Gabarito Lista 2 de Micro II

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Microeconomia II - 2015/2
Lista 2
23 de setembro de 2015
Questa˜o 1
UF = CF + x− 1
2
x2
UD = CD +
1
4
ln(1− x)
m =
1
2
a)
1
b) Nesse caso, o custo de ouvir mu´sica e´ zero. Problema de Felipe:
Max
x,CF
CF + x− 1
2
x2 s.a. CF =
1
2
L = CF + x− 1
2
x2 + λ
(
1
2
− x− CF
)
C.P.O.:
(x) 1− x = 0
(CF ) 1− λ = 0
}
(x,CF ) =
(
1,
1
2
)
TMSF =
UMgcF
UMgx
= 1− x
TMSD =
UMgcD
UMgx
=
1
4(1− x)
Portanto, nesse caso, TMSF =∞ e TMSD = 0
c) Se Felipe na˜o pode ouvir mu´sica, x = 0 e TMSF = 1, TMSD =
1
4
.
d) A alocac¸a˜o o´tima de Pareto e´ tal que TMSF = TMSD. Logo,
1− x = 1
4(1− x)
4(1− x)2 = 1
4(1− 2x+ x2) = 1
3− 8x+ 4x2 = 0
As ra´ızes sa˜o 1
2
e 3
2
. Mas 3
2
esta´ fora da caixa, logo a alocac¸a˜o o´tima deve ser x∗ = 1
2
.
e) Sob essa nova configurac¸a˜o, o problema de Felipe e´:
Max
x,CF
CF + x− 1
2
x2 s.a. CF + px =
1
2
+ p
L = CF + x− 1
2
x2 + λ
(
1
2
+ p(1− x)− CF
)
2
C.P.O.:
(x) 1− x− λp = 0
(CF ) 1− λ = 0
}
x = 1− p
Ja´ o problema de Danilo e´
Max
x,CF
CD +
1
4
lns s.a. CD + ps =
1
2
L = CD +
1
4
lns+ λ
(
1
2
− ps− CD
)
C.P.O.:
(s) 1
4s
− λp = 0
(CD) 1− λ = 0
}
xs = 1− 1
4p
Em equil´ıbrio, s = 1− x, p = 1
2
e s = x = 1
2
. Ale´m disso,
CD =
1
2
− 1
2
1
2
=
1
4
CF =
1
2
+
1
2
1
2
=
3
4
Logo,
UD
(
1
4
,
1
2
)
= 0, 07
UF
(
3
4
,
1
2
)
=
9
8
Em (b) temos:
UD
(
1
2
, 0
)
= −∞
UF
(
1
2
, 1
)
= 1
Portanto, ambos os consumidores esta˜o melhor agora.
f) Sob essa nova configurac¸a˜o, o problema de Felipe e´:
Max
x,CF
CF + x− 1
2
x2 s.a. CF + px =
1
2
3
L = CF + x− 1
2
x2 + λ
(
1
2
− px− CF
)
C.P.O.:
(x) 1− x− λp = 0
(CF ) 1− λ = 0
}
x = 1− p
Ja´ o problema de Danilo e´
Max
x,CF
CD +
1
4
lns s.a. CD + ps =
1
2
+ p
L = CD +
1
4
lns+ λ
(
1
2
+ p(1− s)− CD
)
C.P.O.:
(s) 1
4s
− λp = 0
(CD) 1− λ = 0
}
s =
1
4p
Em equil´ıbrio, s = 1− x, p = 1
2
e s = x = 1
2
. Ale´m disso,
CD =
1
2
+
1
2
1
2
=
3
4
CF =
1
2
− 1
2
1
2
=
1
4
Novamente, a utilidade aumenta.
Questa˜o 2
ui(t, T, x) = 100t− t2 −
(
T
1000
)2
+ x
T =
1000∑
i=1
ti
mi = 500
a) Note que na˜o ha´ custo moneta´rio de dirigir. Logo, os consumidores gastam toda
sua renda com consumo de outros bens. Portanto, se px = 1 e mi = 500, x
∗
i = 500,
4
e o problema do consumidor e´
Max
t
100t− t2 −
(
T
1000
)2
+ 500
C.P.O.: 100− 2t = 0⇒ t∗ = 50
b) Nesse caso, a func¸a˜o a ser maximizada e´
Max
t=(t1,...,t1000)
1000∑
i=1
λiui(t, T (t)), (1)
em que λi e´ o peso do i-e´simo indiv´ıduo na func¸a˜o de bem-estar. Note que, como o
problema e´ sime´trico para todos os agentes, ti = tj = t, ∀t = (1, . . . , 1000), e (1) e´
equivalente a maximizar a utilidade de um u´nico indiv´ıduo, agora considerando T
endo´geno:
Max
t
1000∑
i=1
λiui(t) = Max
t
ui
1000∑
i=1
λi
= Max
t
ui
= Max
t
100t− t2 −
(
1
1000
1000∑
i=1
t
)2
+ 500
= Max
t
100t− t2 −
(
1000t
1000
)2
+ 500
= Max
t
100t− t2 − t2 + 500
= Max
t
100t− 2t2 + 500
C.P.O.: 100− 4t = 0⇒ t∗ = 25
c) Nesse caso, cada consumidor passaria a resolver o problema
Max
t,x
100t− t2 −
(
T
1000
)2
+ x s.a. x+ rt = 500
L = 100t− t2 −
(
T
1000
)2
+ x+ λ(500− x− rt)
5
C.P.O.:
(x) 1− λ = 0
(t) 100− 2t− rλ = 0
}
t∗ =
100− r
2
Logo,
T ∗ = 500(100− r)
d) A receita do peda´gio e´ rT . Logo, o problema e´
Max
r
r[500(100− r)]
C.P.O.: 500(100− 2r) = 0 ⇒ r∗ = 50
e) Sabemos que a quantidade socialmente o´tima de t e´ t∗ = 25, e que t∗ = 100−r
2
. Logo,
temos que
25 =
100− r∗
2
⇒ r∗ = 50
Questa˜o 3
u(x, g) = x+ α
√
g
m = 1000
CT (g) = g
100 agentes

10 com α = 5
30 com α = 3
60 com α = 1
a) A disposic¸a˜o marginal a pagar e´
DMP =
UMgg
UMgx
=
α
2
√
g
b) A provisa˜o socialmente o´tima e´ dada por
N∑
i=1
DMP = CMgg
6
CMgg =
d
dg
CT (g) = 1
N∑
i=1
DMP = 10
5
2
√
g
+ 30
3
2
√
g
+ 60
1
2
√
g
=
100√
g
100√
g∗
= 1 ⇒ g∗ = 10000
c) Com imposto, o problema individual passa a ser
Max
x,g
x+ α
√
g s.a. x+
g
100
= 1000
L = x+ α
√
g + λ
(
1000− x− g
100
)
C.P.O.:
(x) 1− λ = 0
(g) α 1
2
√
g
− λ
100
= 0
 g∗(α) = 2500α2
Portanto, g∗(5) = 62500, g∗(3) = 22500 e g∗(1) = 2500
d) Como os indiv´ıduos com α = 1 sa˜o maioria na populac¸a˜o, g∗(1) = 2500 venceria a
eleic¸a˜o. Mas esse valor e´ inferior a` provisa˜o socialmente o´tima encontrada em (b).
e) Se essa variac¸a˜o na populac¸a˜o ocorresse pelo desaparecimento de 36 indiv´ıduos com
α = 1, nenhum dos grupos teria maioria (50%+1), e a eleic¸a˜o seria definida pelo
eleitor mediano da economia. O eleitor mediano tem α = 3, logo o resultado seria
g∗ = 22500.
Questa˜o 4
a) UA=1000+50+10+60+20+50=1190
UB=100+10+20+20+5+10=165
UC=1500+50+30+60+20+30=1690
UD=2000+20+20+50+40+20=2150
UE=700+40+50+40+60+100=990
b) UA=1000+200+10+60+20+50=1340
UB=100+200+10+20+5+10=345
UC=1500+200+50+30+20+30=1830
UD=2000+200+20+20+50+20=2310
7
UE=700+200+40+50+40+60=1090
O bem-estar de todos os indiv´ıduos aumenta, logo ha´ uma melhora de Pareto.
c) O valor sera´ a disposic¸a˜o a pagar do comprador (menos um valor ε ta˜o pequeno
quanto se queira). O vendedor sera´ o indiv´ıduo com menor disposic¸a˜o a pagar no
dia, e esse sera´ o indivd´ıduo que na˜o dirigira´ no dia.
d) Ha´ uma melhora de Pareto com as transac¸o˜es, pois todos os indiv´ıduos ganham
com a troca. Um esquema alternativo que geraria o mesmo resultado seria dar o
direito de dirigir aos quatro motoristas que mais o valorizam a cada dia e ressarcir
o que menos valoriza.
Questa˜o 5
F (x) = 10Lx − 0, 5L2x
G(y) = 5Ly
a) Se os peixes pescados em cada um dos lagos e´ dividido por todos os pescadores,
cada pescador recebe 10 − 0, 5Lx por pescar no lago X e 5 por pescar no lago Y.
Um pescador decide ir pescar em X se 10−0, 5Lx ≥ 5, ou seja, se Lx ≤ 10. Quando
ja´ ha´ 10 pescador em X, os pro´ximos preferem ir para Y. Logo, sob esse regime,
L∗x = 10 e L
∗
y = 5.
b) Vejamos primeiro quando a quantidade ma´xima de peixes e´ obtida:
Max
Lx
10Lx − 0, 5L2x + 5(20− Lx)
C.P.O.: 10− Lx − 5 = 0 ⇒ L∗x = 5
Logo, a proposta tem embasamento, pois a quantidade o´tima de pescadores e´ menor
do que a atingida sem a imposic¸a˜o de um restric¸a˜o.
A quantidade ma´xima e´ 10.5− 0, 5.52 + 15.5 = 112, 5.
c) A condic¸a˜o para que um pescador prefira pescar no lago Y em vez de pagar a licenc¸a
e´
10− pl − 0, 5Lx ≤ 5
Sabemos que a quantidade de pescadores no lago X que maximiza a produc¸a˜o e´
L∗x = 5. Logo,
p∗l = 5− 0, 5.5 = 2, 5
8
Questa˜o 6
p1 = 125
c1(x) = x
5
3
c2(x) =
15
2
x1,25 + 5x
a) O problema da firma 1 e´
Max
x
125x− x 53
C.P.O.: 125− 5
3
x
2
3 = 0 ⇒ x1∗ = 75 32 ∼= 649, 5
b) O problema, nesse caso, passa a ser
Max
x
125x− x 53 − 15
2
x1,25 − 5x
C.P.O.: 125− 5
3
x
2
3 − 15
2
5
4
x
1
4 − 5 = 0 ⇒ x∗ ∼= 332, 4
c) Utilizando a condic¸a˜o de primeira ordem obtida em (a), o prec¸o que faz com que a
firma 1 produza a quantidade em (b) e´
P ∗ =
5
3
x∗
2
3 ⇒ P ∗ = 80
d) Uma soluc¸a˜o poss´ıvel e´ regular o mercado, impondo um limite ma´ximo para a
produc¸a˜o em x∗ ∼= 332, 4. Outra opc¸a˜o e´ impor um imposto pigouviano por unidade
produzida no valor t = P − P ∗ = 45. Por fim, pode-seestabelecer direitos de
produc¸a˜o de x transaciona´veis.
Questa˜o 7
Qa = 100− Pa
Qb = 200− Pb
a) Quando ha´ bens pu´blicos, a disposic¸a˜o total a pagar e´ a soma vertical das demandas
individuais:
Pa + Pb = 100−Qa + 200−Qb
9
Como Qa = Qb = Q, Pa + Pb = 300− 2Q. Logo, o problema a ser resolvido e´
Pa + Pb = CMg
300− 2Q = 120 ⇒ Q∗ = 90
b) Num mercado competitivo, P=CMg=120. Logo,
Qa = 100− 120 < 0 → Q∗a = 0
Qb = 200− 120 → Q∗b = Q = 80
A resposta depende do que cada pessoa imagina que a outra provera´: a quantidade
de provisa˜o do outro indiv´ıduo desloca a curva de demanda do consumidor para a
esquerda
Qa +Q
e
b = 100− P → P = 100−Qa −Qb
Qea +Qb = 200− P → P = 200−Qea −Qb
c) O custo total e´ dado por CT (Q) = 120Q. O custo total de produzir a quantidade
o´tima e´ CT (90) = 10800. O valor a ser pago por cada um dos agentes e´ obtido a
partir de suas demandas individuais:
Pa = 100−Q = 10 → Pa = 10
Pb = 200−Q = 110 → Pb = 110
Logo, o o´timo social e´ obtido com
(ta, tb) = (900, 9900)
Note que ta+ tb = CT (90). Note tambe´m que, com essas taxas, o excedente l´ıquido
dos dois consumidores e´ igual:
ECa =
(100− 10)90
2
= 4050
ECb =
(200− 110)90
2
= 4050
10
Questa˜o 8
C1(P ) =
P 2
2
C2(P ) =
5P 2
2
C3(P ) =
25P 2
2
a)
C1(P ) =
252
2
= 312, 5
C2(P ) =
5.252
2
= 1562, 5
C3(P ) =
25.252
2
= 7812, 5
CT = 9687, 5
b) O lucro que cada uma das firmas pode obter vendendo cotas e´ dado por:
pi1 = (P1 − 25)Pc − P
2
1
2
pi2 = (P2 − 25)Pc − 5P
2
2
2
pi3 = (P1 − 25)Pc − 25P
2
3
2
As condic¸o˜es de primeira ordem para cada uma das firmas enta˜o implicam que
P1 = Pc
P2 =
Pc
5
P3 =
Pc
25
A oferta total de cotas e´ 75. Logo,
P1 + P2 + P3 = 75
Pc +
Pc
5
+
Pc
25
= 75
31
25
Pc = 75 ⇒ P ∗c ∼= 60, 5
11
Com isso, (P1, P2, P3) = (60.5, 12.1, 2.4). Note, no entanto, que a empresa 1 na˜o
pode reduzir sua poluic¸a˜o em 60.5, uma vez que so´ polu´ıa 50 antes. Logo, P1 = 50
e
P2 + P3 =
Pc
5
+
Pc
25
= 25
Portanto Pc =
625
6
e
(P1, C1(P1)) = (50, 1250)
(P2, C2(P2)) =
(
125
6
, 1085
)
(P3, C3(P3)) =
(
25
6
, 217
)
CT ∼= 2552
c) O ganho das firmas com a reduc¸a˜o da poluic¸a˜o em func¸a˜o do imposto e´ dado por:
pi1 = P1t︸︷︷︸
valor que a firma deixa de gastar com impostos
−P
2
1
2
pi2 = P2t− 5P
2
2
2
pi3 = P1t− 25P
2
3
2
Logo, a resoluc¸a˜o e´ igual a` do exerc´ıcio (b) e t = 625
6
, o que gera uma receita total
de T = 625
6
∗ 75 ∼= 7818.
Questa˜o 9
CTA =
1
2
Q2A, QA = F
u(x, F ) = x− F
m = 100
PA = 10
a) A produc¸a˜o que maximiza o lucro da usina e´ obtida resolvendo o problema
Max
QA
PAQA − 1
2
Q2A
C.P.O.: PA −QA = 0 ⇒ QA = 10
12
Note que a condic¸a˜o de primeira ordem acima iguala o prec¸o ao custo marginal
privado. Para a quantidade socialmente o´tima, no entanto, o prec¸o deve ser igual
ao custo marginal social. Ora, cada unidade de fuligem gera um preju´ızo equivalente
ao consumo de uma unidade moneta´ria em bens para o cnosumidor. Logo, CMgS =
QA + 1, e, na quantidade socialmente o´tima,
PA = QA + 1 ⇒ Q∗A = 9
b) O imposto pigouviano busca internalizar as externalidades, de forma a alterar a
decisa˜o da firma, pois a al´ıquota t passa a fazer parte do custo:
CTA =
1
2
Q2A + tQA
Com isso, o problema da firma agora e´
Max
QA
PAQA − 1
2
Q2A − tQA
C.P.O.: PA − t−QA = 0 → QA = 10− t
Logo, a al´ıquota deve ser
t = 10−Q∗A = 10− 9 ⇒ t∗ = 1
c) Antes da introduc¸a˜o dessa tecnologia, t´ınhamos
pi = 100− 50 = 50
u = 100− 10 = 90
Portanto, o excedente total e´ ET = 140.
O problema da firma com a introduc¸a˜o da nova tecnologia e´
Max
QA
10QA − α
2
Q2A
C.P.O.: 10− αQA = 0 → QA = 10
α
Com isso,
pi =
50
α
13
u = 100
Portanto, o excedente total e´ ET = 100 + 50
α
100 +
50
α
≥ 140 ⇔ α = 5
4
Questa˜o 10
ui(xi, S) = xi + αilnS
α1 = 1, α2 = 2, α3 = 5
wi = 10
(px, pS) = (1, 2)
a) A provisa˜o o´tima e´ tal que a soma das TMS e´ igual ao prec¸o relativo:
α1
S
+
α2
S
+
α3
S
= 2
1 + 2 + 5 = 2S ⇒ S∗ = 4
b) Cada um dos indiv´ıduos resolve o seguinte problema:
Max
xi,si
xi + αiln
3∑
j=1
sj s.a. xi + 2si = 10
L xi + αiln
3∑
j=1
sj + λ[10− xi − 2si]
C.P.O.:
(xi) 1− λ = 0
(si)
αi
s1+s2+s3
− 2λ = 0
}
αi
2S
= 1 (soluc¸a˜o interior) ou
αi
2S
< 1 (soluc¸a˜o de canto: s∗i = 0)
Ora, S e´ igual para todos, mas αi e´ diferente para cada um dos indiv´ıduos. Com
isso, apenas um agente tera´ soluc¸a˜o interior: aquele com maior αi. Logo, a soluc¸a˜o
e´:
5
2s3
= 1 ⇒ s∗3 =
5
2
14
s∗2 = s
∗
1 = 0
c) Se a tributac¸a˜o sobre a dotac¸a˜o inicial e´ igual para todos e o imposto e´ lump-sum,
o problema de cada um dos indiv´ıduos e´
Max
xi,si
xi + αilnS s.a. xi = 10 + 2
S
3
C.P.O.:
(xi) 1− λ = 0
(S) αi
S
− 2
3
λ = 0
}
S∗ = αi
3
2
O eleitor mediano e´ 2. Logo, S = 3 .
ui(xi, S) = xi + αiln(si + S)
ps = 1
d)
e) O problema de cada um dos indiv´ıduos e´
Max
xi,si,Si
xi + αiln(si + Si) s.a. xi + si + 2Si = 10
C.P.O.:
(xi) 1− λ = 0
(si)
αi
si + S
− λ = 0
(Si)
αi
si + S
− 2λ = 0
Note que seguranc¸a pu´blica e seguranc¸a privada sa˜o substitutos perfeitos, mas ps <
pS. Logo, S
∗
i = 0 e s
∗
i = αi .
f) O problema de cada um dos indiv´ıduos e´
Max
xi,si,Si
xi + αiln(si + S) s.a. xi + si = 10− 2
3
S
15
C.P.O.:
(xi) 1− λ = 0
(si)
αi
si + S
− λ = 0
(Si)
αi
si + S
− 2
3
λ = 0
Novamente, seguranc¸a pu´blica e seguranc¸a privada sa˜o substitutos perfeitos, mas
agora ps > pS. Logo, S
∗
i = αi e s
∗
i = 0. Como 2 e´ o eleitor mediano, S = 3 .
Dada a quantidade de seguranc¸a pu´blica oferecida, podemos voltar ao problema do
indiv´ıduo, que agora passa a ser
Max
xi,si
xi + αiln(si + 3) s.a. xi + si = 8
C.P.O.:
(xi) 1− λ = 0
(si)
αi
si + 3
− λ = 0
Logo,
s∗i =
0, se αi ≤ 3αi − 3, se αi > 3
Com isso, (s1, s2, s3) = (0, 0, 2) .
Questa˜o 11
n = 1000
wi = 10
U(xi, bi, ci, c−i) = xi + 5(bi + ci)− (bi + ci)2 − (c−i)2
c−i =
∑
j 6=i
ci
999
1000∑
i=1
xi +
1000∑
i=1
2bi +
1000∑
i=1
ci = 10000
16
a) Usando a simetria e supondo que o planejador central da´ o mesmo peso para todos
os indiv´ıduos, seu problema e´
Max
x,b,c
x+ 5(b+ c)− (b+ c)2 − c2 s.a. x+ 2b+ c = 10
L = x+ 5(b+ c)− (b+ c)2 − c2 + λ[10− x− 2b− c]
C.P.O.:
(x) 1− λ = 0
(b) 5− 2(b+ c)− 2λ = 0
(c) 5− 2(b+ c)− 2c− λ = 0
2b+ 2c = 3
2b+ 4c = 4
2b+ c+ x = 10
 (x∗, b∗, c∗) =
(
15
2
, 1,
1
2
)
b) Equil´ıbrio competitivo:Soluc¸a˜o interior: TMSb,c = TMTb,c =
pb
pc
Soluc¸a˜o de canto: TMSb,c < TMTb,c =
pb
pc
→ b∗ = 0
Ora, TMTb,c = 2 e TMSbi,ci = 1. Logo, b
∗
i = 0.
TMSc,x = TMTc,x
5− 2(b+ c) = 1
5− 2c = 1
(c∗, x∗) = (2, 8)
c) Se pb = 0, 1 = TMSb,c <
pb
pc
= 0 e c∗ = 0. Logo, o problema dos indiv´ıduos passa a
ser
Max
x,b,c
x+ 5b− b2 s.a. x = 10
17
(x∗, b∗) =
(
10,
5
2
)
Essa na˜o e´ a alocac¸a˜o eficiente. A alocac¸a˜o eficiente foi definida em (a).
d) Refazendo o item (b), para haver soluc¸a˜o interior (e indiferenc¸a), e´ necessa´rio que
TMSb,c =
pb
pc+τ
. Como TMTb,c = 2 =
pb
pc
,
pb = 2pc
pb = pc + τ
}
τ ∗ = pc = 1
Existem infinitos equil´ıbrios nesse caso, pois tratam-se de substitutos perfeitos com
prec¸os (ao consumidor) iguais. Seja d = b+ c. O problema do consumidor e´
Max
xi,d
xi + 5d− d2 s.a. xi + 2d = 10
L = +xi + 5d− d2λ[10− xi − 2d]
C.P.O.:
(xi) λ1 − λ = 0
(d) 5− 2d− 2λ = 0
}
d∗ =
3
2
Qualquer combinac¸a˜ode b e c tal que b+ c = 3
2
e´ uma soluc¸a˜o para o consumidor.
Em particular, (b∗, c∗) =
(
1, 1
2
)
, o o´timo de Pareto, e´ um equil´ıbrio poss´ıvel.
Questa˜o 12
Ui(xi,m) = xi + ln(m)
wy1 = w
y
2 = 10
m = y
1
2
a)
Max
x1,x2,m,y
λ1[x1 + ln(m)] + λ2[x2 + ln(m)] s.a. x1 + x2 +m
2 = 20
L = λ1[x1 + ln(m)] + λ2[x2 + ln(m)] + λ[20− x1 − x2 −m2]
18
C.P.O.:
(x1) λ1 − λ = 0
(x2) λ2 − λ = 0
(m)
λ1
m
+
λ2
m
− λ2m = 0
λ1 = λ2 = λ2
m
= 2m ⇒ m∗ = 1
Como o problema e´ sime´trica, x1 = x2 = 9, 5.
b) O problema da firma e´
Max
m
pm−m2
C.P.O.: p− 2m = 0 ⇒ ms = p
2
O problema do indiv´ıduo 1 (e, por simetria, do indiv´ıduo 2) e´:
Max
x1,m1
x1 + ln(m1 +m2) s.a. x1 + pm1 = 10
L = x1 + ln(m1 +m2) + λ1[10− x1 − pm1]
C.P.O.:
(x1) 1− λ1 = 0 → λ1 = 1
(m1)
1
m1 +m2
− λ1p = 0 ⇒ m1 = 1
p
−m2
c) Como o problema e´ sime´trico, m1 = m2 =
1
2p
e md = 1
p
. Logo, em equil´ıbrio, 1
p
= p
2
e
(p,m) =
(√
2,
√
2
2
)
Note que a provisa˜o de m no equil´ıbrio descentralizado e´ subo´tima.
d) Sabemos, de (a), que m∗ = 1. O que muda com a introduc¸a˜o do subs´ıdio e´ o
19
problema da firma, que passa a ser
Max
m
(p+ s)m−m2
C.P.O.: p+ s− 2m = 0 ⇒ ms = p+ s
2
Sabemos de (c) que md = 1
p
. Para que md = m∗, temos que p∗ = 1. Logo, s∗ = 1.
Questa˜o 14
n = 200
y = 250− x
py = 1
Cy = 100
a) O problema a ser resolvido e´
Max
x
x(250− 100− x)
Max
x
150x− x2
C.P.O.: 150− 2x = 0 ⇒ x∗ = 75
b) Novos moradores ira˜o pescar no lago enquanto a receita que eles obtiverem com a
venda dos peixes for maior do que o custo de oportunidade. Logo, x sera´ determi-
nado por
250− x = 100 ⇒ x = 150
c) Nesse caso, cada pescador passara´ a ganhar 1 − t por unidade vendida. Logo, x
sera´ determinado por
(250− x)(1− t) = 100
A tarifa o´tima e´ aquela que faz com que apenas 75 pescadores pesquem no lago:
1− t∗ = 100
250− 75 ⇒ t
∗ =
3
7
20
d) Nesse caso, o custo de pescar passa a ser Cy = 100 + r. Logo, novos pescadores
entrara˜o no lago ate´ que
250− x = 100 + r
O valor o´timo da licenc¸a e´ aquele que faz com que apenas 75 pescadores pesquem
no lago:
r∗ = 150− x∗ ⇒ r∗ = 75
Questa˜o 15
p = 100
c(x) =
5
2
x2
z = x
E(z) = 10z2
a) O problema da firma e´
Max
x
100x− 5
2
x2
C.P.O.: 100− 5x = 0 ⇒ x = 20
b) O problema do planejador central e´
Max
x
100x− 5
2
x2 − 10x2
C.P.O.: 100− 5x− 20x = 0 ⇒ x∗ = 4
c) Com um imposto pigouviano, o problema da firma e´
Max
x
(100− t)x− 5
2
x2
C.P.O.: (100− t)− 5x = 0 ⇒ x = 20− t
5
A tarifa o´tima e´ aquela que faz com que x∗ = 4:
t∗ = 80
z = x− a
21
c(a) = 30a2
d) O problema do planejador central e´
Max
x,a
100x− 5
2
x2 − 10(x− a)2 − 30a2
C.P.O.:
(x) 100− 5x− 20(x− a) = 0
(a) 20(x− a)− 60a = 0 → x = 4a
}
x∗ = 5, a∗ =
5
4
e) O problema da firma e´
Max
x
100x− t(x− a)− 5
2
x2 − 30a2
C.P.O.:
(x) 100− t− 5x = 0 → x∗ = 100− t
5
(a) t− 60a = 0 → a = t
60
x∗ = 5↔ t = 75
f) E´ imposs´ıvel chegar ao resultado do item anterior com taxac¸a˜o apenas sobre o
produto, pois a firma na˜o obte´m nenhum benef´ıcio ao abater a poluic¸a˜o e portanto
sempre escolhera´ a = 0.
Questa˜o 16
w = 3m
UT (w, yt) = lnw + 3yT
UR(w, yR) = 4ln(1− w) + yR
eRm = e
T
m = 10
a) Se Tom pode contratar a firma, w sera´ determinado por TMST = TMT = pw.
Logo,
1
3w
=
1
3
⇒ w = 1
22
Uma alocac¸a˜o e´ Pareto-eficiente se TMSR = TMST , ou seja, se
1
3w
=
4
1− w.
Note que isso na˜o ocorre se w = 1.
b) O problema do planejador central e´
Max
w,yT ,yR
λR[4ln(1− w) + yR] + λT [lnw + 3yT ] s.a. yR + yT + w
3
= 20
L = λR[4ln(1− w) + yR] + λT [lnw + 3yT ] + λ
[
20− yR − yT − w
3
]
C.P.O.:
(yR) λR − λ = 0
(yT ) 3λT − λ = 0
(w) λR
( −4
1− w
)
+
λT
w
− λ
3
= 0
λ = λR = 3λT
1
w
= 1
3
+ 4
1−w
}
w2 − 14w + 1 = 0
O problema tem duas soluc¸o˜es reais, w1 ∼= 14 e w2 = 0, 075. Mas UR na˜o esta´
definida para w > 1. Logo,
w∗ = 0, 075
UT (1, 9) = 27
UT (0, 075, yT ) = ln0, 075 + 3yT = 27↔ yT ∼= 9, 9
c) As condic¸o˜es de equil´ıbrio sa˜o
pw = TMT ⇒ pw = 1
3
TMST = TMSR ⇒ w∗ = 0, 075
TMST = pw + τ ⇒ τ ∗ ∼= 4, 11
23