Equação do plano tangente slide

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Ca´lculo II
Elaine Machtyngier
17 de marc¸o de 2016
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas
derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sa˜o em geral
denotadas por:
(fx)x = fxx = f11 =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
(fy )x = fyx = f21 =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
(fy )y = fyy = f22 =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
=
∂2z
∂y2
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas
derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sa˜o em geral
denotadas por:
(fx)x = fxx = f11 =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
(fy )x = fyx = f21 =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
(fy )y = fyy = f22 =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
=
∂2z
∂y2
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas
derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sa˜o em geral
denotadas por:
(fx)x = fxx = f11 =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
(fy )x = fyx = f21 =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
(fy )y = fyy = f22 =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
=
∂2z
∂y2
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas
derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sa˜o em geral
denotadas por:
(fx)x = fxx = f11 =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
(fy )x = fyx = f21 =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
(fy )y = fyy = f22 =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
=
∂2z
∂y2
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
A notac¸a˜o fxy significa que primeiro derivamos com relac¸a˜o a x e
depois em relac¸a˜o a y , ao passo que no ca´lculo de fyx a ordem e´
invertida.
Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de
f (x , y) = x3 + x2y3 − 2y2.
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Derivadas Parciais de Segunda Ordem
A notac¸a˜o fxy significa que primeiro derivamos com relac¸a˜o a x e
depois em relac¸a˜o a y , ao passo que no ca´lculo de fyx a ordem e´
invertida.
Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de
f (x , y) = x3 + x2y3 − 2y2.
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Derivadas Parciais de Ordem Superior
Teorema das Derivadas Mistas: Se f (x , y) e suas derivadas parciais
fx , fy , fxy e fyx forem definidas em uma regia˜o aberta contendo um
ponto (a, b) e todas forem cont´ınuas em (a, b), enta˜o:
fxy (a, b) = fyx(a, b).
Derivadas de ordem superior: Na˜o ha´ um limite teo´rico para o
nu´mero de vezes que podemos diferenciar uma func¸a˜o desde que
as derivadas parciais existam. Podemos denota´-las, por exemplo,
como:
∂3f
∂x∂y2
= fxyy ,
∂4f
∂x2∂y2
= fxxyy , ...
Exemplo: Calcule fxxyz se f (x , y , z) = sen(3x + yz).
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Derivadas Parciais de Ordem Superior
Teorema das Derivadas Mistas: Se f (x , y) e suas derivadas parciais
fx , fy , fxy e fyx forem definidas em uma regia˜o aberta contendo um
ponto (a, b) e todas forem cont´ınuas em (a, b), enta˜o:
fxy (a, b) = fyx(a, b).
Derivadas de ordem superior: Na˜o ha´ um limite teo´rico para o
nu´mero de vezes que podemos diferenciar uma func¸a˜o desde que
as derivadas parciais existam. Podemos denota´-las, por exemplo,
como:
∂3f
∂x∂y2
= fxyy ,
∂4f
∂x2∂y2
= fxxyy , ...
Exemplo: Calcule fxxyz se f (x , y , z) = sen(3x + yz).
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Derivadas Parciais de Ordem Superior
Teorema das Derivadas Mistas: Se f (x , y) e suas derivadas parciais
fx , fy , fxy e fyx forem definidas em uma regia˜o aberta contendo um
ponto (a, b) e todas forem cont´ınuas em (a, b), enta˜o:
fxy (a, b) = fyx(a, b).
Derivadas de ordem superior: Na˜o ha´ um limite teo´rico para o
nu´mero de vezes que podemos diferenciar uma func¸a˜o desde que
as derivadas parciais existam. Podemos denota´-las, por exemplo,
como:
∂3f
∂x∂y2
= fxyy ,
∂4f
∂x2∂y2
= fxxyy , ...
Exemplo: Calcule fxxyz se f (x , y , z) = sen(3x + yz).
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Equac¸o˜es do Plano Tangente
~V =
(
0, 1,
∂f
∂y
(x0, y0)
)
e´ // a`
reta (1).
~U =
(
1, 0,
∂f
∂x
(x0, y0)
)
e´ // a`
reta (2).
Logo ~N = ~U × ~V indica a
direc¸a˜o ⊥ ao plano tangente
que passa por P0 = (x0, y0, z0)
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Equac¸o˜es do Plano Tangente
z − z0 = ∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0)
A equac¸a˜o da reta normal e´ dada parametricamente por
P = P0 + tN
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Equac¸o˜es do Plano Tangente
z − z0 = ∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0)
A equac¸a˜o da reta normal e´ dada parametricamente por
P = P0 + tN
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Exemplo
Determine o plano tangente ao parabolo´ide el´ıptico
z = 2x2 + y 2 no ponto (1,1,3).
Resposta: z = 4x + 2y − 3
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Exemplo
Determine o plano tangente ao parabolo´ide el´ıptico
z = 2x2 + y 2 no ponto (1,1,3).
Resposta: z = 4x + 2y − 3
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Exemplo
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = 4x + 2y − 3
e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3)
f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3
f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3
f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11
so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3)
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Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = 4x + 2y − 3
e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3)
f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3
f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3
f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11
so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3)
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Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = 4x + 2y − 3
e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3)
f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3
f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3
f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11
so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3)
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Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = 4x + 2y − 3
e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3)
f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3
f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3
f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11
so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3)
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Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = 4x + 2y − 3
e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3)
f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3
f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3
f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11
so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3)
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Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = 4x + 2y − 3
e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3)
f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3
f(1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3
f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11
so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3)
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Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
e´ denominada linearizac¸a˜o de f em (a, b) e
f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
e´ denominada aproximac¸a˜o linear de f em (a, b).
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Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
e´ denominada linearizac¸a˜o de f em (a, b) e
f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
e´ denominada aproximac¸a˜o linear de f em (a, b).
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Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
e´ denominada linearizac¸a˜o de f em (a, b) e
f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
e´ denominada aproximac¸a˜o linear de f em (a, b).
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aproximac¸a˜o Linear
L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
e´ denominada linearizac¸a˜o de f em (a, b) e
f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
e´ denominada aproximac¸a˜o linear de f em (a, b).
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Exemplo
f (x , y) =

xy
x2 + y2
, (x , y) 6= (0, 0)
0 , (x , y) = (0, 0)
aproximac¸a˜o linear: f (x , y) ≈ 0 pore´m
f (x , y) =
1
2
∀(x , y) na reta y = x , (x , y) 6= (0, 0)
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Exemplo
f (x , y) =

xy
x2 + y2
, (x , y) 6= (0, 0)
0 , (x , y) = (0, 0)
aproximac¸a˜o linear: f (x , y) ≈ 0 pore´m
f (x , y) =
1
2
∀(x , y) na reta y = x , (x , y) 6= (0, 0)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo
f (x , y) =

xy
x2 + y2
, (x , y) 6= (0, 0)
0 , (x , y) = (0, 0)
aproximac¸a˜o linear: f (x , y) ≈ 0 pore´m
f (x , y) =
1
2
∀(x , y) na reta y = x , (x , y) 6= (0, 0)
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Func¸a˜o Diferencia´vel de uma varia´vel
se f : D ⊂ IR→ IR for diferencia´vel enta˜o tera´ reta tangente
y = f (a) + f ′(a)(x − a)
f (a+∆x) = f (a)+f ′(a)(x−a)+ε,
f (x) pode ser aproximado pela
reta tangente com um erro ε.
Assim:
f (a + ∆x)− f (a)
∆x
= f ′(a) +
ε(∆x)
∆x
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Func¸a˜o Diferencia´vel de uma varia´vel
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Func¸a˜o Diferencia´vel de uma varia´vel
f : D ⊂ IR→ IR e´ diferencia´vel em a se
∆y = f ′(a)∆x + ε∆x com ε→ 0 quando ∆x → 0
O diferencial de y e´ definido como: dy = f ′(x) dx
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Func¸a˜o Diferencia´vel de duas varia´veis
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Func¸a˜o Diferencia´vel de duas varia´veis
f : D ⊂ IR2 → IR diferencia´vel em (a, b)
Se ∆z = fx(a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y
com ε1 e ε2 → 0 quando (∆x ,∆y)→ (0, 0)
O diferencial dz , tambe´m chamado diferencial total e´ definido por
dz = fx(x , y)dx + fy (x , y)dy =
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy
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Teorema
Se as derivadas parciais fx e fy existem perto do
ponto (a, b) e sa˜o cont´ınuas em (a, b), enta˜o f e´
diferencia´vel em (a, b).
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Diferenciabilidade × Continuidade
Diferenciabilidade ⇒ Continuidade
Se z = f (x , y) e´ diferencia´vel em (a, b) ⇒
z = f (x , y) e´ cont´ınua em (a, b).
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Observac¸o˜es
1
na˜o cont´ınua ⇒ na˜o diferencia´vel
2
Na˜o existe alguma das derivadas parciais ⇒
na˜o diferencia´vel
3
Podem existir as derivadas parciais e a func¸a˜o
na˜o ser diferencia´vel
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Observac¸o˜es
1
na˜o cont´ınua ⇒ na˜o diferencia´vel
2
Na˜o existe alguma das derivadas parciais ⇒
na˜o diferencia´vel
3
Podem existir as derivadas parciais e a func¸a˜o
na˜o ser diferencia´vel
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Observac¸o˜es
1
na˜o cont´ınua ⇒ na˜o diferencia´vel
2
Na˜o existe alguma das derivadas parciais ⇒
na˜o diferencia´vel
3
Podem existir as derivadas parciais e a func¸a˜o
na˜o ser diferencia´vel
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Exerc´ıcios
Considere a func¸a˜o
f (x , y) =

3−
√
x2 + y2 , 0 <x2 + y2 < 1
1 + x2 + y2 , 1 <x2 + y2 < 4
5 , x2 + y2 > 4
.
(a) Calcule
∂ f
∂ x
(0, 0),
∂ f
∂ y
(0, 1),
∂ f
∂ y
(0, 2) e
∂ f
∂ x
(1, 1), se
existirem, justificando sua resposta.
(b) Determine o dom´ınio de
∂ f
∂ x
.
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Exerc´ıcios
Seja g(x , y , z) =
ex
2y2 + y2
yz
. Calcule gzy (x , y , z).
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Exerc´ıcios
Seja S uma superf´ıcie de equac¸a˜o z =
∫ x2−3
2−y2
(7 + t) e−(t
2−1) dt.
Determine:
(a) As equac¸o˜es da reta tangente a` curva obtida pela intersec¸a˜o
da superf´ıcie S com o plano y = 1 no ponto P0 = (2, 1, 0).
(b) As equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal a` superf´ıcie
S no ponto P0 = (2, 1, 0).
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Exerc´ıcios
Seja f (x , y) =

x2y2
x2 + y2
, se (x , y) 6= (0, 0)
0 , se (x , y) = (0, 0)
(a) Calcule
∂ f
∂ x
(0, 0) e
∂ f
∂ y
(0, 0).
(b) Calcule
∂ f
∂ x
(x , y) e
∂ f
∂ y
(x , y), (x , y) 6= (0, 0).
(c) Mostre que a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em (0, 0).
(d) f e´ cont´ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta.
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Exerc´ıcios
A temperatura T num ponto (x , y , z) e´ dada por
T (x , y , z) =
ex
2
ey
2
ez2
(a) Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie sobre a qual um bezouro
voara´ mantendo a mesma temperatura que possui no ponto
P = (0, 1, 1).
(b) Determine, usando diferencial, um valor aproximado para
T (0.02, 1.04, 0.99).
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Exerc´ıcios
Considere a func¸a˜o f (x , y) = 4 +
√
9y2 − x2 − 36
(a) Determine o dom´ınio e a imagem da f , e fac¸a um esboc¸o da
regia˜o no plano xy deste dom´ınio.
(b) Identifique e esboce as curvas de n´ıvel 0, 4, 7.
(c) Esboce o gra´fico da f.
(d) Determine as equac¸o˜es da reta tangente a` curva intersec¸a˜o do
gra´fico de f com o plano x = 3, no ponto (3,−3, 10).
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