Erros em análise química

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Erros em Análise Química e Erros em Análise Química e 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIAUNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS NATURAISDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS NATURAIS
DISCIPLINA: QUÍMICA ANALÍTICADISCIPLINA: QUÍMICA ANALÍTICA
ProfªProfª Anaildes Lago de CarvalhoAnaildes Lago de Carvalho
Erros em Análise Química e Erros em Análise Química e 
Algarismos SignificativosAlgarismos Significativos
1
Toda medida experimental deve apresentar três indicações:
� O valor numérico da grandeza mensurada
� A unidade em que a grandeza foi determinada
Medidas experimentais
� Erro cometido na avaliação do valor numérico desta
grandeza
2
Ex: A massa de um corpo determinada em uma
balança analítica
0,257 ± 0,001 g
Medidas experimentais
0,257 ± 0,001 g
Valor numérico 
da grandeza
Erro associado 
à medida
Unidade da 
grandeza
3
Qual a medida do objeto abaixo? 
Algarismos significativos
O objeto mede 15, _
A
4
Qual a medida do objeto abaixo? 
Algarismos significativos
O objeto mede 15,6 _
B
5
1ª definição� São algarismos obtidos de um processo de medida
2ª definição � Número mínimo de algarismos necessários para
expressar o valor de uma medida experimental sem a perda de
Algarismos significativos
expressar o valor de uma medida experimental sem a perda de
exatidão
3ª definição� É o conjunto formado pelos algarismos obtidos com
certeza mais o primeiro algarismo estimado (duvidoso)
6
1) 34,456 ± 0,002 cm � 5 algarismos significativos
2) 4,06 s� 3 algarismos significativos
3) 34,3756 ± 0,04 Kg � 4 algarismos significativos
Algarismos significativos
3) 34,3756 ± 0,04 Kg � 4 algarismos significativos
Forma correta: 34,37 ± 0,04 Kg 
4) 234,005 cm � 6 algarismos significativos
5) 4500 m � 4 algarismos significativos
6) 1,4573 ± 0,02 � 3 algarismos significativos
Forma correta: 1,46 ± 0,02 
7
1) O número de algarismos significativos não depende do 
número de casas decimais
Ex: 15,1321 g ou 15132,1 mg� 6 alg sig
Algarismos significativos: observações importantes
2) Os zeros são significativos quando forem obtidos do processo 
de medida
Ex: 2,0045 m � 5 alg sig
16,400 � 5 alg sig
8
3) Os zeros não são significativos quando são usados apenas para 
marcar a ordem de grandeza 
Ex: 0,1516 ou 0,01516 ou 0,001516 � possuem 4 alg sig
Algarismos significativos: observações importantes
9
4) Zeros provenientes de transformação não são considerados 
algarismos significativos
Ex: 2,30 Km � 3 alg sig
2300 m � 3 alg sig (2,30 x 103 m)
Roteiro para adição e subtração 
1) Colocar as medidas em uma mesma unidade
2) Colocar as parcelas de forma a ter vírgula embaixo 
de vírgula
Algarismos significativos do resultado de um cálculo
3) Realizar as operações indicadas
4) Arredondar o resultado de forma que ele fique com o 
número de casas decimais da parcela mais pobre 
não importando se o número de alg sig aumente ou 
diminua
10
1,362 5,345 7,26
+ 3,111 + 6,728 - 6,69
Ex1:
Algarismos significativos do resultado de um cálculo
+ 3,111 + 6,728 - 6,69
4,473 12,073 0,57
11
Roteiro para multiplicação e divisão
1) Multiplicar ou dividir normalmente as parcelas
2) Escrever o resultado final com o número de algarismos 
Algarismos significativos do resultado de um cálculo
2) Escrever o resultado final com o número de algarismos 
significativos igual ao fator mais pobre 
12
Exercícios:
1) Um corpo pesou 2,2 g numa balança cuja sensibilidade é ± 0,1g e
outro 0,1145 g ao ser pesado em uma balança analítica. Calcular a
massa total dos dois corpos nestas condições.
Algarismos significativos do resultado de um cálculo
massa total dos dois corpos nestas condições.
2,3 
1) Um pedaço de polietileno pesou 6,8 g numa balança cuja incerteza
é ± 0,1g. Um pedaço deste objeto foi retirado e pesado em uma
balança analítica cuja massa medida foi de 2,6367 g. Calcular a
massa do pedaço de polietileno restante.
4,2 13
1. Se o dígito a ser arredondado é < 5:
Manter o algarismo anterior
Exemplo: 0,523 será arredondado para 0,52.
2. Se o dígito a ser arredondado é >5:
REGRAS PARA ARREDONDAMENTO DE DADOS
Algarismos Significativos
Adicionar uma unidade ao algarismo anterior.
Exemplo: 44,8 será adicionado para 45.
3. Se o dígito a ser arredondado é =5:
a) manter o anterior se ele for par.
Exemplo: 0,525 será arredondado para 0,52.
b) adicionar uma unidade ao algarismo anterior se ele for ímpar.
Exemplo: 237,5 será arredondado para 238.
14
Exemplos
a) 9,47 
b) 9,43
c) 9,55
a) 9,5
b) 9,4
c) 9,6
Respostas
REGRAS PARA ARREDONDAMENTO DE DADOS
Algarismos Significativos
c) 9,55
d) 0,625
e) 0,635
f) 12,5
g) 7,5
h) 26,95
c) 9,6
d) 0,62
e) 0,64
f) 12
g) 8
h) 27,0
15
Exatidão é o grau de concordância entre o valor medido e o valor
verdadeiro
Precisão é o grau de concordância entre as medidas realizadas em
réplicas da mesma quantidade
Exatidão e precisão das medidas
réplicas da mesma quantidade
Cuidado!
Boa precisão não garante
boa exatidão.
16
I
II
EXATIDÃO E PRECISÃO
I Exato e Preciso
II Inexato e Preciso
Erros em química analítica
II
III
Valor verdadeiro ou
mais provável
II Inexato e Preciso
III Inexato e impreciso
17
Exemplo A – Exato e impreciso
Valor médio = 49,1 %
Valor verdadeiro = 49,1 ±±±± 0,1 %
49,0 49,1 49,2 49,3 49,4
Erros em química analítica
49,0 49,1 49,2 49,3 49,4
49,0 49,1 49,2 49,3 49,4
Exemplo B – Inexato e preciso
Valor médio = 49,4 %
Valor verdadeiro = 49,1 ±±±± 0,1 %
18
O valor central de um conjunto de dados obtidos de medidas replicadas
tem a maior probabilidade de ser o valor verdadeiro
O valor mais provável de uma medida experimental é igual a média
Como estimar o valor verdadeiro?
O valor mais provável de uma medida experimental é igual a média
aritmética das leituras realizadas
19
MÉDIA E MEDIANA
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Como estimar o valor verdadeiro?
Na maioria das vezes o melhor resultado está situado ao redor de
um VALOR CENTRAL, definido como média ou mediana.
20
MÉDIA
É obtida pela divisão da soma das réplicas de medidas pelo número de
medidas do conjunto:
Como estimar o valor verdadeiro?
medidas do conjunto:
X = média da amostra
Xi = medida
N = número de medidas
21
MEDIANA
É o resultado central quando as réplicas de dados são organizadas
de acordo com uma sequência crescente ou decrescente de valores
Como estimar o valor verdadeiro?
de acordo com uma sequência crescente ou decrescente de valores
�No caso de dados ordenados de amostras de tamanho n, se n for 
impar, a mediana será o elemento central . 
�Se n for par, a mediana será o resultado da media simples entre 
os dois valores centrais.
22
Calcular a média para os dados obtidos da determinação de ferro em
uma amostra de água de rio
Réplica Concentração de Fe (ppm)
1 19,4
Exemplo
1 19,4
2 19,5
3 19,6
4 19,8
5 20,1
6 20,3
23
ppmx
x
8,1978,19
6
3,201,208,196,195,194,19
≈=
+++++
=
Exemplo
Valor mais provável da 
concentração de Fe mas 
amostras analisadas
24
MEDIANA
Como estimar o valor verdadeiro?
25
A exatidão representa o grau de concordância entre os resultados
individuais, obtidos em um determinado ensaio, e um valor de
referência (µ) aceito como verdadeiro.
Como expressar a exatidão?
A exatidão é normalmenteexpressa como:
Erro Relativo e Erro Absoluto
26
ERRO ABSOLUTO � é a diferença entre o valor medido e o valor
verdadeiro ou mais provável.
Informa se existe desvio positivo (a maior) ou negativo (a menor)
Como expressar a exatidão?
Informa se existe desvio positivo (a maior) ou negativo (a menor)
entre o valor medido e o valor verdadeiro ou mais provável.
i vE x x= −
E = erro absoluto
Xi = valor medido
Xv = valor verdadeiro ou mais provável
27
Erro absoluto avaliado � é a metade da menor divisão do aparelho
utilizado na determinação do valor numérico da grandeza medida
Erro Absoluto
Qual o erro absoluto avaliado da bureta?
28
Alguns instrumentos e seus erros
Erro Absoluto
29
Erro Absoluto
Alguns instrumentos e seus erros
30
Erro Absoluto
Alguns instrumentos e seus erros
31
ERRO RELATIVO � é o erro absoluto dividido pelo valor verdadeiro
ou mais provável, expresso em percentagem.
Er = erro relativo
Como expressar a exatidão?
.100%i v
v
x xE
r x
−
=
Er = erro relativo
Xi = valor medido
Xv = valor verdadeiro ou mais 
provável
32
Os termos que descrevem a precisão baseiam-se em quanto um
resultado individual xi difere da média (tomado como valor verdadeiro ou
não)
Como expressar a precisão?
Precisão
Desvio padrão (s)
Variância (S2)
Coeficiente de variação (CV)
33
1
)(
1
2
−
−
=
∑
=
N
xx
s
N
i
i
Variância (s2)Desvio padrão (s)
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
N
xx
s
N
i
i
Como expressar a precisão?
Coeficiente de variação (CV)
%100*
x
sCV =
34
GROSSEIROS
Tipos de erros experimentais
TIPOS DE 
ERROS
SISTEMÁTICOS
RANDÔMICOS ou 
aleatórios
Afetam a exatidão!
Afetam a precisão!
35
1 - Erro determinado ou sistemático
Tem valor definido, pode ser associado a uma causa, sendo da mesma ordem de grandeza para
medidas em replicatas realizadas da mesma forma.
TIPO EXEMPLO
1. Erro de método
�reações incompletas 
� reações secundárias 
� solubilidade dos precipitados 
� baixa sensibilidade de um indicador.
pesos e aparelhagem volumétrica mal calibrados 
Classificação de Erros
2. Erro instrumental
�pesos e aparelhagem volumétrica mal calibrados 
� deslocamento do ponto zero da balança analítica por variações de 
temperatura.
3. Erro operacional
3.1 Técnica
3.2 Pessoais
�amostras não representativas 
� perdas mecânicas de amostra durante sua decomposição 
�lavagem excessiva de precipitados 
�calcinação de precipitados à temperaturas impróprias 
�esfriamento incompleto de material para pesagem.
�dificuldade em distinguir cores 
�tendências para estimar leituras em uma escala. 36
1- Detecção do erro determinado ou sistemático
TIPO DE ERRO DETECÇÃO
Instrumental Calibração periódica (resposta do instrumento muda com o 
tempo devido ao uso, corrosão, manipulação errada, etc.).
Pessoal Treinamento, cuidado, autodisciplina.
Método 
1.Análise de amostras de referência1
2. Análise independente2
Classificação de Erros
Método 2. Análise independente2
3.Determinações em branco3
4. Variação no tamanho da amostra4
Notas:
1 Materiais que contém um ou mais analitos com níveis de concentração exatamente
conhecida;
2 Se não se dispõe de padrões de referência, um segundo método analítico independente
pode ser usado em paralelo→ validação estatística;
3 Branco (ausência do analito) - revelam erros devido a contaminantes e interferentes
provenientes de reagentes e/ou recipientes usados na análise;
4 Quando o tamanho da amostra aumenta, o efeito de um erro constante diminui. 37
2 - Erro indeterminado, casual ou aleatório
� inevitáveis devido às incertezas inerentes às medidas físicas ou químicas usadas
nos métodos;
� fontes não identificadas ou medidas (tão pequenas que não podem ser
identificadas individualmente).
Análise volumétrica
Classificação de Erros
Leitura Bureta – 50,00 ±±±± 0.02 mL
Valor lido: 5,17 mL
Faixa: 5,15 – 5,19 mL
38
As medidas físicas possuem a particularidade de serem obtidas como efeitos 
médios de um enorme número de acontecimentos aleatórios que acontecem a 
nível eletrônico, atômico e molecular
Erros Aleatórios
39
Exemplo: algumas fontes de erros aleatórios
na calibração de uma pipeta
� Julgamentos visuais, tais como o nível da água
em relação à marca na pipeta e ao nível de
mercúrio no termômetro
Erros Aleatórios
�Variações no tempo de escoamento e no ângulo
da pipeta durante o escoamento
�Flutuações na temperatura que afetam o volume
da pipeta, a viscosidade do líquido e o
desempenho da balança
�Vibrações e correntes de ar que causam
pequenas variações nas leituras da balança
40
�Essas incertezas são impossíveis de serem medidas
porque a maioria delas são tão pequenas que não podem
ser detectadas individualmente
�O efeito cumulativo das incertezas individuais, faz com
A natureza dos erros aleatórios
�O efeito cumulativo das incertezas individuais, faz com
que as réplicas das medidas flutuem aleatoriamente em
torno da média do conjunto de dados
41
Combinação das incertezas Magnitude do erro 
aleatório
Número de 
combinações
Freqüência 
relativa
+U1 + U2 + U3 + U4 +4U 1 1/16 = 0,0625
-U1 + U2 + U3 + U4 +2U 4 4/16 = 0,250
+U1 - U2 + U3 + U4
+U1 + U2 - U3 + U4
+U1 + U2 + U3 - U4
-U1 - U2 + U3 + U4 0 6 6/16 = 0,375
+U + U - U - U
Combinações 
possíveis de 
quatro 
incertezas de 
mesma 
dimensão
A natureza dos erros aleatórios
+U1 + U2 - U3 - U4
+U1 - U2 + U3 - U4
-U1 + U2 - U3 + U4
-U1 + U2 + U3 - U4
+U1 - U2 - U3 + U4
+U1 - U2 - U3 - U4 -2U 4 4/16 = 0,250
-U1 + U2 - U3 - U4
-U1 - U2 + U3 - U4
-U1 - U2 - U3 + U4
-U1 - U2 - U3 - U4 -4U 1 1/16 = 0,0625
dimensão
42
2.1 – Fontes de erro aleatório
A natureza dos erros aleatórios
Distribuição de freqüência para medidas contendo: 
A) 4 incertezas aleatórias;
B) 10 incertezas aleatórias;
C) Número muito grade de incertezas aleatórias.
Curva gaussiana ou curva normal de erros
43
População é a coleção de todas as medidas de interesse para o analista
Amostra é o subconjunto de medidas selecionadas a partir de uma população
Amostras e populações
Cuidado!
Não confunda amostra estatística com 
amostra analítica
44
Exemplo 1
Determinação de glicose no sangue de uma pessoa
Amostras e populações
A amostra deve ser suficientemente representativa para permitir fazer 
inferências válidas sobre a população
População: todo o sangue do indivíduo
Amostra: o volume de sangue coletado
45
Exemplo 2
Determinação de vitaminas em comprimidos produzidos por uma unidade 
farmacêutica industrial
Amostras e populações
População: toda a produção da indústria
Amostra: quantidade suficiente para realização de 
inferências e aleatoriamente coletada 
46
Um modelo de distribuição normal fica perfeitamente descrito em função de
dois parâmetros populacionais: a média (tendência central) e o desvio
padrão (dispersão)
Parâmetros que descrevem a população
N
x
N
i
i∑
=
=
1µ
N
x
N
i
i∑
=
−
=
1
2)( µ
σ
Média da população Desvio padrão da população
47
Média (µ)
Parâmetros que descrevem a população
Desvio padrão (σ)
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
48
� A média da população (µ) pode ser estimada pela média amostral (x)
� O desvio padrão da população (σ) pode ser estimado pelo desvio
padrão amostral (s)
Parâmetros que descrevem a população
� Á medida que N→ ∞, x→ µ e s→ σ
49
Áreas sob uma curva normal
50
O intervalo de confiança para a média é a faixa de valores entre os quais
se espera que a média da populaçãoµ esteja contida com uma certa
probabilidade e os limites são chamados limites de confiança
Intervalos de Confiança
N
z
x
σµ ±=
51
O nível de confiança é a probabilidade de que a média verdadeira
esteja localizada em um certo intervalo
Intervalos de Confiança
52
Exemplo
É 99% provável que µµµµ estimada de um conjunto de medidas para
determinação de potássio em um alimento esteja contida no intervalo:
Intervalos de Confiança
7,25% ±±±± 0,15
Assim, µµµµ deve estar entre 7,10% a 7,40%
53
Nível de confiança (%) Valor de z
50,0 0,67
Níveis de confiança para vários valores de z
Intervalos de Confiança
68,0 1,00
80,0 1,28
90,0 1,64
95,0 1,96
95,4 2,00
99,0 2,58
99,7 3,00
99,9 3,29
54
As concentrações de glicose em um paciente com diabetes foram
determinadas
Replicatas Concentração de glicose 
(mg/L)
Exemplo
(mg/L)
1 1.108
2 1.122
3 1.075
4 1.099
5 1.115
6 1.083
7 1.100
55
Determinar os intervalos de confiança de 80% e 95% para (a) o primeiro
registro e (b) o valor médio
(a) Para uma medida OBS: Consideramos 
Exemplo
N
z
x
σµ ±=
Lmg /24108.1
1
19*28,1
 1.108 IC 80% ±=±=
Lmg /37108.1
1
19*96,1
 1.108 IC %59 ±=±=
(a) Para uma medida OBS: Consideramos 
s = 19 uma boa 
estimativa de σ
56
(b) Para sete medidas
Exemplo
N
z
x
σµ ±=
Lmg /2,93,100.1
7
19*28,1
 1.100,3 IC 80% ±=±=
Lmg /1,143,100.1
7
19*96,1
 1.100,3 IC %59 ±=±=
57
� Para que s seja uma boa estimativa de σσσσ é necessário
uma grande quantidade de replicatas da leitura
� Para considerar a variabilidade de s, usa-se o importante
parâmetro estatístico t que é definido da mesma forma
Determinação do IC quando σσσσ não for conhecido
parâmetro estatístico t que é definido da mesma forma
que z
58
Determinação do IC quando σσσσ não for conhecido
� Para a média de N medidas⇒
� Teste t de Student ⇒ Ferramenta estatística usada para representar IC e
para comparação de resultados
� Teste “t” de Student ⇒ Desenvolvido por W.S. Gosset (Student) em 1908
Ns
x
t
/
µ−
=
59
� Teste “t” de Student ⇒ Desenvolvido por W.S. Gosset (Student) em 1908
para compensar as diferenças existentes entre “µ” e “x” , além de levar em
conta que “s” é simplesmente uma aproximação de σ
� Intervalo de confiança da média (IC)⇒ para N réplicas
N
ts
xIC ±=
Graus de liberdade 80% 90% 95% 99% 99,9%
1 3,08 6,31 12,7 63,7 637
2 1,89 2,92 4,30 9,92 31,6
3 1,64 2,35 3,18 5,84 12,9
4 1,53 2,13 2,78 4,60 8,61
Valores de t para vários níveis de probabilidade
Determinação do IC quando σσσσ não for conhecido
4 1,53 2,13 2,78 4,60 8,61
5 1,48 2,02 2,57 4,03 6,87
6 1,44 1,94 2,45 3,71 5,96
7 1,42 1,90 2,36 3,50 5,41
8 1,40 1,86 2,31 3,36 5,04
9 1,38 1,83 2,26 3,25 4,78
10 1,37 1,81 2,23 3,17 4,59
60
Lembre-se de que o número de graus de liberdade para pequenos 
conjuntos de dados é igual a N -1 e não N.
Um químico obteve os seguintes dados para o teor
alcoólico de uma amostra de sangue:
Exemplo
Replicatas % C2H5OH
1 0,084
2 0,089
3 0,079
61
Calcule o intervalo de confiança a 95% para a média considerando:
(a) Que os três resultados obtidos são a única indicação da precisão do
método
Exemplo
N
ts
xIC ±=
%0050,0
13
3/)252,0(021218,0
021218,0006241,0007921,0007056,0
252,0079,0089,0084,0
2
2
=
−
−
=
=++=
=++=
∑
∑
s
x
x
i
i
62
N
OHHCde
N
ts
xIC 52%012,0084,03
0050,0*30,4084,0%)95( ±=±=±=
(b) Considere que, a partir de experiências prévias com
Exemplo
(b) Considere que, a partir de experiências prévias com
centenas de amostras, sabe-se o desvio padrão do
método (s=0,005%) e que ele é uma boa estimativa de σ
OHHCde
N
z
xIC 52%006,0084,03
0050,0*96,1084,0%)95( ±=±=±= σ
63
Testes de hipóteses (significância)
�Hipótese nula (H0) ⇒ cita que duas ou mais quantidades
observadas são estatisticamente iguais, ou seja: µ = µ0
�Teste z para grandes amostras:
64
� Comparar a média de uma série de resultados com um valor de
referência e exprimir o nível de confiança associado ao significado de
comparação
� Também usado para testar a diferença entre as médias de dois
Teste T
65
conjuntos de resultados
� Se tcalculado> ttabelado:
� O valor encontrado difere significativamente do valor de referência.
Nesse caso não se pode adotar a hipótese nula (H0) que há erro
sistemático na análise
Teste F - Comparação da Precisão
� Muitas vezes torna-se necessário comparar as variâncias
(ou desvios padrão) de duas populações.
� O teste F, pode ser utilizado para avaliar essa
66
� O teste F, pode ser utilizado para avaliar essa
consideração sob a condição de que as populações sigam
uma distribuição normal (gaussiana).
Teste F - Comparação da Precisão
� O teste F, que é definido como a razão entre as duas
variâncias das amostras (F = s12/ s22).
67
� O valor calculado de F é comparado com o valor crítico de
F em um determinado nível de confiança.
Teste F - Comparação da Precisão
� Os valores críticos de F em um nível de significância de 0,05 são
valores tabelados.
� Observe que são fornecidos dois graus de liberdade, um
68
associado ao numerador e outro associado ao denominador.
� A variância de um procedimento supostamente mais preciso é
colocada no denominador e a variância do procedimento menos
preciso é colocada no numerador.
Teste F - Comparação da Precisão
� Amaior variância sempre aparece no numerador.
� O maior valor de s é sempre colocado no numerador, o
que faz com que o valor de F seja sempre maior do que a
69
que faz com que o valor de F seja sempre maior do que a
unidade.
Teste F - Comparação da Precisão
70
Erros Grosseiros
�Diferem dos erros indeterminado e determinado.
�Ocorrem, normalmente, apenas de forma ocasional, são freqüentemente
grandes e podem causar resultados tanto altos quanto baixos.
�São, com freqüência, resultado de erros humanos.
• Por exemplo, se uma parte de um precipitado for perdida antes da
71
pesagem, os resultados analíticos serão mais baixos.
• Tocar um pesa-filtro com os dedos quando sua massa vazia já foi
determinada fará a leitura da massa de um sólido pesado no frasco
contaminado ser mais alta.
� Levam à ocorrência de valores anômalos, resultados que diferem
marcadamente de todos os outros dados de um conjunto de réplicas
de medidas.
Teste Q : Critério de rejeição de valores suspeitos para cálculo da média a um
determinado nível de confiança :
Rejeição de Valores – Teste Q
72
Critério: Se Qexp. ≥≥≥≥ Qcrítico (tabelado) para um número de resultados (n) de 3 a 10 , o 
valor suspeito deve ser rejeitado.
Determinação do teor Hg (µg/L) na urina de garimpeiros 
95%
Rejeição de Valores – Teste Q
Resultados, µg/L
78,24 
73,37
75,61
73,08
74,42
Substituindo 78,24 por 85,20 no conjunto de dados.
95%
Q95 = 0,710
Q95 = 0,710
Qexp = (|78,24 – 75,61|) / (|78,24 – 73,08|)
Qexp = 0, 509
Média = 74,94 µg/L
s = 2,09
Qexp = (|85,20 – 75,61|) / (|85,20 – 73,08|)
Qexp = 0, 791
Média = 74,03 µg/L
s = 1,08
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Critério: Se Qexp. ≥≥≥≥ Qcrítico (tabelado) para um número de resultados (n) de 3 a 10 , o 
valor suspeito deve ser rejeitado.
Determinação do teor Hg (µg/L) na urina de garimpeiros 
95%
Rejeição de Valores – Teste Q
Resultados, µg/L
78,24 
73,37
75,61
73,08
74,42
Substituindo 78,24 por 85,20 no conjunto de dados.
95%
Q95 = 0,710
Q95 = 0,710
Qexp = (|78,24 – 75,61|) / (|78,24 – 73,08|)
Qexp = 0, 509
Média = 74,94 µg/L
s = 2,09
Qexp = (|85,20 – 75,61|) / (|85,20 – 73,08|)
Qexp = 0, 791
Média = 74,03 µg/L
s = 1,08
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Em um experimento parase determinar o tempo gasto por um
móvel para percorrer determinada distância, foram realizadas três
leituras:
Leitura 1 2 3
Erro relativo
a) Qual o valor mais provável do tempo gasto?
b) Qual o erro absoluto médio?
c) Escreva corretamente o resultado;
d) Qual o erro relativo da medida?
Leitura 1 2 3
Valor (s) 5,67 5,58 5,61
75
5,62 s
Ea = 0,03
5,62 ± 0,05 s
Er= 0,53%
1) Os seguintes resultados foram obtidos para réplicas da determinação
de chumbo em uma amostra de sangue: 0,752; 0,756; 0,752; 0,751 e
0,760 mg L-1 de Pb. Calcule:
a) a média dos valores;
Exemplo
a) a média dos valores;
b) a variância;
c) o desvio padrão relativo;
d) o coeficiente de variação.
e) avalie os resultados em termos de precisão.
76
Respostas
1) Os seguintes resultados foram obtidos para réplicas da determinação de
chumbo em uma amostra de sangue: 0,752; 0,756; 0,752; 0,751 e 0,760 mg L-1
de Pb. Calcule:
a) média, x = 0,754
b) variância, s2 = 0,00001
Exemplo
b) variância, s = 0,00001
c) o desvio padrão relativo, DPR = 0,005
d) o coeficiente de variação, CV = 0,500
e) os resultados são precisos, pois o conjunto de dados apresenta baixos
valores para desvio padrão e variância.
O teor de chumbo na amostra de sangue corresponde a 0,754 ± 0,004 mg L-1.
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