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Exercícios da lista do Módulo 01 [05] Na figura ao lado, se o fluido é a glicerina a 20 C e a⁰ largura entre as placas é 6 mm, qual a tensão de cisalhamento necessária (em Pa) para mover a placa superior a 5,5 m/s? Qual é o número de Reynolds se a dimensão representativa é distância entre placas? Dados: T = 20 C, ⁰ l=6mm , v=5,5m/ s , =? e Re=? ; glicerina=1,5N⋅s /m 2 ; glicerina=1264 kg /m 3 Calculando a tensão de cisalhamento: = v h ⇒=1,5⋅ 5,5 6⋅10−3 ⇒ =1375 Pa Lembre-se que a unidade pascal (Pa) equivale a Newton (N) dividido por metro ao quadrado (m²) → Pa = N/m². Vamos calcular o número de Reynolds: Re=⋅v⋅L ⇒Re= 1264⋅5,5⋅6⋅10−3 1,5 ⇒ Re=28 Lembre-se que o número de Reynolds é adimensional (não apresenta dimensão). Tente provar isto trabalhando só com as unidades na equação anterior. [06] Um bloco de peso P desliza para baixo em um plano inclinado enquanto é lubrificado por um filme fino de óleo, como mostra a figura ao lado. A área de contato do filme é A e sua espessura é h. Considerando uma distribuição linear de velocidade no filme, deduza uma expressão para a velocidade “terminal” (com aceleração igual a zero) v do bloco. Partindo das Leis de Newton (somatório forças): F=P−FAplicada A velocidade terminal ocorrerá quando o bloco assumir a queda livre, ou seja, quando o plano caminhar para o eixo y: m⋅a=W⋅sen−⋅A⇒ 0=W⋅sen−⋅A⇒W⋅sen=⋅A A força aplicada está concentrada na película de óleo (fluido) e assim, considerando o perfil linear de velocidade, a tensão de cisalhamento será: =⋅ v h Retornando à primeira equação e aplicando a equação anterior: W⋅sen =⋅ v h ⋅A⇒ v=W⋅sen⋅h ⋅A Uma placa fina é separada de duas placas fixas por líquidos muito viscosos (µ1) e (µ2), respectivamente, conforme a figura abaixo. Os espaços entre as placas (h1) e (h2) não são iguais, conforme a figura. A área de contato é A entre a placa central e cada fluido. Considerando uma distribuição linear de velocidade em cada fluido, deduza a força necessária para puxar a placa com velocidade v. Considerando o somatório das forças: F=F 1F2⇒ F=1⋅A2⋅A⇒F=12⋅A⇒ F=1⋅vh1 2⋅vh2 ⋅A⇒ A correia da figura ao lado, move-se a uma velocidade constante v e desliza no topo de um tanque de óleo de viscosidade (µ), como mostramos. Considerando uma distribuição linear do perfil de velocidade no óleo, desenvolva uma fórmula simples para a potência (P) para acionar a correia como uma função de (h, L, v, b, µ). Qual a potência necessária P, em watts, se a correia move-se a 2,5 m/s em óleo SAE 30W a 20 C,⁰ com L = 2 m, b = 60 cm e h = 3 cm? Partindo do conceito de potência: P= t = F⋅d t =F⋅ d t =F⋅v⇒P=F⋅v Calculando a potência, teremos: P=F⋅v⇒P=⋅A⋅v⇒ Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 1 Lembre-se que a força deste sistema leva em conta a película de óleo e que a área está relacionada a correia (L xb). Assim: ⇒P=oleo⋅L⋅B⋅v⇒P= ⋅v h ⋅L⋅B⋅v⇒ ⇒P=⋅ v2 h ⋅L⋅B Substituindo os dados apresentados na equação anterior, teremos a Potência: Dados: v=2,5m /s ; L=2m ; b=60 cm ; h=3 cm ; óleo SAE 30W– 200C=0,29 N⋅s/m 2 . P=⋅ v2 h ⋅L⋅B⇒P=0,29⋅ 2,5 2 3⋅10−2 ⋅2⋅60⋅10−2 ⇒ P=72,5W Um disco de hóquei de mesa tem massa de 50 g e 9 cm de diâmetro. Quando colocado sobre a mesa de ar, um filme de ar a 20 C de 0,12 mm de espessura se⁰ forma sob o disco. O disco é lançado a uma velocidade inicial de 10 m/s. Considerando uma distribuição linear de velocidade no filme de ar, quanto tempo decorrerá até o disco (a) atingir a velocidade de 1 m/s e (b) parar completamente? Além disso, (c) que distância, ao longo dessa mesa extremamente longa, o disco terá percorrido para a condição (a)? Dados: v=10m/ s ; m=50 g ; =9cm ; T=20 C⁰ ; h=0,12 mm . (a) Encontrando o tempo t. Partindo do somatório das forças: ∑ F x=−⋅A⇒m⋅a=− v h ⋅A⇒m⋅ d v dt =− v h ⋅A⇒ Vamos isolar as variáveis similares e os dados que são constantes, chamaremos de k. Após, vamos integrar a função: ⇒ d v v =−⋅A m⋅h ⋅dt⇒∫ 0 v d v v =−k∫ 0 t dt⇒ ln vv0 v =−k⋅t0 t ⇒ ⇒e ln v v0=e−k⋅t⇒ v v0 =e−k⋅t⇒ v=v0⋅e −k⋅t Procurando o tempo, vamos considerar o espaço: v= dx dt ⇒ dx=v⋅dt⇒ x=∫ 0 t v dt⇒ x=∫ 0 t v0⋅e −k⋅t dt⇒ ⇒ x=v0⋅ e−k⋅t −k ⇒ x= v0 k ⋅[1−e−k⋅t ] Vamos calcular a constante k, para finalmente encontrar o tempo: k=−⋅A m⋅h ⇒k= 1,85⋅10 −5⋅⋅4,5⋅10−2 2 50⋅10−3⋅0,12⋅10−3 ⇒k=0,0196s−1 v=v0⋅e −k⋅t⇒ 1=10⋅e−0,0196⋅t⇒0,1=e−0,0196⋅t⇒ −0,0196⋅t=ln 0,1⇒ t=117,5 s (b) Ao parar completamente: v=v0⋅e −k⋅t⇒ 0=10⋅e−0,0196⋅t⇒e−0,0196⋅t=0⇒ ⇒t=∞ (c) Encontrando o espaço: x= v0 k ⋅[1−e−k⋅t]⇒ x= 10 0,0196 ⋅[1−e−0,0196⋅117,5 t]⇒ x=459,2m Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 2 Exercícios sobre Quantidade de Movimento Linear 1) Em uma tubulação há um cotovelo de reversão para que o fluido faça a volta de 180° antes de ser descarregado, como mostrado na figura. Ali ocorre um escoamento de água a uma taxa de 14 kg/s em um tubo horizontal ao mesmo tempo em que o acelera. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da seção transversal do cotovelo é de 113 cm2 na entrada e de 7 cm2 na saída. A pressão manométrica de entrada é de 202,2 kPa. A diferença de elevação entre os centros das seções de entrada e saída é de 30 cm. Determinar a força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar Considere: ρ = 1000kg/cm3 Aplicando a conservação da quantidade de movimento, considerando o escoamento permanente e incompressível: ∑ FBcampo∑ F Ssuperficie = ∂ ∂ t ∫VC v⋅d∀∫ SC v⋅⋅v⋅d A F Sx=∫ SC u⋅⋅v⋅d A⇒F Sx=−u1⋅⋅v⋅Au2⋅⋅v⋅A⇒ ⇒Rxp⋅A1=−1,24⋅14−20,04⋅14⇒ ⇒Rx=−297,92−p⋅A1⇒ Rx=−2582,8N As velocidades utilizadas foram encontradas a partir da vazão: Q=⋅v⋅A u1= Q ⋅A1 ⇒ u1= 14 998⋅113⋅10−4 ⇒u1=1,24m /s u2= Q ⋅A2 ⇒u2= 14 998⋅7⋅10−4 ⇒u2=−20,04m / s A velocidade 2 apresenta sinal negativo pois a mesma está em sentido contrário. 2) A água é acelerada por um bocal a uma velocidade média de 20 m/s e atinge uma placa vertical fixa à taxa de 10 Kg/s. Após o choque, a corrente de água se espalha em todas as direções do plano da placa. Determine a força necessária para evitar que a placa se movimente horizontalmente devido à corrente de água. Aplicando a conservação da quantidade de movimento, considerando o escoamento permanente e incompressível: ∑ FBcampo∑ F Ssuperficie = ∂ ∂ t ∫VC v⋅d∀∫ SC v⋅⋅v⋅d A A força resultante será na horizontal e na superfície; assim: F Sx=∫ SC u⋅⋅v⋅d A⇒F Sx=u⋅⋅v⋅A Aplicando-se todas as forças horizontais: pATM⋅A−p ATM⋅ARx=u⋅⋅v⋅A⇒Rx=u⋅⋅v⋅A⇒ ⇒Rx=10⋅20⇒ Rx=10⋅20 Note que as forças devido as pressões na equação anterior, são destinadas a pressão exercida na placa e sua força de reação. Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 3 4) Um jato d’água horizontal com 5 cm de diâmetro e velocidade de 18 m/s é aplicado horizontalmente a uma placa vertical de massa 1000 kg. A placa é mantida em um trilho quase se atrito e inicialmente está parada. Quando o jato atinge a placa, esta começa a se movimentar na direção do jato. A água sempre se espalha no plano da placaque se afasta. Determine: (a) A aceleração da placa quando o jato a atinge (tempo = 0); (b) O tempo necessário para que a placa atinja uma velocidade de 9 m/s; Considere: ρ = 1000kg/m³ (a) Para encontrar a aceleração, devemos saber qual será a força aplicada pelo sistema, para após aplicarmos a 2a Lei de Newton. Assim, com o intuito de encontrar a força, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento, considerando o escoamento permanente e incompressível: ∑ FBcampo∑ F Ssuperficie = ∂ ∂ t ∫VC v⋅d∀∫ SC v⋅⋅v⋅d A F S=∫ SC u⋅⋅v⋅d A⇒ FRx=−u⋅⋅v⋅A (1) A equação anterior apresenta sinal negativo pois, é a força de reação necessária para manter a placa no lugar. Entretanto, se esta é uma força de reação, a força presente na placa será positiva. F Rx=−u⋅⋅v⋅A⇒F placa=u⋅⋅v⋅A⇒ F placa=18⋅[ 1000⋅18⋅⋅5⋅10−224 ]⇒F placa=636,2N Com o valor da força, podemos encontrar a aceleração: F=m⋅a⇒a= F m ⇒ a=636,2 1000 ⇒ a=0,636m / s2 (b) Vamos encontrar o tempo para a velocidade dada. Lembre-se: a= dv dt , ou simplesmente, a= v t t= v a ⇒ t= 9 0,636 ⇒ t=14,2 s 5) Os bombeiro seguram um bocal na ponta de uma mangueira enquanto tentam apagar um incêndio. Se o diâmetro de saída do bocal é de 6 cm e a taxa de escoamento da água é de 5 m3/min, determine: (a) A velocidade média de saída da água; (b) A força de resistência horizontal necessária para que os bombeiros segurem o bocal. Considere: ρ = 1000kg/m³ a) A velocidade de saída será dada pela equação da vazão: Q=v⋅A⇒v=QA ⇒v= 5 60 ⋅6⋅10−22 4 ⇒ v=29,47m/ s (b) A força realizada é na horizontal. Assim, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento, considerando o escoamento permanente e incompressível: ∑ FBcampo∑ F Ssuperficie = ∂ ∂ t ∫VC v⋅d∀∫ SC v⋅⋅v⋅d A F S=∫ SC v⋅⋅v⋅d A⇒ FRx=v⋅⋅v⋅A F Rx=2455N Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 4 9) Um tanque pressurizado de água tem um orifício de 10 cm de diâmetro na parte inferior, onde a água é descarregada para a atmosfera. O nível de água está 3 m acima da saída. A pressão do ar do tanque acima do nível de água é de 300 kPa (absoluta) enquanto a pressão atmosférica é de 100 kPa. Desprezando os efeitos do atrito, determine a vazão de descarga inicial da água do tanque. Considere: ρ = 1000kg/cm3; g = 9,81 m/s2 Aplicando a Equação de Bernoulli: p1 v1 2 2 g⋅z1= p2 v2 2 2 g⋅z2⇒ p1− p2 g⋅z1−z2= v2 2 2 ⇒v2=2⋅[ p1−p2 g⋅ z1−z2 ] ⇒v2=2⋅[ 300⋅103−100⋅1031000 9,81⋅3 ]⇒ v2=21,42m /s Lembre-se que quando trabalhamos com diâmetros muito diferentes, consideramos o discutido em reservatórios, onde assumimos a velocidade de superfície (1) igual a zero. Agora vamos utilizar a equação da vazão: Q=v⋅A⇒Q=21,42⋅⋅10⋅10 −22 4 ⇒ Q=0,168m3/ s 15) Um cotovelo redutor é usado para defletir de 30° o escoamento de água a uma taxa de 14 kg/s em um tubo horizontal ao mesmo tempo em que o acelera. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da seção transversal do cotovelo é de 113 cm2 na entrada e de 7 cm2 na saída. A diferença de elevação entre os centros da saída e da entrada é de 30 cm. O peso do cotovelo e da água que há neles são considerados desprezíveis. Determine: (a) A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo; (b) A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar. Considere: ρ = 1000kg/m3; g = 9,81 m/s2 (a) Aplicando a Equação de Bernoulli: p1 v1 2 2 g⋅z1= p2 v2 2 2 g⋅z2⇒ p1− p2=⋅[ v22−v122 g⋅z1−z2 ]⇒ p=1000⋅[ 202−1,2422 9,81⋅30⋅10−2 ]⇒ p=202,2 kPa As velocidades utilizadas na equação acima foi encontrada da seguinte forma: m˙=Qm=⋅v⋅A v1= Q ⋅A1 ⇒v1= 14 998⋅113⋅10−4 ⇒ v1=1,24m / s v2= Q ⋅A2 ⇒v2= 14 998⋅7⋅10−4 ⇒v2=−20,04m/ s (b) Vamos calcular a força de ancoragem: Observando a figura, podemos notar que o ponto 1 é um ponto de entrada (e assim assumirá o valor Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 5 negativo na equação posterior), enquanto o ponto 2 é um ponto de saída (assumindo valor positivo na equação posterior). Note ainda que o ponto 2 está 30⁰ inclinado em relação a horizontal. Quando estudarmos as forças horizontais e verticais, não podemos nos esquecer de decompor tais forças para o ponto 2. Assim, considerando o escoamento permanente e incompressível: ∑ FBcampo∑ F Ssuperficie = ∂ ∂ t ∫VC v⋅d∀∫ SC v⋅⋅v⋅d A F S=∫ SC v⋅⋅v⋅d A Considerando a componente x (horizontal), teremos: FRx p⋅A1=−v1⋅m˙ v2⋅m˙⇒ F Rx=−v1⋅m˙v2⋅cos⋅m˙− p⋅A1⇒ FRx=m˙⋅ v2⋅cos−v1− p⋅A1⇒ F Rx=14⋅20⋅cos30⁰−1,24 −202,2⋅10³⋅113⋅10 −4⇒ F Rx=−2060N Considerando a componente z (vertical), teremos: FRz−W=v2⋅m˙⇒FRz−W=v2⋅sen⋅m˙⇒ FRz−0=20 sen30⁰⋅14⇒ FRz=140N Lembre-se que segundo o enunciado, o peso (W) será desconsiderado. Exercícios apresentados ao longo do semestre e que devem ser revistos para o EXAME. [AMB] 6
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