TEOREMA DE TALLES

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MA092 – Geometria plana e anal´ıtica
Aˆngulos na circunfereˆncia – Teorema de Tales
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2017
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA092 – Geometria plana e anal´ıtica Agosto de 2017 1 / 24
Roteiro da aula
1 Aˆngulos na circunfereˆncia
2 Teorema de Tales
3 Exerc´ıcios
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Aˆngulo central
Definic¸a˜o
Um aˆngulo central AOˆB em uma circunfereˆncia e´ um aˆngulo que
tem ve´rtice no centro O da circunfereˆncia.
AB
_
e´ o arco correspondente ao aˆngulo central AOˆB.
A medida do aˆngulo (α no desenho) pode aparecer ao lado do arco.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Congrueˆncia de arcos
Definic¸a˜o
1 Duas circunfereˆncias sa˜o congruentes se teˆm raios iguais.
2 Dois arcos AB
_
e CD
_
de uma circunfereˆncia sa˜o congruentes se e
somente se os aˆngulos AOˆB e COˆD sa˜o congruentes.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Aˆngulo inscrito
Definic¸a˜o
Um aˆngulo inscrito ACˆB em uma circunfereˆncia e´ um aˆngulo que
tem ve´rtice em um ponto C da circunfereˆncia.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Aˆngulo inscrito
Teorema
A medida de um aˆngulo inscrito e´ a metade da medida do aˆngulo
central correspondente. No exemplo, α = β/2.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Aˆngulo inscrito em uma semicircunfereˆncia
Teorema
O aˆngulo inscrito em uma semicircunfereˆncia e´ reto.
Na figura, Cˆ e´ reto e ABC e´ um triaˆngulo retaˆngulo.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Aˆngulo exceˆntrico interior
Definic¸a˜o
Um aˆngulo exceˆntrico interior ACˆB em uma circunfereˆncia e´ um
aˆngulo formado por duas cordas que se cruzam em um ponto interior
da circunfereˆncia, diferente do centro.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Aˆngulo exceˆntrico interior
Teorema
A medida de um aˆngulo exceˆntrico interior e´ a me´dia das medidas dos
aˆngulos centrais a ele associados.
No exemplo, x = (α+ β)/2.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Aˆngulo exceˆntrico exterior
Definic¸a˜o
Um aˆngulo exceˆntrico exterior ACˆB em uma circunfereˆncia e´ um
aˆngulo formado por semirretas que partem de um ve´rtice exterior e que
sa˜o secantes ou tangentes a` circunfereˆncia.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Aˆngulo exceˆntrico exterior
Teorema
A medida de um aˆngulo exceˆntrico exterior e´ a metade da diferenc¸a
das medidas dos aˆngulos centrais a ele associados.
No exemplo, x = (α− β)/2.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Quadrila´tero inscrito
Definic¸a˜o
Um quadrila´tero e´ inscrito em uma circunfereˆncia se todos os seus
ve´rtices esta˜o sobre a circunfereˆncia.
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Aˆngulos na circunfereˆncia
Quadrila´tero inscrito
Teorema
Em um quadrila´tero inscrito em uma circunfereˆncia, os aˆngulos opostos
sa˜o suplementares.
Aˆ+ Cˆ = Bˆ + Dˆ = 180◦
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Teorema de Tales
Teorema de Tales
AB
BC
=
A′B′
B′C ′
AB
CD
=
A′B′
C ′D′
AC
BD
=
A′C ′
B′D′
AD
BC
=
A′D′
B′C ′
Teorema
Dado um feixe de retas paralelas e duas retas transversais r e s, a
raza˜o entre dois segmentos quaisquer de r e´ igual a` raza˜o entre os
segmentos correspondentes de s.
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Teorema de Tales
Exemplo
Lados de terrenos trapezoidais
Treˆs terrenos trapezoidais esta˜o compreendidos entre duas ruas, como
mostra a figura. determinar x, y e z.
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Teorema de Tales
Resoluc¸a˜o
15 + 20 + 10 = 45
x
50
=
15
45
⇒ x = 50 · 15
45
=
50
3
≈ 16, 67 m
y
x
=
20
15
⇒ y = 50
3
· 20
15
=
200
9
≈ 22, 22 m
z
50
=
10
45
⇒ z = 50 · 10
45
=
100
9
≈ 11, 11 m
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Problema
Determine o valor de x.
x = 30◦
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2
Problema
Determine o valor de x.
x = 58◦
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3
Problema
Determine o valor de x.
x = 60◦
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 4
Problema
Determine o valor de α.
x = 62◦
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 5
Problema
Determine o valor de x.
x = 100◦
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6
Problema
Dada a figura abaixo, determine a medida do aˆngulo α em relac¸a˜o a`
medida do aˆngulo central β.
α = β/2
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 7
Problema
Determine o valor de x, sabendo que as retas r, s e t sa˜o paralelas.
x=18/5
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 8
Problema
Determine x na figura abaixo, sabendo que BC e DE sa˜o paralelas.
x = 6
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