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2003 – DOREA - 1º Testão Matemática 10 – Geometria Espacial O Professor Albino falou que só vai cobrar verdadeiro ou falso ou seja problemas relacionados com demonstração não são necessários serem feitos. Conceitos primitivos e postulados Reta – Conjunto de infinitos pontos; Plano – Conjunto de infinitos pontos; Dois pontos distintos determinam uma única reta; Se uma reta tem dois planos distintos no plano então ela está contida no plano Determinação de plano Três pontos não colineares. Por uma reta e um ponto fora dela. Por duas retas concorrentes Por duas retas paralelas Posições das retas Paralelas – Nenhum ponto em comum; Concorrentes – Um único ponto em comum; Reversas – Não existe plano que as contenha. SE DUAS RETAS SÃO COINCIDENTES (IGUAIS) ELAS SÃO PARALELAS, essa definição é a do livro. Interseção de planos Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm pelos menos outro ponto em comum, logo sua interseção é uma reta. E esses planos são chamados de concorrentes. Paralelismo Paralelismo de retas Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. Paralelismo entre retas e planos Uma condição necessária e suficiente para que uma reta, não contida num plano, seja paralela a esse plano é ser paralela a uma reta contida nesse plano. Posições relativas entre reta e plano Dois pontos distintos ou mais – A reta está contida no plano; Um único ponto – A reta é secante ao plano; Nenhum ponto – A reta e o plano são paralelos. Duas retas reversas (duas retas reversas e um ponto P) O ponto pertence a uma das retas; O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra reta; O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não paralelo à outra. Posições relativas de dois planos Coincidentes Paralelos Secantes Três retas reversas duas a duas Não existe plano paralelo às três retas. O exemplo que o professor deu em sala foi de uma interseção da parede do quadro e da parede da janela, a outra seria uma reta embaixo do escaninho e a última seria a interseção da parede com o teto. Existe plano paralelo às três retas. Uma reta no chão, a outra no meio da sala e a outra no teto. Ângulos de duas retas – Retas ortogonais Uma reta r divide o plano em dois semiplanos. Ângulos entre duas retas reversas é só fazer a projeção de uma das duas retas em um plano. Se dois ângulos possuem lados respectivamente paralelos, então eles são congruentes ou suplementares. Retas ortogonais Duas retas são ortogonais se, e somente se formam ângulos retos e são reversas. Se duas retas formam ângulo reto, então elas são ortogonais ou perpendiculares. Perpendicularidade Reta e plano perpendinculares Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, eles têm um ponto em comum e a reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto comum. Uma reta e um plano são chamados oblíquos se são concorrentes e não são perpendiculares. Para ser perpendicular a um plano a reta tem que formar ângulo reto com duas retas concorrentes do plano. Por um ponto P pode-se conduzir um único plano/ reta perpendicular a uma reta/plano. Planos perpendiculares Para que dois planos secantes sejam perpendiculares é necessário que todas reta de um deles, perpendicular a interseção, seja perpendicular ao outro. Por uma reta não perpendicular a um plano, existe um único plano perpendicular a esse plano. Exercícios que devem ser feitos: p. 8 ex.:12 p.11 ex.:18,19 p.13 ex.:20 p.25 ex.:47,48 p.30 ex.:64,65 p.34 ex.:66 p. 42 ex.:77 p.51 ex.:91 QUANDO ACHAREM FALSO EM ALGUMA AFIRMATIVA, TENTEM PROVAREM O PORQUE DE SER FALSO, PARA FICAR MAIS FÁCIL O APRENDIZADO. Exercícios que podem ser feitos: Testes de vestibulares: 1, 3, 4, 6, 8, 14.