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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa As leis de Newton podem ser usadas para explicar o movimento de uma partícula no espaço; A 2ª lei de Newton pode ser decomposta em três equações se usarmos um sistema de eixos cartesianos. Agora estudaremos essas mesmas equações considerando outros sistemas de coordenadas. 2ª Lei de Newton: “Se uma partícula for submetida a uma força, acelerará. A aceleração será na direção da força e a magnitude da aceleração será proporcional a força e inversamente proporciona à massa da partícula”; Para uma partícula sob ação de várias forças, 2ª lei de Newton pode ser resumida pela expressão: ◦ Onde: SF é a resultante das forças atuante sobre a partícula; m é a massa da partícula; a é a aceleração resultado da ação da força; aF m Uma partícula normalmente apresenta uma trajetória curvilínea no espaço: Se inicialmente considerarmos o movimento da partícula em um plano, e usarmos coordenadas cartesianas, podemos escrever: ◦ Onde SFx e SFy são as componentes da resultante das forças atuantes nas direção x e y, respectivamente. j)iji aF yxyx aamFF m ( Separando as componentes obtemos duas equações: ◦ Onde: ax é a componente da aceleração na direção x; ay é a componente da aceleração na direção y; ymamF xmamF yy xx Se a trajetória da partícula é conhecida, podemos também escrever a 2ª Lei de Newton no sistema normal-tangente: ◦ Onde SFn e SFt são as componentes da resultante das forças nas direção dos eixos n e t, respectivamente. )uuuu aF nnttnntt aamFF m ( Separando as componentes temos: ◦ Onde: an é a componente da aceleração na direção do eixo n; at é a componente da aceleração na direção do eixo t; v é a velocidade escalar; r é o raio de curvatura da curva da trajetória. vaamF vaamF ttt nnn r2 Finalmente em termos de coordenadas polares a 2ª Lei de Newton pode ser escrita como: ◦ Onde SFr e SFq são as componentes da resultante das forças nas direção dos eixos r e q, respectivamente. )uuuu aF qqqq aamFF m rrrr ( Separando as componentes temos: ◦ Onde: ar é a componente da aceleração na direção do eixo r; aq é a componente da aceleração na direção do eixo q; qq q qqq rraamF rraamF rrr 2 2 No espaço a equação do movimento de uma partícula, em coordenadas cartesianas, pode ser escrita como: ◦ Onde SFx, SFy e SFz representam a resultante das forças nas direções x, y e z, respectivamente. k)jikji aF zyxzyx aaamFFF m ( Separando as componente temos: ◦ Onde ax, ay e az são as componentes da aceleração nas direções x, y e z, respectivamente. zmmaF ymmaF xmmaF zz yy xx Se a trajetória da partícula é conhecida no espaço, a equação do movimento pode ser escrita como: ◦ Onde SFt, SFn e SFb representam a resultante das forças nas direções tangencial, normal e binormal respectivamente )uuuuu aF nnttbbnntt aamFFF m ( Observe pela figura que como não há movimento da partícula na direção binormal então: ◦ Onde at e an são as componentes da aceleração nas direções tangencial e normal, respectivamente. 0 2 b nn tt F v mmaF dt dv mmaF r Em termos de coordenadas cilíndricas as equações do movimento podem ser escritas como : ◦ Onde SFr, SFq e SFz representam a resultante das forças nas direções dos eixos r, q e z, respectivamente. )uuuuuu aF zzrrzzrr aaamFFF m qqqq ( Separando as componentes temos: ◦ Onde ar, aq e az são as componentes da aceleração nas direções r, q e z, respectivamente. zmmaF rrmmaF rrmmaF zz rr qq q qq 2 2 Observações: ◦ A escolha do sistema de coordenadas apropriado depende das condições do problema e é uma das decisões fundamentais a serem tomadas. ◦ Escolhido o sistema de coordenadas, deve-se desenhar o diagrama de corpo livre do ponto material e em seguida aplicar a segunda lei de Newton. Determine a velocidade máxima v que o bloco pode ter quando passa pelo ponto A sem que perca o contato com a superfície. Um carro de 1500kg entra em um trecho sinuoso de uma estrada no plano horizontal e diminui a velocidade em uma taxa uniforme a partir de uma velocidade de 100km/h em A para uma velocidade de 50km/h quando passa por C. O raio de curvatura r da estrada em A é de 400m e em C de 80m. Determine a força horizontal total exercida pelas estrada sobre os pneus nas posições A, B e C. O ponto B é o ponto de inflexão onde a curvatura muda de direção. O tubo A gira em torno do eixo vertical O com uma velocidade angular constante dq/dt=w e contém um pequeno tampão cilíndrico B de massa m cuja posição radial é controlada pelo cordão que passa livremente através do tubo e do eixo e é enrolado em torno do tambor de raio b. Determine a tração T no cordão e o componente transversal da força Fq exercida pelo tubo sobre o tampão se a velocidade angular do tambor é w0 em primeiro lugar na direção do caso (a) e em seguida do caso (b); Despreze o atrito.
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