante, ligue-o -λ. Então
Assim, a equação diferencial parcial é substituída por duas
equações diferenciais ordinárias.
T
T
X
X
2
1
0
01
22
TT
XX
T
T
X
X
Método da Separação de Variáveis (2 de 7)
Transforma 1 EDP em 2 EDOs!
Lembre-se do nosso problema original
Substituindo u(x, t)=X(x)T(t) na condição de fronteira em x = 0,
Uma vez que estamos interessados em soluções não triviais,
exigimos X (0) = 0 em vez de T (t) = 0 para t> 0.
Similarmente, X (L) = 0.
Portanto, temos o seguinte problema de valores de contorno:
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
0)()0(),0( tTXtu
0)()0(,0 LXXXX
Método da Separação de Variáveis (3 de 7)
Usando as condições de fronteira.
Resolvendo:
1) Se λ<0, então existe μ diferente de zero tal que λ=-μ2.
Logo, a equação característica é: r2-μ2=0→ r1=µ e r2=-µ
Então a solução geral é: X(x)= C1e
μx+C2e
-μx.
Usando X(0)=0: 0=C1+C2 →C1=-C2
Usando X(L)=0: 0=C1e
μL+C2e
-μL=C2(-e
μL+e-μL) --> C2=0 --> C1=0
Logo, este caso só nos dá a solução trivial X(x)=0 :(
2) Se λ=0, então a equação característica é: r2=0→ r1=0=r2
Logo, a solução geral é: X(x)= C1+C2x.
Usando X(0)=0: 0=C1 →C1=0
Usando X(L)=0: 0=C1+C2L=C2L --> C2=0
Logo, este caso só nos dá a solução trivial X(x)=0 :(
3) Se λ>0, então existe μ diferente de zero tal que λ=μ2.
Logo, a equação característica é: r2+μ2=0→ r1=iµ e r2=-iµ
Então a solução geral é: X(x)= C1cos(μx)+C2sen(μx)
Usando X(0)=0: 0=C1→C1=0
Usando X(L)=0: 0=C2sen(μL)→C2=0 ou sen(μL)=0
Se C2=0, temos a solução trivial X(x)=0 :(
Se sen(μL)=0, então μL=nπ, para n=1,2,… Logo, temos que ter λn=(nπ/L)
2, para n=1,2,…,
para ter uma solução não trivial. Para os outros valores de λ só temos X(x)=0 como solução.
No caso de λn=(nπ/L)
2 a solução é X(x)= C2 sen(nπx/L), para n=1,2,…
0)()0(,0 LXXXX
Método da Separação de Variáveis (4 de 7)
Usando as soluções das EDOs.
Do slide anterior as únicas soluções não triviais para este
problema de valores de contorno
são
quando
Agora vamos resolver a outra EDO
Com esses valores para λ, a solução para a equação acima é
0)()0(,0 LXXXX
,3,2,1,/sin)( nLxnxX n
,3,2,1,/ 222 nLnn
02 TT
constant. ,
2)/(
n
tLn
nn kekT
Método da Separação de Variáveis (5 de 7)
Usando as soluções das EDOs.
Soluções Fundamentais
Assim, nossas soluções fundamentais têm a forma
onde negligenciamos constantes arbitrárias de proporcionalidade.
As funções un são algumas vezes chamadas de soluções fundamentais
do problema de condução de calor.
Resta apenas satisfazer a condição inicial
Lembre-se de que muitas vezes resolvemos problemas de valor inicial
formando combinações lineares de soluções fundamentais e depois
escolhendo os coeficientes para satisfazer as condições iniciais.
Aqui, temos infinitas soluções fundamentais.
,,3,2,1,/sin),( 2)/( nLxnetxu tLnn
Lxxfxu 0),()0,(
Método da Separação de Variáveis (6 de 7)
Coeficientes de Fourier
Nossas soluções fundamentais são
Lembre-se da condição inicial
Portanto, assumimos que
Onde o cn é escolhido para que a condição inicial seja satisfeita:
Assim, escolhemos os coeficientes cn para uma série seno de
Fourier.
,,3,2,1,/sin),( 2)/( nLxnetxu tLnn
Lxxfxun 0),()0,(
1
)/(
1
/sin),(),(
2
n
tLn
n
n
nn Lxnectxuctxu
1
/sin)()0,(
n
n Lxncxfxu
Método da Separação de Variáveis (7 de 7)Solução da equação do calor
Portanto, a solução para o problema de condução de calor
É dado por
onde
1
)/( /sin),(
2
n
tLn
n Lxnectxu
L
n dxLxnxfL
c
0
/sin)(2
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Exemplo 1: Problema de condução do Calor (1 de 2)
Encontre a temperatura u (x, t) a qualquer instante t em uma
haste de metal de 50 cm de comprimento, isolada nos lados, que
inicialmente tem uma temperatura uniforme de 20 ° C ao longo
de toda a haste e cujas extremidades são mantidas a 0 ° C para
todos os t> 0 .
Este problema de condução de calor tem a forma
500,20)0,(
0,0),50(,0),0(
0,500,2
xxu
ttutu
txuu txx
Exemplo 1: Solução (2 de 2)
A solução para o nosso problema de condução de calor é
onde
portanto
1
)50/( 50/sin),(
2
n
tn
n xnectxu
even,0
odd,/80
cos14050/sin
5
4
50/sin20
50
2/sin)(2
50
0
50
00
n
nn
n
n
dxxn
dxxndxLxnxf
L
c
L
n
1
)50/( 50/sin180),(
2
n
tn xne
n
txu
n=1,3,5,...
Boyce/DiPrima
9ª ed.
Seção 10.5
Exercícios:
Ímpares de 1 a 11
e o 23
Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
AREA 3/area03_02_10.5_sol.pdf
AREA 3/area03_03_10.6_prob.nao_homog.pdf
Boyce/DiPrima 9ª ed.
10.6: Outros problemas de condução do calor
Na seção 10.5 estudamos o seguinte problema de condução do calor:
Que possui solução
Observe que se f for limitada os coeficientes cn serão limitados, então
pela presença da exponencial com coeficientes negativos, temos que
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
L
n
n
tLn
n dxLxnxfL
cLxnectxu
0
1
)/( /sin)(2,/sin),(
2
0),(lim
txu
t
Condições de Fronteira (ou Contorno)
Não-homogeneas (1 de 5)
Consideramos agora o problema de condução de calor com
condições de fronteira não homogêneas:
Nós resolvemos esse problema, reduzindo-o a um problema com
condições de fronteira homogêneas.
O problema homogêneo é então resolvido como na seção 10.5.
A técnica para reduzir esse problema para um homogêneo é
sugerida por um argumento físico, conforme apresentado nos
slides a seguir.
Lxxfxu
tTtLuTtu
tLxuu txx
0),()0,(
0,),(,),0(
0,0,
21
2
Estado Estacionário da distribuição de
temperatura (2 de 5)
Após um longo período de tempo (ou seja, t → ∞), antecipamos
que será alcançada uma distribuição de temperatura constante
v(x), que é independente do tempo t e das condições iniciais.
Uma vez que v(x) deve satisfazer a equação de condução de
calor,
temos
Além disso, v (x) deve satisfazer as condições de contorno
Resolvendo para v (x), obtemos
,0,2 Lxuu txx
Lxxv 0,0)(
21 )(,)0( TLvTv
112)( TL
xTTxv
Distribuição de Temperatura Transiente (3 de 5)
Voltando ao problema original, tentaremos expressar u(x, t) como
a soma da distribuição de temperatura no estado estacionário v(x)
e outra (transiente) distribuição de temperatura w(x, t). Portanto
Uma vez que temos uma expressão para v(x), resta encontrar
w(x, t).
Primeiro, encontramos o problema de valores de contorno para
w(x, t) da seguinte maneira.
Substituindo u (x, t) = v (x) + w (x, t) em α2uxx = ut, obtemos
α2wxx = wt, desde que vxx = vt = 0.
Em seguida, w (x, t) satisfaz as condições de fronteira e inicial
),()(),( txwxvtxu
)()()()0,()0,(
0)(),(),(
0)0(),0(),0(
22
11
xvxfxvxuxw
TTLvtLutLw
TTvtutw
Solução Transiente (4 de 5)
• Portanto, o problema de valores de contorno para w(x,t) é
onde
• Da Seção 10.5, a solução deste problema é
onde
Lxxvxfxw
ttLwtw
tLxww txx
0),()()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
1
)/( /sin),(
2
n
tLn
n Lxnectxw
L
n dxLxnTL
xTTxf
L
c
0 112
/sin)(2
112)( TL
xTTxv
Solução Não-homogenea (5 de 5)
Lembre-se do nosso problema de valores de contorno não
homogêneo original:
Assim, a solução u (x, t) = v (x) + w (x, t) é dada por
onde
1
)/(
112 /sin),(
2
n
tLn
n LxnecTL
xTTtxu
L
n dxLxnTL
xTTxf
L
c
0 112
/sin)(2
Lxxfxu
tTtLuTtu
tLxuu txx
0),()0,(
0,),(,),0(
0,0,
21
2
Exemplo 1: Problema de condução de calor
não-homogêneo (1 de 3)
Considere o problema de condução de calor não homogêneo
A temperatura estacionária satisfaz v '' (x) = 0 e as condições de
contorno v (0) = 20 e v (30) = 50. Assim v (x) = x + 20.
A distribuição de temperatura transiente w (x, t) satisfaz o
problema de condução de calor homogêneo
300,260)0,(
0,50),30(,20),0(
0,300,
xxxu
ttutu
txuu txx
300,34020260)0,(
0,0),30(,0),0(
0,300,2
xxxxxw
ttwtw
txww txx
Exemplo 1: Solução (2 de 3)
A solução não homogênea u(x, t) é dada pela soma da
distribuição de temperatura no estado estacionário v(x) e a
distribuição de temperatura transiente w(x, t).
Portanto
onde
30
0
30/sin340
15
1 dxxnxcn
1
)30/( 30/sin20),(
2
n
tn
n xnecxtxu
Barra com extremidades isoladas (1 de 11)
Suponha agora que as extremidades da barra estejam isoladas de
modo que não haja passagem de calor através delas.
Pode ser mostrado (ver Apêndice A deste capítulo) que a taxa de
fluxo de calor em uma seção transversal é proporcional à taxa de
mudança de temperatura na direção x.
Assim, no caso de nenhum fluxo de calor na fronteira, nosso
problema de valores de contorno toma a forma
Este problema pode ser resolvido usando o método de separação
de variáveis, conforme examinamos a seguir.
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu
xx
txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Método da separação de variáveis (2 de 11)
Como na Seção 10.5, começamos assumindo
Substituindo isso em nossa equação diferencial
nós obtemos
ou
onde λ é uma constante, como na Seção 10.5.
Consideramos as condições de contorno.
)()(),( tTxXtxu
txx uu
2
TXTX 2
,0
01
22
TT
XX
T
T
X
X
Condições de Fronteira (3 de 11)
Lembre-se do nosso problema original
Substituindo u (x, t) = X (x) T (t) na condição de limite em x = 0,
Uma vez que estamos interessados em soluções não triviais,
exigimos X '(0) = 0 em vez de T (t) = 0 para t> 0. Similarmente,
X' (L) = 0.
Portanto, temos o seguinte problema de valores de contorno
0)()0(),0( tTXtux
0)()0(,0 LXXXX
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu
xx
txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Problema de valores de contorno para λ < 0 (4 de 11)
Assim, devemos resolver o problema de valores de contorno
Suponha λ <0, e faça λ = -μ2, onde μ é real e positivo.
Então nossa equação torna-se
Cuja solução geral é
X(x)=C1e
μx+C2e
-μx
Neste caso, as condições de contorno requerem C1 = C2 = 0 e,
assim, a única solução é trivial.
Portanto, λ não pode ser negativo.
0)()0(,02 LXXXX
0)()0(,0 LXXXX
Problema de valores de contorno para λ = 0 (5 de 11)
Nosso problema de valores de contorno é
Suponha que λ = 0. Então nossa equação se torna
Cuja solução geral é
A partir das condições de contorno, k1 = 0 e k2 não é
determinado.
Portanto, para λ= 0 a solução é a função X(x) = 1.
Além disso, a partir da equação abaixo, T (t) = k3, com k3 uma
constante.
Segue-se que u(x, t) = C, onde C = k2k3 é uma constante.
0)()0(,0 LXXX
0)()0(,0 LXXXX
21)( kxkxX
02 TT
Problema de valores de contorno para λ > 0 (6 de 11)Nosso problema de valores de contorno é
Suponha que λ > 0, e faça λ =μ2, onde μ é real e positivo.Então nossa equação torna-se
Cuja solução geral é
Calculando a derivada desta função X, temos que X’(x)=μ[k1cos(μx)-k2sen(μx)]Usando X’(0)=0, temos que k1 = 0, Usando X’(L)=0, temos que sen(μL)=0 ou k2 = 0 , como queremos uma solução não-trivial,
vamos escolher μ tal que sen(μL)=0, ou seja, μL=nπ, para n=1,2,… Logo, temos que ter λn=(nπ/L)2, para n=1,2,…, para ter uma solução não trivial. Para os outros valores de λ só temos X(x)=0 como solução.No caso de λn=(nπ/L)2 a solução é X(x)= k2 cos(nπx/L), para n=1,2,… Como k2 é abitrário podemos fazer X(x)=cos(nπx/L), para n=1,2,…
0)()0(,02 LXXXX
0)()0(,0 LXXXX
xkxkxX cossin)( 21
Soluções Fundamentais (7 de 11)
Para λn=(nπ/L)2, a equação
tem solução
Combinando todos esses resultados, temos as seguintes soluções
fundamentais para o nosso problema original:
Onde foram omitidas constantes arbitrárias de proporcionalidade.
02 TT
constant. ,
2)/(
n
tLn
nn kekT
,,2,1,/cos),(
,1),(
2)/(
0
nLxnetxu
txu
tLn
n
Condição Inicial (8 de 11)
Como a equação diferencial original e suas condições de
contorno são lineares e homogêneas, qualquer combinação linear
finita das soluções fundamentais as satisfaz também.
Assumimos que isso é verdade para combinações lineares
infinitas convergentes de soluções fundamentais também.
Assim, para satisfazer a condição inicial
fazemos
Lxxfxu 0),()0,(
1
)/(0
1
0
0
/cos
2
),(),(
2
),(
2
n
tLn
n
n
nn
Lxnecc
txuctxuctxu
Condição Inicial (9 de 11)
Assim, para satisfazer a condição inicial
fazemos
onde o cn é escolhido para que a condição inicial seja satisfeita:
Assim, escolhemos os coeficientes cn para uma série de Fourier
dos cossenos:
Lxxfxu 0),()0,(
1
)/(0 /cos
2
),(
2
n
tLn
n Lxnec
ctxu
1
0 /cos
2
)()0,(
n
n Lxnc
cxfxu
L
n ndxLxnxfL
c
0
,2,1,0,/cos)(2
Solução (10 de 11)
Portanto, a solução para o problema de condução de calor para
uma barra com extremidades isoladas (e lados isolados)
É dado por
Onde
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu
xx
txx
0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
1
)/(0 /cos
2
),(
2
n
tLn
n Lxnec
ctxu
L
n ndxLxnxfL
c
0
,2,1,0,/cos)(2
Interpretação física (11 de 11)
A solução para o nosso problema de condução de calor
Pode ser pensado como a soma da distribuição de temperatura
estacionária (dada por c0 / 2) que é independente do tempo e uma
solução transitória (dada pela série) que tende a 0 quando t →∞.
Físicamente, esperamos que o processo de condução de calor
gradualmente suavize a distribuição de temperatura na barra, pois
nenhum calor escapa ou entra da/na barra.
Observe que o valor médio da distribuição de temperatura inicial
é
1
)/(0 /cos
2
),(
2
n
tLn
n Lxnec
ctxu
L
dxxf
L
c
0
0 )(1
2
Exemplo 2: Problema de condução do calor
(1 de 2)
Encontre a temperatura u (x, t) em uma haste de metal de 25 cm
de comprimento, isolada nos lados e nas extremidades e cuja
distribuição de temperatura inicial é u (x, 0) = x para 0 <x <25.
Este problema de condução de calor tem a forma
250,)0,(
0,0),25(,0),0(
0,250,2
xxxu
ttutu
txuu
xx
txx
Exemplo 2: Solução (2 de 2)
A solução para o nosso problema de condução de calor é
Onde
portanto
1
)25/(0 25/cos
2
),(
2
n
tn
n xnec
ctxu
1,
even,0
odd,)/(100
25/cos
25
2
,25
25
2
225
0
25
00
n
n
nn
dxxnxc
dxxc
n
,5,3,1
)50/(
2 25/cos
1100
2
25),(
2
n
tn xne
n
txu
Problemas mais gerais (1 de 2)
O método de separação de variáveis também pode ser usado para
resolver problemas de condução de calor com outras condições
de contorno além das discutidas nesta seção.
Por exemplo, a extremidade esquerda da barra pode ser mantida a
uma temperatura fixa T enquanto a outra extremidade é isolada.
Neste caso, as condições de fronteira são
O primeiro passo é reduzir as condições de fronteira atribuídas a
homogênea, subtraindo a solução de estado estacionário.
O problema resultante é resolvido essencialmente pelo mesmo
procedimento que nos problemas considerados anteriormente.
0,0),(,),0( ttLuTtu x
Problemas mais gerais (2 de 2)
Outro tipo de condição de fronteira ocorre quando a taxa de fluxo
de calor através da extremidade da barra é proporcional à
temperatura.
É mostrado no Apêndice A que as condições de contorno neste
caso são da forma
Onde h1 e h2 são constantes não negativas.
Se aplicarmos o método de separação de variáveis ao problema
de condução de calor com essas condições de contorno, temos
Como antes, apenas certos valores não negativos de λ dão origem a soluções
fundamentais, que podem ser superpostas para formar uma solução global que
satisfaça a condição inicial. Veja o texto.
,0,0),(),(,0),0(),0( 21 ttLuhtLutuhtu xx
0)()(,0)0()0(,0 21 LXhLXXhXXX
Boyce/DiPrima – 9ª ed. - Seção 10.6 – Exercícios: 1,3,5,7,21,22.
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Slide 24
AREA 3/area03_03_10.6_sol.pdf
AREA 3/area03_03_10.6_sol_continuacao.pdf
AREA 3/area03_04_10.7_eq.onda.pdf
Boyce/DiPrima 9ª ed.
10.7: Equação da onda: vibrações de uma corda elástica.
Corda vibrando: Hipóteses (1 de 5)
Suponha que uma corda elástica de comprimento L esteja bem esticada entre
dois suportes no mesmo nível horizontal.
Deixe o eixo x ser escolhido para ficar ao longo do eixo da corda e deixe x = 0
e x = L indicar as extremidades da corda.
Suponha que a corda seja ajustada em movimento para que ela vibre em um
plano vertical e que u(x, t) denote o deslocamento vertical da corda no ponto
x no tempo t.
Suponha que os efeitos de amortecimento, como a resistência do ar, podem ser
negligenciados e que a amplitude do movimento não é muito grande.
Equação da onda (2 de 5)
Sob estas premissas, a vibração de cordas é governada pela
equação de onda unidimensional e tem a forma
O coeficiente constante a2 é dado por a2 = T /m, onde T é a
tensão, m é a massa por unidade de comprimento do material da
corda.
Segue-se que as unidades de a são o comprimento / tempo. Pode-
se mostrar que a é a velocidade de propagação das ondas ao
longo da corda.
Veja o Apêndice B para uma derivação da equação de onda.
0,0,2 tLxuua ttxx
Equação da onda:
Condições iniciais e de fronteira (3 de 5)
Assumimos que as extremidades da corda permanecem fixas e,
portanto,
Uma vez que a equação de onda é de segunda ordem em relação
a t, é plausível prescrever duas condições iniciais, a posição
inicial da corda e sua velocidade inicial:
onde f e g são funções determinadas.
Para que essas quatro condições sejam consistentes, exigimos
,0),()0,(),()0,( Lxxgxuxfxu t
0,0),(,0),0( ttLutu
0)()0(,0)()0( LggLff
Problema da equação da onda (4 de 5)
Assim, o problema da equação de onda é
Este
é um problema de valor inicial em relação a t, e um
problema de valores de contorno em relação a x.
Alternativamente, é um problema de condições de fronteira
no plano xt, com uma condição
imposta em cada ponto do lado semi-infinito
e dois impostos em cada ponto
da base finita (veja figura ao lado).
Lxxgxuxfxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0),()0,(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Problemas da equação da onda (5 de 5)
A equação de onda governa um grande número de outros
problemas de onda além das vibrações transversais de uma corda
elástica.
Por exemplo, basta interpretar a função u e a constante para ter
problemas para lidar com ondas de água em um oceano, ondas
acústicas ou eletromagnéticas na atmosfera, ou ondas elásticas
em um corpo sólido.
Se mais de uma dimensão de espaço for significativa, podemos
generalizar a equação de onda, por exemplo, para duas
dimensões:
Esta equação pode ser usada para descrever o movimento de um
tambor, com limites adequados e condições iniciais.
ttyyxx uuua 2
Corda elástica com deslocamento inicial não-nulo (1 de 6)
Suponha que a corda seja perturbada a partir da sua posição de
equilíbrio e depois liberada em t = 0 com velocidade zero para
vibrar livremente.
O deslocamento vertical u (x, t) deve então satisfazer
Onde f é uma função dada descrevendo a configuração da corda
em t = 0.
Usaremos o método de separação das variáveis para obter
soluções deste problema.
Lxxuxfxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0,0)0,(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Método da separação de variáveis (2 de 6)
Como na Seção 10.5, começamos assumindo
Substituindo isso em nossa equação diferencial
nós obtemos
ou
Onde λ é uma constante, como na Seção 10.5.
)()(),( tTxXtxu
ttxx uua
2
TXTXa 2
,0
01
22
TaT
XX
T
T
aX
X
Condições de Fronteira (3 de 6)
Nosso problema da corda vibrando é
Substituindo u (x, t) = X (x) T (t) na segunda das condições
iniciais em t = 0, encontramos que
Da mesma forma, as condições de contorno requerem X (0) = 0,
X (L) = 0:
Portanto, temos o seguinte problema de valor de contorno para X:
Lxxuxfxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0,0)0,(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
0)0(0,0)0()()0,( TLxTxXxut
0)()0(,0 LXXXX
0,0)()(),(,0)()0(),0( ttTLXtLutTXtu
Solução não-trivial (4 de 6)
Da Seção 10.5, as únicas soluções não triviais para este problema
de valores de contorno são as funções
quando
Com esses valores para λ, a solução para a equação
é
Onde k1, k2 são constantes. Como T '(0) = 0, k2 = 0 e, portanto,
,3,2,1,/sin)( nLxnxX n
,3,2,1,/ 222 nLnn
02 TaT
,/sin/cos)( 21 LtankLtanktT
LtanktT /cos)( 1
Soluções Fundamentais (5 de 6)
Assim, nossas soluções fundamentais têm a forma
Onde negligenciamos constantes arbitrárias de
proporcionalidade.
Para satisfazer a condição inicial
nós escrevemos
Onde o cn é escolhido para que a condição inicial seja satisfeita:
,,3,2,1,/cos/sin),( nLtanLxntxun
Lxxfxu 0),()0,(
11
/cos/sin),(),(
n
n
n
nn LtanLxnctxuctxu
L
n
n
n dxLxnxfL
cLxncxfxu
0
1
/sin)(2/sin)()0,(
Solução (6 de 6)
Portanto, a solução para o problema das cordas vibratórias
É dado por
Onde
L
n dxLxnxfL
c
0
/sin)(2
1
/cos/sin),(
n
n LtanLxnctxu
Lxxuxfxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0,0)0,(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Exemplo 1: Problema da corda vibrando (1 de 2)
• Considere o seguinte problema
onde
300,0)0,(),()0,(
0,0),30(,0),0(
0,300,4
xxuxfxu
ttutu
txuu
t
ttxx
3010,20/)30(
100,10/
)(
xx
xx
xf
Exemplo 1: Solução (2 de 2)
A solução para o nosso problema da corda vibrando é
onde
Portanto
,2,1,3/sin9
30/sin
20
30
30
230/sin
1030
2
22
30
10
10
0
nn
n
dxxnxdxxnxcn
1
30/2cos30/sin),(
n
n tnxnctxu
1
22 30/2cos30/sin3/sin
9),(
n
tnxnn
n
txu
Problema da corda vibrando para f = 0 (1 de 6)
Suponha que a corda seja colocada em movimento a partir de sua
posição de equilíbrio com uma determinada velocidade.
Então, o deslocamento vertical u (x, t) deve satisfazer
onde g é a velocidade inicial no ponto x da cadeia.
Usaremos o método de separação das variáveis para obter
soluções deste problema.
Lxxgxuxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0),()0,(,0)0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Método da separação de variáveis (2 de 6)
Como mostrado anteriormente para a equação de onda,
assumindo
Nos leva às duas equações diferenciais ordinárias
As condições de contorno requerem X (0) = 0, X (L) = 0 e assim
As únicas soluções não triviais para este problema de valores de
contorno são
Então T (t) satisfaz
)()(),( tTxXtxu
0,0 2 TaTXX
0)()0(,0 LXXXX
,3,2,1,/sin)(,/ 222 nLxnxXLn nn
0/ 2222 TLnaT
Condições de Fronteira (3 de 6)
Lembre-se de que as condições iniciais são
Substituindo u (x, t) = X (x) T (t) na primeira dessas condições,
Portanto, T (t) satisfaz
Com solução
Onde k1, k2 são constantes.
Como T (0) = 0, segue-se que k1 = 0 e, portanto,
0)0(0,0)0()()0,( TLxTxXxu
Lxxgxuxu t 0),()0,(,0)0,(
0)0(,0/ 2222 TTLnaT
,/sin/cos)( 21 LtankLtanktT
LtanktT /sin)( 1
Soluções Fundamentais (4 de 6)
Assim, nossas soluções fundamentais têm a forma
onde negligenciamos constantes arbitrárias de proporcionalidade.
Para satisfazer a condição inicial
nós escrevemos
onde o kn é escolhido para que a condição inicial seja satisfeita.
,,3,2,1,/sin/sin),( nLtanLxntxun
Lxxgxut 0),()0,(
11
/sin/sin),(),(
n
n
n
nn LtanLxnktxuktxu
Condição Inicial (5 de 6)
Portanto
onde o kn é escolhido para que a condição inicial seja satisfeita:
Conseqüentemente
ou
11
/sin/sin),(),(
n
n
n
nn LtanLxnktxuktxu
1
/sin)()0,(
n
nt LxnkL
anxgxu
L
n dxLxnxgL
k
L
an
0
/sin)(2
L
n dxLxnxgan
k
0
/sin)(2
Solução (6 de 6)
Portanto, a solução para o problema das cordas vibratórias
É dada por
onde
1
/sin/sin),(
n
n LtanLxnctxu
Lxxgxuxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0),()0,(,0)0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
L
n dxLxnxgan
c
0
/sin)(2
Problema geral da corda elástica (1 de 3)
Suponha que a corda seja colocada em movimento a partir de
uma posição inicial geral com uma velocidade determinada.
Então, o deslocamento vertical u(x, t) deve satisfazer
onde f é a posição inicial dada e g(x) é a velocidade inicial no
ponto x da corda.
Poderíamos usar separação de variáveis para
obter a solução.
No entanto, é importante notar que podemos resolver esse
problema juntando duas soluções que obtivemos anteriormente.
Lxxgxuxfxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0),()0,(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Problemas Separados (2 de 3)
Seja v(x, t) satisfazendo
E seja w(x, t) satisfazendo
Então u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) satisfaz o problema geral
Lxxvxfxv
ttLvtv
tLxvva
t
ttxx
0,0)0,(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Lxxgxwxw
ttLwtw
tLxwwa
t
ttxx
0),()0,(,0)0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Lxxgxuxfxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0),()0,(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Sobreposição (3 de 3)
Então u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) satisfaz o problema geral
onde
L
n
n
n
L
n
n
n
dxLxnxg
an
kLtanLxnktxw
dxLxnxf
L
cLtanLxnctxv
0
1
0
1
/sin)(2,/sin/sin),(
/sin)(2,/cos/sin),(
Lxxgxuxfxu
ttLutu
tLxuua
t
ttxx
0),()0,(),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Boyce/DiPrima
9ª ed.
Seção 10.7
Exercícios:
1.a,4.a,5.a,8.a
Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
AREA 3/area03_04_10.7_sol.pdf
AREA 3/area03_05_10.8_eq.Laplace.pdf
Boyce/DiPrima 9ª ed.
10.8: Equação de Laplace
Uma das equações diferenciais parciais mais importantes que ocorrem
em matemática aplicada é a Equação de Laplace.
Em duas dimensões, esta equação tem a forma
E em três dimensões
Por exemplo, em um problema bidimensional de condução de calor, a
temperatura u (x, y, t) deve satisfazer a equação diferencial
onde α2 é a difusividade térmica.
Se existe um estado estacionário, então u é uma função de x e y, e a
derivada do tempo desaparece.
0 yyxx uu
0 zzyyxx uuu
tyyxx uuu 2
Equação Potencial
A função potencial de uma partícula no espaço livre no espaço
sob ação apenas das forças gravitacionais satisfaz a equação de
Laplace
E, portanto, a equação de Laplace é muitas vezes referida como a
equação potencial.
Em elasticidade, os deslocamentos, que ocorrem quando uma
barra perfeitamente elástica é torcida, são descritos em termos da
chamada função de deformação, que também satisfaz
Existem muitas aplicações da equação de Laplace; Veja o texto.
Vamos nos concentrar na equação bidimensional.
0 yyxx uu
0 yyxx uu
Condições de fronteira (1 de 3)
Como não há dependência do tempo nos problemas
anteriormente mencionados para a equação de Laplace,
Não há condições iniciais para serem satisfeitas pelas suas
soluções.
Eles devem satisfazer certas condições de contorno na curva de
delimitação ou na superfície da região em que a equação
diferencial deve ser resolvida.
Como a equação de Laplace é de segunda ordem, pode ser
plausível esperar que sejam necessárias duas condições de
contorno para determinar a solução completamente.
No entanto, este não é o caso, como examinamos em seguida.
0 yyxx uu
Condições de fronteira (2 de 3)
Lembre o problema de condução de calor em uma barra:
Observe que é necessário prescrever uma condição em cada
extremidade da barra, ou seja, uma condição em cada ponto da
fronteira.
Generalizando esta observação a problemas multidimensionais, é
natural escrever uma condição
em u em cada ponto da fronteira da
região em que se busca a solução.
Lxxfxu
tTtLuTtu
tLxuu txx
0),()0,(
0,),(,),0(
0,0,
21
2
Tipos comuns de condições de fronteira (3 de 3)
A condição de fronteira mais comum ocorre quando o valor de u
é especificado em cada ponto de limite.
Em termos do problema de condução de calor, isso corresponde a
prescrever a temperatura na fronteira.
Em alguns problemas, o valor da derivada de u na direção normal
da fronteira é especificado.
Por exemplo, a condição na fronteira de um corpo termicamente
isolado é desse tipo.
Condições de fronteira mais complicadas também podem ocorrer.
Por exemplo, u pode ser dado em parte da fronteira e sua
derivada normal especificada no restante.
D
iri
ch
le
t
N
eu
m
an
n
Problema de Dirichlet no retângulo (1 de 7)
Considere o seguinte problema Dirichlet em um retângulo:
Onde f é uma função dada em [0,b]
byyfyauyu
axbxuxu
byaxuu yyxx
0),(),(,0),0(
0,0)),(,0)0,(
0,0,0
Método da Separação de Variáveis (2 de 7)
Começamos assumindo
Substituindo isso em nossa equação diferencial
nós obtemos
ou
Onde λ é uma constante.
Consideramos as condições de contorno.
)()(),( yYxXyxu
0 yyxx uu
0 YXYX
,0
0
YY
XX
Y
Y
X
X
Condições de Contorno (3 de 7)
Nosso problema Dirichlet é
Substituindo u (x, y) = X (x) Y (y) nas condições de fronteira
homogêneas, encontramos que
0)(0,0)()(),(
,0)0(0,0)0()()0,(
,0)0(0,0)()0(),0(
bYaxbYxXbxu
YaxYxXxu
XbyyYXyu
byyfyauyu
axbxuxu
byaxuu yyxx
0),(),(,0),0(
0,0),(,0)0,(
0,0,0
Encontrando os valores de λ e as soluções X e Y (4 de 7)
Assim, temos os seguintes dois problemas de valores na
fronteira:
Conforme mostrado anteriormente, segue-se que
Com esses valores para λ, a solução para a equação
É X(x)=C1e
nπx/b+C2e
-nπx/b,
onde C1, C2 são constantes. Como X (0) = 0, C2 = -C1 e, portanto,
X(x)=C1[e
nπx/b-e-nπx/b]=2C1[e
nπx/b-e-nπx/b]/2=k senh(nπx/b)
Com k=2C1
,3,2,1,/sin)(,/ 222 nbynyYbn nn
0)(,0)0(,0
;0)0(,0
bYYYY
XXX
0 XX
Soluções Fundamentais (5 de 7)
Assim, nossas soluções fundamentais têm a forma
onde negligenciamos constantes arbitrárias de proporcionalidade.
Para satisfazer a condição de contorno em x = a,
nós definimos
onde o cn é escolhido para que a condição inicial seja satisfeita.
,,3,2,1,/sin/sinh),( nbynbxnyxun
,0),(),( byyfyau
11
/sin/sinh),(),(
n
n
n
nn bynbxncyxucyxu
Condição de contorno (6 de 7)
Portanto
onde o cn é escolhido para que a condição inicial seja satisfeita:
Conseqüentemente
ou
b
n dybynyfbb
anc
0
/sin)(2sinh
bynbancyfyau
n
n /sin/sinh)(),(
1
1
/sin/sinh),(
n
n bynbxncyxu
b
n dybynyfb
an
b
c
0
1
/sin)(sinh2
Solução (7 de 7)
Portanto, a solução para o problema de Dirichlet
É dada por
onde
b
n dybynyfb
an
b
c
0
1
/sin)(sinh2
1
/sin/sinh),(
n
n bynbxncyxu
byyfyauyu
axbxuxu
byaxuu yyxx
0),(),(,0),0(
0,0),(,0)0,(
0,0,0
Exemplo 1: Problema de Dirichlet
Considere o problema da corda vibratória da forma
onde
Solução:
21,2
10,
)(
yy
yy
yf
20),(),3(,0),0(
30,0)2,(,0)0,(
20,30,0
yyfyuyu
xxuxu
yxuu yyxx
1
22 cos2/sin)2/3sinh(
)2/sin(8),(
n
tnxn
nn
ntxu
senh(nπx/2) sen(nπy/2)y
Problema de Dirichlet no Círculo (1 de 8)
Considere o problema de resolver uma equação de Laplace em
uma região circular r <a sujeita à condição de contorno:
onde f é uma função dada. Veja a figura abaixo.
Em coordenadas polares, a equação de Laplace tem a forma
Exigimos que u(r,θ) seja periódico
em θ com o período 2π, e que u(r, θ)
seja limitada para 0≤r ≤ a.
20),(),( fau
011 2 ur
u
r
u rrr
Método da Separação de Variáveis (2 de 8)
Começamos assumindo
Substituindo isso em nossa equação diferencial
nós obtemos
ou
Onde λ é uma constante.
)()(),( rRru
0
022
RRrRr
R
Rr
R
Rr
011 2 ur
u
r
u rrr
011 2 Rr
R
r
R
Equação para λ < 0, λ = 0 (3 de 8)
Consideramos os casos λ <0, λ= 0 e λ> 0.
Se λ <0, faça λ = -μ2 onde μ> 0. Então
Assim, Θ(θ) é periódico apenas se c1 = c2 = 0; Portanto, λ não pode ser
negativo.
Se λ = 0, a solução de Θ” = 0 é Θ(θ)= c1 + c2 θ.
Assim, Θ(θ) é periódico apenas se c2 = 0; Daí Θ(θ) é uma constante.
Além disso, a equação correspondente para R é a equação de Cauchy-
Euler
Como u(r, t) é limitada para 0≤ r ≤ a, k2 = 0 e, portanto, R (r) é constante.
Daí a solução u (r, θ) é constante para λ = 0.
ecec 21
2 0
rkkrRRrRr ln)(0 21
2
0
022
RRrRr
R
Rr
R
Rr
Buscamos solução do tipo R(r)=rc, onde será
Escolhido para termos uma solução desta forma!
Derivando e substituindo na equação, temos que
c é raiz de c2=0.Portanto, a solução geral é
R(r) = k1 r
0 + k2 r
0 lnr
Equação para λ > 0 (4 de 8)
Se λ> 0, faça λ= μ2, onde μ> 0. Então
Assim, Θ(θ) é periódico com o período 2π apenas se μ= n, onde n
é um número inteiro positivo.
Além disso, a equação correspondente para R é a equação de
Euler
Como u(r, t) é limitada para 0 ≤ r ≤ a, k2 = 0 e assim
Segue-se que, neste caso, as soluções assumem a forma
)cos()sin(0 21
2 cc
rkrkrRRRrRr 21
22 )(0
rkrR 1)(
,2,1,sin),(,cos),( nnrrvnrru nn
n
n
O período de sen(µθ)é 2π/µ.
Se µ=n, então o período desen(nθ) é 2π/n
Como um múltiplo inteiro
positivo do período de uma
função também é período
temos que2π é período de sen(nθ).
Soluções Fundamentais (5 de 8)
Assim, as soluções fundamentais de
São, para n = 1, 2, ...,
Da maneira usual, assumimos que
onde cn e kn são escolhidos para satisfazer a condição de fronteira
nrrvnrruru nn
n
n sin),(,cos),(,1),(0
011 2 ur
u
r
u rrr
1
0 sincos
2
),(
n
nn
n nkncrcru
20),(),( fau
Condições de Fronteira (6 de 8)
Assim,
onde cn e kn são escolhidos para satisfazer a condição de fronteira
A função f pode ser prolongada para fora do intervalo [0,2π ) para
f que seja periódica com o período 2π e, portanto, tem uma série
de Fourier da forma acima (lembre que o argumento do seno e do
cosseno é nπθ/L, então neste caso L=π).
Podemos, portanto, calcular os coeficientes cn e kn usando as
fórmulas Euler-Fourier.
20,sincos
2
,
1
0
n
nn
n nkncacfau
1
0 sincos
2
),(
n
nn
n nkncrcru
Coeficientes (7 de 8)
Assim, para
TemosAgora vamos calcular estas integrais:
Usando que: a primeira integral acima torna-se:
Fazendo mudança de variável: , obtemos:Como e fazendo , temos que
Substituindo isto na expressão de ancn, temos
Fazendo o mesmo para ankn, temos que
,sincos
2 1
0
n
nn
n nkncacf
2
0
2
0
,3,2,1,sin1
,2,1,0,cos1
ndnfka
ndnfca
n
n
n
n
an cn=
1
π −π
π
f (θ ) cos (nθ )d θ an kn=
1
π−π
π
f (θ ) sen (nθ )dθ
f (θ ) é aextensão de f com período 2π .
e f (θ )= f (2π +θ ) , se −2 π⩽ θ<0Isso significa que f (θ )= f (θ ) , se 0⩽θ<2 π
an cn=
1
π −π
π
f (θ ) cos (nθ )d θ= 1
π −π
0
f (θ ) cos (nθ )d θ+ 1
π0
π
f (θ ) cos (nθ )d θ
f (θ )= f (2π+θ ) , se−2π⩽θ<0
1
π−π
0
f (θ ) cos (nθ )d θ= 1
π−π
0
f (2π+θ ) cos (nθ )d θ
=2 π+θ 1
π−π
0
f (θ ) cos (nθ )d θ= 1
ππ
2π
f ( ) cos (n(−2 π ))d
cos (n(−2 π ))=cos (n ) =θ
1
π −π
0
f (θ ) cos (nθ )d θ= 1
ππ
2π
f ( ) cos (n(−2 π ))d= 1
ππ
2π
f ( ) cos (n )d= 1
ππ
2 π
f (θ ) cos (nθ )dθ
an cn=
1
π −π
π
f (θ ) cos (nθ )d θ= 1
π−π
0
f (θ ) cos (nθ )d θ+ 1
π0
π
f (θ ) cos (nθ )d θ=1
ππ
2π
f (θ )cos (nθ )d θ+ 1
π0
π
f (θ )cos (nθ )d θ=1
π 0
2π
f (θ )cos (nθ )d θ
Solução (8 de 8)
Portanto, a solução para o problema do valores de contorno
É dada por
onde
A série de Fourier completa é necessária aqui, pois os dados de
contorno foram dados em 0 ≤θ <2π e têm o período 2π.
20),(),(
,011 2
fau
u
r
u
r
u rrr
,sincos
2
,
1
0
n
nn
n nkncrcru
2
0
2
0
sin1,cos1 dnf
a
kdnf
a
c nnnn
Boyce Di/Prima 9ª ed. - Seção 10.8 – Exercícios 1.a,
1.b,2
Slide 1
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AREA 3/area03_05_10.8_sol.pdf
AREA 3/area03_06_11.5_bessel_continuacao.pdf
Boyce/DiPrima 9ª ed.
11.5: Comentários adicionais sobre separação de variáveis: uma
expansão da série Bessel
Neste capítulo, estamos interessados em ampliar o método de
separação das variáveis desenvolvidas no Capítulo 10 para uma
classe maior de problemas - para problemas envolvendo
equações diferenciais mais gerais, condições de fronteira mais
gerais ou regiões geométricas diferentes.
Separação de variáveis: resolução de equações diferenciais ordinárias
resultantes
Devemos também ser capazes de resolver as equações diferenciais ordinárias,
obtidas depois de separar as variáveis, de maneira razoavelmente conveniente.
Em alguns problemas aos quais a separação de variáveis pode ser aplicada em
princípio, é de valor prático limitado devido à falta de informação sobre as
soluções das equações diferenciais ordinárias que aparecem.
Vibrações de uma Membrana Circular
Elástica (1 de 8)
Na Seção 10.7, observamos que as vibrações transversais de uma
fina membrana elástica são regidas pela equação de onda
Para estudar o movimento de uma membrana circular, é
conveniente escrever esta equação em coordenadas polares:
Assumiremos que a membrana tem raio de 1 unidade, que é
fixado
de forma segura em torno de sua circunferência e que
inicialmente ocupa uma posição deslocada independente da
variável angular θ, da qual é liberada no tempo t = 0.
ttyyxx uuua 2
ttrrr uur
u
r
ua
2
2 11
Problema de valores de contorno (2 de 8)
Devido à simetria circular das condições iniciais e de fronteira,
assumimos que u também é independente de θ, isto é, u é uma
função de r e t apenas.
Assim, nosso problema de valores de contorno é
onde f (r) descreve a configuração inicial da membrana.
Por consistência, também exigimos que f (1) = 0.
Finalmente, exigimos que u(r, t) seja delimitado por 0 ≤ r ≤ 1.
10,0)0,(),()0,(
0,0),1(
0,10,12
rrurfru
ttu
truu
r
ua
t
ttrrr
Método da Separação de Variáveis (3 de 8)
Começamos por assumir u(r, t) = R(r) T(t).
Substituindo isso em nossa equação diferencial
nós obtemos
onde λ> 0 é uma constante.
Segue que
Usando que ut(r,o)=0, temos que T’(0)=0. Como T’(t)=λa[k1cos(λat)-k2sen(λat)]
temos que k1=0. Então,
T(t)=k2cos(λat)
0
01)/1(
22
222
2
2
TaT
RrRrRr
T
T
aR
RrR
,)/1()/1( 2 ttrrr uauru
atkatktT cossin)( 21
Equação de Bessel de ordem Zero (4 de 8)
Para resolver
Introduzimos a variável ξ=λr, e obtemos
Então a equação obtida para R(r(ξ)) é:
Que é uma equação de Bessel de ordem zero e, portanto,
ou
Como na Seção 5.7, J0 e Y0 são funções Bessel do primeiro e
segundo tipo, respectivamente, da ordem zero.
,0222 RrRrRr
022
2
2 R
d
dR
d
Rd
rYcrJcR 0201
0201 YcJcR
R=R(r) e r= ξ/λ
Usando a regra da cadeia obtemos
dR
d ξ
(r )=dR
dr
(r ) dr
d ξ
=R ' (r ) 1
λ
d ²R
d ξ ²
(r )=R ' ' (r ) 1
λ2
ξ2 d ² R
d ξ ²
(r )+ξ dR
d ξ
(r )+ξ2R (r )= λ2 r2R ' ' (r ) 1
λ2
+ λ r R ' (r ) 1
λ
+ λ2 r2R (r )=r 2R ' ' (r )+r R ' (r )+2 r2 R (r )=0
Soluções Rn (5 de 8)
Assim, temos
A condição de limitação de u (r, t) exige que R permaneça
limitado como r → 0.
Uma vez que J0 (0) = 1 e Y0 (x) não é limitado quando x→ 0, nós
escolhemos c2 = 0.
A condição de contorno u(1, t) = 0 então requer que J0 (λ) = 0.
J0 (λ) = 0 possui um conjunto infinito de zeros positivos
discretos λ1 < λ2 <... < λn <....
Para cada um desses valores λn, teremos uma solução
Rn(r)= J0 (λnr) A constante de proporcionalidade foi omitida.
rYcrJcR 0201
Soluções Fundamentais (6 de 8)
As soluções fundamentais deste problema, que satisfazem a
equação diferencial parcial e condição de contorno,
Bem como a condição inicial ut(r,o)=0, são:
Em seguida, assumimos que u (r, t) pode ser expresso como uma
combinação linear infinita das soluções fundamentais:
,2,1,cos),(
,2,1,sin),(
0
0
natrJtrv
natrJtru
nnn
nnn
,0),1(,)/1()/1( 2 tuuauru ttrrr
1
00 cossin),(
n
nnnnnn atrJcatrJktru
1
00 cossin),(
n
nnnnnn atrJcatrJktru
Coeficientes (7 de 8)
Do slide anterior, temos
A condição inicial (que ainda não foi usada) exige que
Assim,
1
0
1
0 0)0,(,)()0,(
n
nnnt
n
nn rJkarurJcrfru
,2,1,
)(
,0 1
0
2
0
1
0 0
n
rdrrJ
drrrJrf
ck
n
n
nn
1
00 cossin),(
n
nnnnnn atrJcatrJktru
1
00 cossin),(
n
nnnnnn atrJcatrJktru
Solução (8 de 8)
Assim, a solução para o nosso problema de valores de contorno
descrevendo as vibrações transversais de uma fina membrana
elástica,
É dada por
1
1
0
2
0
1
0 0
0
)(
,cos),(
n n
n
nnnn
rdrrJ
drrrJrf
catrJctru
,10,0)0,(),()0,(
0,0),1(
0,10,12
rrurfru
ttu
truu
r
ua
t
ttrrr
Boyce/DiPrima
9ª ed.
Seção 11.5
Exercícios
4,5,8
Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
AREA 3/area03_06_11.5_sol.pdf
AREA 3/Laplaciano em Coordenadas Polares.pdf
Sec¸a˜o 20: Equac¸a˜o de Laplace em coordenadas polares
Laplaciano em coordenadas polares. Seja u = u(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis. Depen-
dendo da regia˜o em que a func¸a˜o esteja definida, pode ser mais fa´cil trabalhar com coordenadas
polares. Para lidar com a equac¸a˜o de Laplace nesta situac¸a˜o, vamos pecisar da expressa˜o do
laplaciano em coordenadas polares. Vamos usar que{
x = r cos θ
y = r sen θ
(1)
e tambe´m r = (x
2 + y2)
1
2
θ = arctan
y
x
(2)
Vamos pensar na situac¸a˜o em que a temperatura u de um ponto se expressa em termos das
coordenadas polares (r, θ) desse ponto e que as coordenadas polares, por sua vez, se expressam em
termos das coordenadas cartesianas atrave´s das equac¸o˜es (2). Temos, enta˜o, a func¸a˜o composta
(x, y) 7−→ (r, θ) 7−→ u . Aplicando a regra da cadeia, temos
ux = urrx + uθθx .
Derivando novamente, temos, pela regra da derivada do produto,
uxx =
(
ur
)
x
rx + urrxx +
(
uθ
)
x
θx + uθθxx .
Usando a regra da cadeia, obtemos
uxx =
(
urrrx + urθθx
)
rx + urrxx +
(
uθrrx + uθθθx
)
θx + uθθxx .
Levando em conta que urθ = uθr, pois a ordem de derivac¸a˜o na˜o influi no resultado, e agrupando
os termos, temos
uxx = urr ·(rx)2 + 2urθ ·rxθx + uθθ ·(θx)2 + urrxx + uθθxx . (3)
Analogamente, derivando em relac¸a˜o a y, obtemos
uyy = urr ·(ry)2 + 2urθ ·ryθy + uθθ ·(θy)2 + urryy + uθθyy . (4)
Somando (3) e (4), segue que o laplaciano vale
∆u = uxx + uyy =
(
(rx)2 + (ry)2
)
urr + 2
(
rxθx + ryθy
)
urθ +
(
(θy)2 + (θy)2
)
uθθ
+ (rxx + ryy)ur + (θxx + θyy)uθ .
(5)
Utilizando as expresso˜es (2) para calcular as derivadas parciais indicadas em (5), obtemos
(rx)2 + (ry)2 = 1
rxθx + ryθy = 0
(θy)2 + (θy)2 =
1
r2
rxx + ryy =
1
r
θxx + θyy = 0
adriana
Textbox
x
Substituindo em (5), obtemos, finalmente,
∆u = urr +
1
r
ur +
1
r2
uθθ , (6)
que e´ a expressa˜o do laplaciano em coordenadas polares.
Exemplo 1. Resolva o problema de Dirichlet para o setor circular:
urr +
1
r
ur +
1
r2
uθθ = 0 , em D : 0 < r < 1 , 0 < θ <
pi
2
u(r, 0) = 0 ,
uθ(r, pi2 ) = 0 , no lado θ =
pi
2
u(1, θ) = 1
D
u = 0
uθ = 0
isolado
u = 1
Soluc¸a˜o: Comec¸amos procurando uma func¸a˜o da forma u(r, θ) = ϕ(r)ψ(θ). Substituindo na
equac¸a˜o de Laplace, obtemos
ϕ′′(r)ψ(θ) +
1
r
ϕ′(r)ψ(θ) +
1
r2
ϕ(r)ψ′′(θ) = 0.
Dividindo pelo produto ϕ(r)ψ(θ), segue que
ϕ′′(r)
ϕ(r)
+
ϕ′(r)
rϕ(r)
+
ψ′′(θ)
r2ψ(θ)
= 0 .
Multiplicando por r2, podemos separar as varia´veis,
r2ϕ′′(r)
ϕ(r)
+
rϕ′(r)
ϕ(r)
= −ψ
′′(θ)
ψ(θ)
= λ .
Segue da´ı duas EDO independentes
r2ϕ′′(r) + rϕ′(r)− λϕ(r) = 0 (7)
ψ′′(θ) + λψ(θ) = 0 (8)
Da mesma forma que nos problemas resolvidos nas sec¸o˜es anteriores, as condic¸o˜es de fronteira
u(r, 0) = 0 e uθ(r, pi2 ) = 0 implicam queCompartilhar
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