7ª AULA Matriz transposta

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7ª AULA
Matriz Transposta
Definição: Dada uma matriz 
,Chamamos de transposta de 
 e indicamos por 
, a matriz 
 tal que 
 para todo 
 e todo 
.
OBS.: O que é linha na matriz 
, passa a ser coluna na matriz 
.
EXEMPLOS:
a)
 b)
c)
PROPRIEDADES:
1)A transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, isto é, 
.
Demonstração:
Seja 
, portanto, 
.
2)A transposta da soma de matrizes é igual a soma das transpostas das matrizes, isto é, 
.
Demonstração:
Sejam as matrizes 
 , 
 e 
:
Fazendo: 
e 
 , temos:
, portanto, 
.
3)A transposta do produto de um real por uma matriz, é igual ao produto do real pela transposta da matriz, isto é, 
.
Demonstração:
Seja 
, fazendo: 
 temos que 
, 
 , portanto, 
.
4)A transposta do produto de matrizes, é igual ao produto das transposta em ordem inversa, isto é, 
.
Demonstração:
Seja 
, fazendo:
 
Temos: 
,portanto
.
MATRIZ SIMÉTRICA
Definição:Dizemos que uma matriz quadrada 
 de ordem n, isto é, 
 é simétrica quando 
.
OBS.:Para ser simétrica, a matriz deverá ter todos os elementos simetricamente dispostos em relação da diagonal principal iguais.
EXEMPLO: 
 
MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
Definição:Dizemos que uma matriz quadrada 
 de ordem n, isto é, 
 é anti-simétrica quando 
.
OBS.:Para ser anti-simétrica, a matriz deverá ter todos os elementos simetricamente dispostos em relação da diagonal principal opostos e obrigatoriamente nulo todos os elementos da diagonal principal.
EXEMPLO: 
EXERCÍCIOS
1)As matrizes 
 são quadradas e de mesma ordem n.Demonstre que:
 
2)Seja a matriz 
 de ordem 
 e a matriz simétrica 
 quadrada de ordem n. Demonstre que a matriz 
 é simétrica.
3)As matrizes 
 são simétricas. Mostre que:
 a)
 é simétrica.
 b)
 é simétrica.
 c)Se 
 comutam, então 
 é simétrica.
4)Se 
 são matrizes quadradas de ordem n, mostre que: 
.
5)
 são matrizes quadradas de ordem n, se a matriz 
 é anti-simétrica, demonstre que: 
6)Sejam as matrizes 
.
 Se 
, determine 
.
7)Seja a matriz 
. Determine a matriz 
, sabendo que:
 
8)Se 
 é uma matriz quadrada, verifique:
 a)
a matriz 
 é simétrica.
 b) a matriz 
 é anti-simétrica.
 
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