Exercícios Derivadas Parciais - 2

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO III 
Regra da Cadeia, diferencial, derivada direcional e planos tangentes. 
 
 
1 . Um recipiente fechado na forma de um sólido retangular deve ter um, comprimento interno de 8 m, 
uma largura interna de 5 m, uma altura de 4 m e uma espessura de 4 cm. Use diferenciais para 
aproximar quantidade de material necessário para construir o recipiente. 
7,36m3. 
2. A gravidade especifica s de um objeto é dada pela fórmula 
 
A 
S = 
A  W 
 
Onde A é o número de quilogramas no peso do objeto ar e W é o numero de quilogramas no peso do 
objeto na água. Se o peso de um objeto no ar é de 20 quilogramas com um erro possível de 0,01 
quilogramas e seu peso na água é de 12 quilogramas, com um erro 0,02 quilogramas, ache, 
aproximadamente, o erro máximo possível no calculo de s a partir dessas medidas. Ache também o erro 
máximo relativo possível. 
 
13 
1.600 
 
; 0,325%. 
 
3. Uma companhia foi contratada para fabricar 10.000 caixotes de madeira, fechados, tendo dimensões 
de 3 m, 4 m, 5 m. O custo da madeira a SRE usada é $3 por metro quadrado. Se a máquina usada para 
cortar os pedaços de madeira tiver um erro possível de 0,05 cm em cada dimensão, ache, 
aproximadamente, usando a diferencial total, o erro máximo possível no custo estimado da madeira. 
$7.200. 
4. Um dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10 cm e ele está crescendo 
a uma taxa de 1 cm/min e o comprimento do outro cateto é 12 cm o qual está crescendo a uma taxa de 
2 cm/min. Ache a taxa de variação da medida do ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm de 
comprimento, num dado instante. 
8 
Decrescente a taxa de rad/min. 
61 
5. A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 cm/min e o raio crescendo a 
uma taxa de 4 cm/min. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 50 cm e o raio 
é 16 cm. 
Crescente a taxa de 3.840π cm3 /min. 
6. Uma quantidade de gás obedece à lei dos gases ideais com k = 1,2, e o gás encontra-se em um 
recipiente que está sendo aquecido a uma taxa de 3° por segundo. Se um dado instante quando a 
temperatura é 300°, a pressão é 6 N/m2 e descreve a uma taxa de 0,1 N/m2 por segundo, ache a taxa de 
variação do volume naquele instante. 
Crescente a taxa de 1,6L/min. 
8. A temperatura é T(x ,y) graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no ponto xy e T(x ,y) 
= 3x2 + 2xy. A distância é medida em metros. (a) Ache a taxa de variação máxima de temperatura no 
ponto (3, -6) da placa. (b) Ache a direção e sentido em que a taxa de variação e máxima em (3, -6). 
 
(a) 6 2º / m ; (b) direção do vetor 
1 
i + 
1 
j. 
2 2 
9. O potencial elétrico é V(x, y) volts em qualquer ponto da placa xy e V(x, y) = e-2x cos 2y. A distância é 
1 
medida em metros. (a) Ache a taxa de variação do potencial no ponto (0, 
4 
π), na direção do vetor 
1 
unitário cos 
6 
1 
1 
πi + sen 
6 
 
πj. (b) Ache a direção e sentido e o valor da taxa de variação máxima de V em 
(0, 
4 
π). 
(a) -1; (b) direção do vetor – j e magnitude 2. 
 
 
 
Nos exercícios de 10 a 14, descreva a equação do plano tangente ao ponto dado e a reta normal. 
10. x 2+ y 2+ z2 = 17; (2; -2, 3) 
 
2x – 2y + 3z = 17; 
x  2 
= 
2 
y  2 
= 
 2 
z  3 
3 
 
11. x2 + y 2- 3z = 2; (-2, -4, 6) 
2  2 
4x + 8y + 3z + 22= 0; = 
4 
 
 
y  4 
= 
8 
 
 
z  6 
3 
 
12. y = ex cos z; (1, e, 0) 
 
ex – y = 0; 
x  1 
= 
 e 
y  e 
1 
 
,z = 0 
 
13. x2 = 12y; (6, 3, 3) 
x  6 
x – y – 3 = 0; = 
1 
 
 
y  3 
 1 
 
 
 
, z =3 
 
 
14. A lei do gás ideal afirma que para uma dada quantidade de gás, a pressão p, o volume V e a temperatura 
T são ligados pela equação pV =nRT onde n é o número de mols de gás e R é uma constante. Mostre que 
 
 
15. A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 cm/min e o raio crescendo a uma 
taxa de 4 cm/min. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 50 cm e o raio é 16 
cm. 
 
16. O potencial elétrico é volts em qualquer ponto da placa xy e . A distância é 
medida em metros. Ache a taxa de variação do potencial no ponto (0,π/4), na direção do vetor 
. Ache a direção e sentido e o valor da taxa de variação máxima de V em (0,π/4). 
 
17. As superfícies e interceptam-se numa curva, ache a equação 
paramétrica da reta tangente à curva de interseção no ponto (2,-2,0). 
 
18. Determine os extremos relativos e os pontos de sela, se existirem, da função .