Álgebra Linear I - Poli - Prec - 2013

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GABARITO PREC – 2013 
 
Questão Resposta 
1 A 
2 A 
3 A 
4 E 
5 C 
6 D 
7 D 
8 A 
9 E 
10 B 
11 A 
12 C 
13 D 
14 E 
15 C 
16 C 
 
MAT2457 - Álgebra Linear para Engenharia I
Prova de Recuperação - 24/07/2013
Nome: NUSP:
Professor: Turma:
INSTRUÇÕES
(1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas.
(2) Não é permitido deixar a sala sem entregar a prova.
(3) Todo material não necessário à prova (mochilas, bolsas, calculadoras, agasalhos, bonés, celulares, livros, etc.) deve ficar na frente da sala.
(4) Sobre a carteira devem permanecer apenas lápis, caneta, borracha e documento de identidade com foto.
(5) É permitida a entrada na sala até as 8:00 e não é permitida a saída da sala antes das 8:40.
(6) As respostas devem ser transferidas para a folha óptica durante as 2 horas de prova (não há tempo extra para o preenchimento da folha
óptica).
(7) Só destaque o gabarito do aluno (última folha) quando for entregar a prova. Não esqueça de anotar o tipo de prova no gabarito do aluno
(para que você possa depois conferir suas respostas com o gabarito oficial).
(8) A folha óptica deve ser preenchida com caneta esferográfica azul ou preta.
(9) Para o correto preenchimento da folha óptica siga o exemplo abaixo.
Notação: Se v1, . . . , vn são vetores de um espaço vetorial V, o subespaço
vetorial de V gerado por eles será denotado por [v1, . . . , vn].
O espaço vetorial de todas as funções f : R → R será denotado por
F (R) e o espaço vetorial formado por todos os polinômios de grau me-
nor ou igual a n (mais o polinômio nulo) será denotado por Pn(R).
Questão 1. Considere fixados uma orientação em V3 e um sistema de
coordenadas para E3 com base ortonormal e positiva. Sejam pi1, pi2 e pi3
os planos de E3 dados por
pi1 : x+ y− 3z+ 1 = 0
pi2 : X = (2, 1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 2,−1) (λ, µ ∈ R)
pi3 : 4x− y+ z = 0.
Se r = pi1 ∩ pi2, então a medida, em radianos, entre 0 e pi/2, do ângulo
entre r e a direção normal ao plano pi3 é igual a
a. arccos
( 19
30
)
b. arccos
( 1
30
)
c. arccos
( 1√
2
)
d. arccos
( 1
7
)
e. arccos
( 1√
57
)
2
Questão 2. A respeito dos subconjuntos
S = {p ∈ P2(R) : p(0) = 3p(1)} e
T = { f ∈ F (R) : f (x) = 0 para todo x 6=
√
2 ou x 6= pi}
do espaço vetorial F (R) é correto afirmar que
a. S é um subespaço de P2(R) de dimensão 2 e T é um subespaço de
F (R) de dimensão 2.
b. S é um subespaço de P2(R) de dimensão 2 e T não é um subespaço
de F (R).
c. S é um subespaço de P2(R) de dimensão 1 e T é subespaço de F (R)
de dimensão 2.
d. S não é um subespaço de P2(R) e T não é um subespaço de F (R).
e. S não é um subespaço de P2(R) e T é um subespaço de F (R) de
dimensão 2.
Questão 3. Considere as afirmações abaixo a respeito de vetores vi de
um espaço vetorial V de dimensão n.
(I) Se k < n e {v1, . . . , vk} é linearmente independente, então existe
uma base de V que contém {v1, . . . , vk}.
(II) Se [v1, . . . , vn] = V, então {v1, . . . , vn} é linearmente indepen-
dente e, portanto, uma base de V.
(III) Se [v1, . . . , vn+1] = V, então {v1, . . . , vn+1} é linearmente depen-
dente e existe uma base de V contida em {v1, . . . , vn+1}.
Está correto o que se afirma em
a. (I), (II) e (III).
b. (I) e (III), apenas.
c. (I), apenas.
d. (I) e (II), apenas.
e. (II) e (III), apenas.
3
Questão 4. O valor de k para que o espaço de soluções do sistema
2x+ 6y− 4z− 4w = 0
3x+ 6y− 12z+ 9w = 0
x+ 5y+ (5− k)z− 12w = 0
tenha dimensão 2 é
a. 2
b. 6
c. 5
d. 4
e. 3
Questão5. Considere o sistema de coordenadasΣ =
(
E, {−→EA,−→EH,−→EF}),
em que A, B,C,D, E, F,G,H são vértices de um cubo, conforme a figura
abaixo.
F
H G
E
A B
CD
Se M é o ponto da aresta BF tal que
−→
BM = 2
−→
MF e N é o ponto da aresta
HG tal que
−→
NG = 4
−−→
HN, então, com respeito ao sistema de coordena-
das Σ, uma equação vetorial para o plano que passa pelo ponto M e é
paralelo aos vetores
−−→
MN e
−→
AC é dada por
a. X =
( 1
3 , 0, 1
)
+ λ
(− 13 , 1, 15)+ µ (0, 1, 1) (λ, µ ∈ R)
b. X =
( 1
3 , 0, 1
)
+ λ
(− 12 , 1, 14)+ µ (0, 1, 1) (λ, µ ∈ R)
c. X =
( 1
3 , 0, 1
)
+ λ
(− 13 , 1,− 45)+ µ (0, 1, 1) (λ, µ ∈ R)
d. X =
( 1
3 , 0, 1
)
+ λ
( 1
2 , 1,− 34
)
+ µ
(
0, 12 ,
1
2
)
(λ, µ ∈ R)
e. X = (1, 0, 3) + λ
( 1
3 , 1,− 45
)
+ µ(0, 2, 2) (λ, µ ∈ R)
4
Questão 6. A soma dos elementos na diagonal principal da inversa da
matriz

1 0 1 1
1 0 −1 1
0 1 0 1
2 0 2 0
 é igual a
a. 1
b. 1/2
c. −1/2
d. −1
e. 0
Questão 7. Considere as afirmações abaixo acerca de três vetores dis-
tintos u, v,w em um espaço vetorial.
(I) O conjunto {u+ v, u− 3w, v+ 3w} é linearmente dependente.
(II) Se unão é combinação linear de v ew, então vnão é combinação
linear de u e w.
(III) Se w não é combinação linear de u e v, então {u, v,w} é linear-
mente independente.
Está correto o que se afirma em
a. (III), apenas.
b. (I), (II) e (III).
c. (I) e (III), apenas.
d. (I), apenas.
e. (I) e (II), apenas.
5
Questão 8. Sejam A, B,C,D pontos de E3 tais que ‖−→AB‖ = ‖−→AC‖ = 1 e
‖−→AD‖ = 3. Sabendo que o ângulo interno do triângulo ABC no vértice
A mede pi/3 radianos e que a reta AD é perpendicular ao plano ABC,
pode-se afirmar que o volume do tetraedro ABCD é igual a
a.
√
3
4
b.
√
2
3
c.
√
3
2
d. 12
e.
√
3
12
Questão 9. Sejam A ∈ Mm×n(R) e B ∈ Mm×1(R). Considere as seguin-
tes afirmações a respeito do sistema linear AX = B e do sistema linear
homogêneo AX = 0.
(I) Se AX = B não tem solução, então o conjunto das soluções de
AX = 0 é um subespaço deRn de dimensão maior ou igual a 1.
(II) Se a dimensão do subespaço de Rn formado pelas soluções de
AX = 0 é maior ou igual a 1, então AX = B tem infinitas solu-
ções.
(III) Se m > n, então o conjunto das soluções de AX = 0 é um subes-
paço deRn de dimensão maior ou igual a m− n.
Assinale a alternativa correta.
a. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
b. As três afirmações são verdadeiras.
c. Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
d. Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
e. As três afirmações são falsas.
6
Questão 10. Sejam E e F bases de V3 tais que
F =
{
(1, 0, 1)E, (0, 1, 2)E, (2, 2, 1)E
}
.
Se a ∈ R e ~v = (a,−2a, 2a)F, então a soma das coordenada de v com
respeito à base E é igual a
a. 10a
b. 6a
c. 0
d. 4a
e. 5a
Questão 11. Considere os seguintes subespaços vetoriais de M3(R):
S = {A ∈ M3(R) : A = At} e T = {A ∈ M3(R) : tr(A) = 0},
em que At denota a matriz transposta de A e tr(A) denota o traço de
A, isto é, a soma dos elementos na diagonal principal de A. Então, a
dimensão de S ∩ T é igual a
a. 5
b. 3
c. 7
d. 6
e. 4
7
Questão 12. Sejam A, B,C,D os vértices de um tetraedro regular de
aresta unitária, isso é, vértices de um tetraedo no qual todas as ares-
tas têm comprimento 1 e o ângulo entre duas arestas quaisquer mede
pi/3 radianos. Considere a base E = {~a,~b,~c} de V3 na qual ~a = −→DA,
~b =
−→
DB e~c =
−→
DC. Então, o produto escalar (2, 1, 0)E · (1, 1, 1)E é igual a
a. 0
b. 3
c. 6
d. 3/2
e. −1
Questão 13. Considere as afirmações abaixo acerca de bases de V3, fi-
xada uma orientação de V3.
(I) Se E =
{
~e1,~e2,~e3
}
e F =
{
~f1, ~f2, ~f3
}
são bases de V3 tais que
~f1, ~f2, ~f3 são combinações lineares de~e1,~e2,~e3 com todos os coe-
ficientes positivos, então E e F têm a mesma orientação.
(II) Se
{
~e1,~e2,~e3
}
é uma base ortonormal positiva, então{
~e1 +~e3, ~e2 + 2~e3, 2~e1 + 2~e2 +~e3
}
é uma base ortogonal positiva.
(III) Se
{
~e1,~e2,~e3
}
é uma base ortonormal positiva, então{
~e1 ∧~e2, ~e2 ∧~e3, ~e3 ∧~e1
}
é uma base positiva.
Está correto o que se afirma em
a. (I) e (III), apenas.
b. (I), apenas.c. (I) e (II), apenas.
d. (III), apenas.
e. (II), apenas
8
Questão14. Seja α ∈ R. Então, o polinômio p(t) = 6+ 3t+ 9t2 pertence
ao subespaço de P2(R) gerado pelos polinômios
p1(t) = (1− α)t2, p2(t) = 2− 3αt+ t2 e p3(t) = α(4t+ t2)
se, e somente se,
a. α 6= 0.
b. α = 0 ou α = 1.
c. α é um número real qualquer.
d. α 6= 1.
e. α 6= 0 e α 6= 1.
Questão 15. Seja E uma base de P2(R) e seja α ∈ R. Considere as se-
guintes afirmações a respeito dos vetores u = (α, 1, 1)E, v = (1, 0,−α)E
e w = (1, α, 1)E de P2(R).
(I) Se α 6= 1, então {u, v,w} é uma base de P2(R).
(II) O conjunto {u, v} é linearmente independente para todo α ∈ R.
(III) O conjunto {u,w} é linearmente independente para todo α ∈ R.
Está correto o que se afirma em
a. (I) e (III), apenas.
b. (I), (II) e (III).
c. (I) e (II), apenas.
d. (II), apenas.
e. (III), apenas.
9
Questão 16. Considere os seguintes vetores do espaço vetorial F (R):
f1(x) = ex, f2(x) = cos2 x, f3(x) = sen2 x, f4(x) = 1.
Então, a dimensão de [ f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)] é igual a
a. 2
b. 5
c. 3
d. 4
e. 1
10
Gabarito do Aluno
Nome: NUSP:
Tipo de prova:
a b c d e
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16