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Com excec¸a˜o da Questa˜o 2, em todas as questo˜es da prova os sis- temas de coordenadas considerados sa˜o da forma Σ = (O, E), onde E e´ uma base ortonormal positiva de V3. Q1. Sejam α, β, γ ∈ R e considere o sistema linear: x+ w = 0, αx+ 2y + z + 2w = β, x− 2y − z = γ, com inco´gnitas x, y, z e w. Assinale a alternativa contendo uma afirmac¸a˜o FALSA: (a) se α 6= 1 enta˜o o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o; (b) se α = 1 e β + γ = 0 enta˜o o sistema possui infinitas soluc¸o˜es; (c) se α = 2 e β + γ = 1 enta˜o o sistema possui infinitas soluc¸o˜es; (d) para quaisquer α, β, γ ∈ R, o sistema possui infinitas soluc¸o˜es ou na˜o possui soluc¸a˜o; (e) se α = 3 e γ = 2 enta˜o o sistema possui infinitas soluc¸o˜es. Q2. Considere o paralelep´ıpedo ABCDEFGH ilustrado na figura abaixo e o sistema de coordenadas Σ = (A, E), onde E = {−→AC,−→AG,−−→AH}. � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� A B FE D C GH Seja r a reta cuja equac¸a˜o no sistema de coordenadas Σ e´: r : x+ 2 = y − 4 −3 = z + 2 2 . Se pi e´ o plano que conte´m r e o ponto D, pode-se afirmar que uma equac¸a˜o para pi no sistema de coordenadas Σ e´: (a) 3x+ 9y + 12z − 6 = 0; (b) 3x− 7y − 12z + 2 = 0; (c) x+ y + z = 0; (d) x− y + 2z + 10 = 0; (e) 2x+ 2y − 2z + 2 = 0. Q3. Considere a reta: s : { x− y + 2z − 1 = 0, x+ y + z − 2 = 0. Assinale a alternativa contendo uma equac¸a˜o para a reta r que e´ paralela a s e conte´m o ponto (1, 0,−1): (a) r : X = (7,−2,−5) + λ(6,−2,−4), λ ∈ R; (b) r : X = (1, 0,−1) + λ(−3, 1,−1), λ ∈ R; (c) r : X = (4, 1,−3) + λ(−3,−1, 2), λ ∈ R; (d) r : X = (1, 0,−1) + λ(2, 1,−3), λ ∈ R; (e) r : X = (−5, 1, 3) + λ(−3, 1, 2), λ ∈ R. Q4. Considere os planos: pi1 : 3x− 2y + z + 5 = 0, pi2 : x+ 2y + z − 3 = 0, e a reta: r : X = (2, 0, 1) + λ(2, 1,−4), λ ∈ R. Pode-se afirmar que: (a) o plano pi1 e´ ortogonal ao plano pi2 e paralelo a` reta r; (b) o plano pi1 e´ paralelo ao plano pi2 e a` reta r; (c) o plano pi1 e´ ortogonal ao plano pi2 e a` reta r; (d) o plano pi1 e´ paralelo ao plano pi2 e ortogonal a` reta r; (e) o plano pi1 e´ ortogonal ao plano pi2, mas na˜o e´ ortogonal nem paralelo a` reta r. Q5. Considere o sistema linear: x+ y + 2z = 1, x+ y + 3z + v + 2w = 2, x+ y + 3z + v = 4, x+ y + z − v − w = −1. Assinale a alternativa correta: (a) existem A,B,C ∈ R5 tais que A 6= (0, 0, 0, 0, 0), B e C na˜o sa˜o propor- cionais e tais que {A + λB + µC : λ, µ ∈ R} e´ o conjunto soluc¸a˜o do sistema; (b) existem A,B ∈ R5 tais que {A + λB : λ ∈ R} e´ o conjunto soluc¸a˜o do sistema; (c) o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o; (d) o sistema na˜o possui soluc¸a˜o; (e) existem B,C ∈ R5 tais que {λB + µC : λ, µ ∈ R} e´ o conjunto soluc¸a˜o do sistema. Q6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) seja A uma matriz n×n. Se para quaisquer b1, . . . , bn ∈ R, o sistema linear: A x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bn possui uma u´nica soluc¸a˜o, enta˜o e´ poss´ıvel obter a matriz identidade fazendo operac¸o˜es elementares de escalonamento sobre as linhas da matriz A; (II) se P e Q sa˜o soluc¸o˜es de um sistema linear enta˜o P +Q necessaria- mente e´ soluc¸a˜o desse sistema; (III) se P e 2P sa˜o soluc¸o˜es de um sistema linear enta˜o λP necessaria- mente e´ soluc¸a˜o desse sistema, para todo λ ∈ R. Assinale a alternativa correta: (a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras; (b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras; (c) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras; (d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras; (e) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira. Q7. Assinale a alternativa contendo uma afirmac¸a˜o FALSA: (a) [~u,~v, ~w] = [~u, ~u+ 2~v − ~w, ~w], para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3; (b) [~u, λ~v, λ~w] = λ2[~u,~v, ~w], para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3 e qualquer λ ∈ R; (c) [~u+ ~v,~v + ~w, ~w + ~u] = 2[~u,~v, ~w], para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3; (d) se ~u, ~v sa˜o vetores na˜o nulos, r e´ uma reta paralela a ~u, s e´ uma reta paralela a ~v, A e´ um ponto de r e B e´ um ponto de s enta˜o r e s sa˜o coplanares se e somente se [~u,~v, −−→ AB] = 0; (e) se ~u,~v, ~w ∈ V 3 sa˜o dois a dois distintos e ~u∧~v+~v∧ ~w+ ~w∧~u = ~0 enta˜o o conjunto {~u,~v, ~w} e´ linearmente dependente. Q8. As faces laterais do prisma ABCDEF ilustrado na figura abaixo sa˜o quadrados de lado 6. � � � � � @ @ @ @ @ � � � � � @ @ @ @ @ A B F E C D Considere os vetores ~u = 13 −→ AC, ~v = 12 −−→ AB e ~w = −→ FA. Se {−−→ ED, −−→ EF, −−→ DA } e´ uma base positiva de V 3 enta˜o [~u,~v, ~w] e´ igual a: (a) −18√3; (b) −18; (c) 18 √ 3; (d) 18; (e) 18 √ 2. Q9. Considere um tetraedro ABCD cujo volume e´ igual a 24. Se o ponto M e´ tal que −−→ BM = 2 −−→ MD e se N e´ o ponto me´dio do segmento DC enta˜o o volume do tetraedro ABMN e´ igual a: (a) 8; (b) 6; (c) 4; (d) 2; (e) 16. Q10. Considere as retas: r : x− 1 = −y = z − 1, s : x = 2µ, y = −1 + µ, z = 1, µ ∈ R. A distaˆncia entre r e s e´ igual a: (a) 1√ 14 ; (b) 1√ 7 ; (c) 3√ 10 ; (d) 1√ 11 ; (e) 2√ 13 . Q11. Sejam m,n ∈ R. Considere o plano pi : x−my + nz = 0 e a reta: r : x = −m+ λ, y = −2 + λ, z = 1− λ, λ ∈ R. Se a distaˆncia entre pi e r e´ igual a 12 enta˜o m 2 + n2 e´ igual a: (a) 3; (b) 8; (c) 7; (d) 5; (e) 11. Q12. Considere os conjuntos de pontos r e s definidos pelas equac¸o˜es: r : { 2x− 3y + 5z = 1, −4x+ 6y − 10z = 2, s : 2x+ 3 −2 = y = 3z − 4 7 . Assinale a alternativa correta: (a) r na˜o e´ uma reta; (b) s na˜o e´ uma reta; (c) r e s sa˜o retas paralelas e distintas; (d) r e s sa˜o retas que se intersectam em um u´nico ponto; (e) r e s sa˜o retas reversas. Q13. A reta r passa pela origem do sistema de coordenadas e e´ paralela a` reta: s : { x+ y = 1, x− y + 2z = 1. A distaˆncia do ponto (1, 1, 0) a` reta r e´ igual a: (a) √ 2; (b) 1√ 2 ; (c) 12 ; (d) 23 ; (e) √ 3 6 . Q14. Considere a reta r : x− 1 = −y− 1 = 2z− 4 e o ponto A = (2,−1, 3). Se (a, b, c) e´ o ponto sime´trico ao ponto A em relac¸a˜o a r enta˜o a+ b+ c e´ igual a: (a) 23 ; (b) 13 ; (c) −53 ; (d) 73 ; (e) 2. Q15. Considere o vetor ~u = (1,−1, 2) e o plano pi : 2x + y − z = 7. Se o vetor ~v e´ ortogonal a pi, o vetor ~w e´ paralelo a pi, ~u = ~v + ~w e ~w = (a, b, c), enta˜o a+ b+ c e´ igual a: (a) 73 ; (b) 53 ; (c) −13 ; (d) 2; (e) −16 . Q16. Sejam a, b ∈ R e seja s uma reta que passa pelo ponto (−1, 0, 1) e e´ paralela ao vetor ~u = (2, a, b). Se s e´ concorrente com a reta: r : x− 1 2 = y + 1 3 = z − 3 e e´ paralela ao plano pi : x+ y + z = 0, pode-se afirmar que a+ b e´ igual a: (a) −2; (b) 8; (c) 2; (d) −8; (e) −1. Respostas todas A
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