Lista 7 - Física I - Hickel - 2013

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Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI 
Instituto de Física & Química – IFQ 
 
2013 – Centenário da UNIFEI 
 
 
 
 
Lista de Exercícios VII 
Movimento Rotacional 
 
 
 
Física I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ano 2013 
 
 
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1) No dispositivo abaixo, um disco (M = 400g, R = 0,2 m) está preso a um eixo vertical 
cilíndrico (M = 100g, R = 2,5 cm, L = 25 cm), que passa pelo seu centro de massa e é 
perpendicular ao disco. Enrolado no cilindro está um fio inextensível, de massa e espessura 
desprezíveis. O fio sai perpendicular ao eixo e passa por uma roldana em forma de disco 
(M = 60g, R = 5 cm) e segura uma massa pendular de 300g. Calcule: 
a) A tensão ao longo do fio entre o eixo e a roldana e entre a roldana e a massa 
pendular; 
b) O torque aplicado ao sistema disco-eixo; 
c) A velocidade angular do disco após a massa pendular descer 1 m. 
 
 
2) Uma casca esférica (bola) está no alto de um plano de 20 m de extensão, inclinado em 
7oem relação ao horizonte. A bola tem 400g e R = 30 cm, descendo o plano sem deslizar. 
Calcule: 
a) a velocidade escalar da bola no final do plano; 
b) o tempo de descida. 
 
3) A viga abaixo está apoiada em “A” e “B” e sujeita a uma carga diferencial. Ela é 
homogênea e tem uma massa de 200 kg. Calcule as reações nos pontos de apoio. 
 
 
4) Um sistema girante é formado por uma barra horizontal (L = 1 m; M = 3 kg) e duas 
esferas iguais (R = 7 cm; M = 2 kg) que podem ser presas na barra em qualquer ponto. A 
barra horizontal, por sua vez, pode ser acoplada a um eixo vertical em qualquer ponto dela. 
Este eixo vertical aplica sempre a mesma potência de giro de 300 W. Calcule a velocidade 
angular do sistema para as configurações explicitadas abaixo: 
 
 3 
a) b) 
c) 
 
5) O braço segmentado abaixo tem 4 motores; com as respectivas movimentações indicadas 
na figura. Calcule os momentos de inércia para cada motor, supondo ângulos quaisquer e 
segmentos formados por barras. Os motores podem ser considerados como partículas de 
massa m. O motor 1 movimenta um disco de massa MD e raio RD e todo o braço, em torno 
de um eixo vertical. 
 
 
 
6) No esquema abaixo, a roldana maior irá aplicar um torque para puxar o bloco de massa 
igual a 5 kg e coeficientes de atrito com o plano inclinado, µE = 0,15 e µC = 0,09. As 
roldanas podem ser consideradas discos, sendo que a maior tem massa de 1 kg e raio de 20 
cm. A roldana intermediária tem massa de 500g e raio de 10 cm. A roldana menor tem 
massa de 300g e raio de 6 cm. O plano está inclinado de 10 graus. Calcule: 
 
 4 
a) o torque necessário para manter o sistema em repouso; 
b) o torque mínimo para fazer o bloco movimentar-se plano acima; 
c) o torque necessário para que o bloco suba o plano com velocidade constante; 
d) as velocidades angulares das roldanas se o bloco sobe o plano com v = 10 cm/s; 
e) as tensões nos 3 trechos da corda, no caso da situação explicitada na letra “d”. 
 
 
7) Seja um disco de massa 10 kg e raio de 1,5 m. Seu eixo de rotação (livre) deveria ser 
vertical e perpendicular ao disco, passando por seu centro de massa, mas devido a defeitos 
de construção, ele passa a 5 cm do centro e o plano do disco faz um ângulo de 87o com o 
eixo vertical. Se o eixo aplica 1 kW de potência de giro no eixo: 
a) equacione a velocidade angular de precessão do disco; 
b) equacione a velocidade angular do disco em função da potência aplicada e da perda de 
potência devido à precessão; 
c) resolva numericamente a equação expressa na letra “b” e encontre a velocidade angular 
do disco. 
d) determine a velocidade de precessão e a perda percentual de potência devido à 
precessão. 
 
8) Na estrutura abaixo, a densidade linear das vigas é de 50 kg/m. Calcule as reações no 
ponto de apoio “A” e a tensão no cabo de aço “C” (preso no meio da menor barra) para que 
a barra maior fique na horizontal. 
 
 
 
9) Uma hélice é formada por uma semi-calota esférica (no centro), de massa 2 kg e raio 10 
cm e 3 pás formadas pelas figuras geométricas abaixo, com densidade superficial de massa 
de 30 kg/m2 e simetricamente dispostas com distâncias de 120o. Calcule o momento de 
 
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inércia da hélice e a potência de giro necessária para que ela gire a 200 rpm. (dica: calcule o 
C.M. de cada pá e considere-as como partículas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Repostas: 
 
1)a) TER = 2,865 N; TRM = 2,873 N 
 b) ττττ = 7,16××××10-2 N⋅⋅⋅⋅m. c) ωωωω = 26,7 rad/s. 
 
2) a) v = 5,35 m/s. b) t = 7,47 s. 
 
3) RA = 1015 N; RBx = 716 N, RBy = 952 N. 
 
4) a) ωωωω = 15,6 rad/s. b) ωωωω = 16,6 rad/s. c) ωωωω = 13,8 rad/s. 
 
5) Para o motor 1 
( )[ ]
2
3
3
22113
2
2
2
112
1
2
2
1
1
2
22111
22
1
2
1
cos
2
coscoscos
2
cos
cos
4
coscoscos
2
1






⋅+⋅+⋅⋅+





⋅+⋅⋅
+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅=
θθθθθ
θθθθ
L
LLM
L
LM
L
MLLLmRMI DD
 
Para o motor 2 
( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )








−⋅−⋅⋅++⋅+−⋅⋅+++⋅
+








−⋅⋅++⋅+⋅+−⋅⋅++⋅=
313232
2
32
213232
2
32
2
2
13
2121
2
22
12
2
1
12121
2
2
2
12
coscos
3
2cos
3
cos
33
cos2
θθθθθθ
θθθθ
LL
L
LLLL
L
LLM
LL
L
LM
L
MLLLLmI
 
Para o motor 3 
( )








−⋅⋅++⋅+⋅+⋅= 3232
2
32
23
2
2
2
2
23 cos33
θθLL
L
LM
L
MLmI 
 
Para o motor 4 
3
2
3
34
L
MI ⋅= 
 
6) a) ττττ = 1,27 N⋅m b) ττττ = 15,74 N⋅m 
 c) ττττ = 12,84 N⋅m d) ω1 = 0,5 rad/s; ω2 = 1,0 rad/s; ω3 = 1,7 rad/s 
 e) TA = 64,20 N; TB = 32,10 N; TC = 12,85 N 
 
7) a) ωωωωp = 8,3/ωωωω ; b) 05,11148,57133 =−+ ωω ; 
 c) ωωωω = 10,366 rad/s ; d) ωωωωp = 0,8 rad/s e Potp = 0,46 W (0,05 %) 
 
8) RAx = 1479,8 N; RAy = 4297 N; TC = 2959,5 N 
 
9) I = 0,108 kg⋅⋅⋅⋅m2 ; Pot = 79 W.