Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO III DERIVADA DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ÍMPLICITA Teorema 1. Dadas as funções F = F(x,y) e y = f (x) definidas e diferenciáveis, respectivamente, em D R2 e a x b. Seja f a função definida implicitamente por F(x,y) = 0, isto é, F(x,f (x)) = 0 para a x b. Então, , a x b Onde as derivadas do segundo membro devem ser calculadas nos pontos (x,f (x)) e supõe-se que . Teorema 2. Dadas as funções F = F(x,y,z) e z = f (x,y) definidas e diferenciáveis, respectivamente, em D R3 e S R2, seja f a função de (x,y) definida implicitamente por F(x,y,z) = 0, isto é, F(x,y,f (x,y)) = 0 em S. Então, e para todo (x,y) S. As derivadas do segundo membro são calculadas nos pontos (x,y,f (x,y)) e supõe-se que . 1. Dado que x = rcos e y = rsen, calcule e . Resp.: e . 2. Dê a equação do plano tangente à superfície z = f (x,y) definida implicitamente por F(x,y,z) = z3 + (x2 + y2)z + 1 = 0 que passa pelo ponto P = (1,1,1). Resp.: x + y +z – 3 = 0 3. Suponha que a função y = f (x) definida implicitamente por F(x,y) = seja contínua em [-a,a]. Determine os extremos de f (x). (sugestão: resolva ). Resp.: Em x = 0 temos os extremos y = b. 4. Determine os pontos críticos de z = f (x,y) definida implicitamente por F(x,y,z) = 6x – 4y – x2 – 2y2 – z2 = 0. Resp.: x = 3 e y = -1. 5. São dadas as equações F(x,y,u,v) = x + y3 + u3 + v3 = 0 e G(x,y,u,v) = x3 – y – u4 – v4 = 0 tal que elas definem u e v como funções implícitas de x e y. Calcule . Resp.: A transformação definida implicitamente no caso em discussão por u = u(x,y), v = (x,y) é uma transformação do plano no plano e corresponde a uma mudança de sistemas de coordenadas no plano: passagem das coordenadas x e y para u e v desde que esta transformação seja bijetora. Saber calcular as derivadas parciais de u e v numa tal transformação, desempenha papel importante no cálculo de integrais duplas e triplas, quando são necessários mudanças de variáveis nestas integrais.
Compartilhar