Gabarito Lista 7

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Noc¸o˜es de Estat´ıstica
2º sem de 2016 - FEA
Lista de exerc´ıcios 7 - Introduc¸a˜o e Estat´ıstica Descritiva - CASA
Exerc´ıcio 1
Em uma determinada faixa eta´ria, 40% das pessoas apreciam o refrigerante da marca
Cola. Calcule a probabilidade (exata) de que, em uma amostra de 200 pessoas dessa faixa
eta´ria, haja:
a) entre 65 e 90 (inclusive os extremos) apreciadores do refrigerante da marca Cola;
b) no ma´ximo 70 apreciadores do refrigerante da marca Cola;
c) mais do que 68 apreciadores do refrigerante da marca Cola.
Repita os itens (a), (b) e (c) usando a aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o binomial pela
distribuic¸a˜o normal (com e sem correc¸a˜o de continuidade) e compare os resultados.
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 1
Considere a seguinte varia´vel aleato´ria
Xi =
{
1, se a i-e´sima pessoa aprecia o refrigerante da marca Cola;
0, se a i-e´sima pessoa na˜o aprecia o refrigerante da marca Cola;
P(Xi = 1) = 0, 4
Agora vamos considerar a varia´vel aleato´ria X : Nu´mero de pessoas que apreciam o
refrigerante da marca Cola.
X =
200∑
i=1
Xi ∼ Binomial(200; 0, 4)
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 1.1
Inicialmente vamos calcular a probabilidade exata.
1
1.1.a)
P(65 ≤ X ≤ 90) =
90∑
x=65
(
200
x
)
0, 4x0, 6200−x = 0, 9226
1.1.b)
P(X ≤ 70) =
70∑
x=0
(
200
x
)
0, 4x0, 6200−x = 0, 0844
1.1.c)
P(X > 68) =
200∑
x=69
(
200
x
)
0, 4x0, 6200−x = 0, 9525
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 1.2
Agora vamos utilizar a aproximac¸a˜o da Binomial pela Normal. Assim,
X ≈ Normal(200 ∗ 0, 4 = 80; 200 ∗ 0, 4 ∗ 0, 6 = 48)
1.2.a)
P(65 ≤ X ≤ 90) = P
(
65− 80√
48
≤ Z ≤ 90− 80√
48
)
=
= P(−2, 165 ≤ Z ≤ 1, 443) = 0, 9255− 0, 0152 = 0, 9103
1.2.b)
P(X ≤ 70) = P
(
Z ≤ 70− 80√
48
)
= P(Z ≤ −1, 44) = 0, 0745
1.2.c)
P(X > 68) = 1− P
(
Z ≤ 68− 80√
48
)
= 1− P(Z ≤ −1, 73) = 1− 0, 0416 = 0, 9584
2
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 1.3
Agora vamos utilizar a aproximac¸a˜o da Binomial pela Normal utilizando a correc¸a˜o
de continuidade. Assim,
X ≈ Normal(200 ∗ 0, 4 = 80; 200 ∗ 0, 4 ∗ 0, 6 = 48)
1.2.a)
P(65 ≤ X ≤ 90) = P
(
65− 0, 5− 80√
48
≤ Z ≤ 90 + 0, 5− 80√
48
)
=
= P(−2, 237 ≤ Z ≤ 1, 516) = 0, 9352− 0, 0126 = 0, 9226
1.2.b)
P(X ≤ 70) = P
(
Z ≤ 70 + 0, 5− 80√
48
)
= P(Z ≤ −1, 37) = 0, 0852
1.2.c)
P(X > 68) = 1− P
(
Z ≤ 68 + 0, 5− 80√
48
)
= 1− P(Z ≤ −1, 66) = 1− 0, 0485 = 0, 9515
Conclusa˜o
Verificamos que quando utilizamos a correc¸a˜o de continuidade a aproximac¸a˜o da
Binomial pela Normal e´ mais efetiva.
3
Exerc´ıcio 2
Sabe-se que cerca de 8% da populac¸a˜o brasileira adulta e´ analfabeta. Uma amostra
aleato´ria de 300 brasileiros adultos sera´ investigada quanto ao n´ıvel de escolaridade, qual
e´ a probabilidade aproximada de ocorrerem:
a) pelo menos 20, mas na˜o mais do que 30 indiv´ıduos analfabetos;
b) no ma´ximo 40 analfabetos;
c) Se X e´ o nu´mero de analfabetos encontrados na amostra dos 270 brasileiros adultos,
determine o valor de k tal que, P(14 ≤ X ≤ k) = 0, 15.
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 2
Considere a seguinte varia´vel aleato´ria
Yi =
{
1, se o i-e´simo adulto e´ analfabeto;
0, se o i-e´simo adulto na˜o e´ analfabeto;
P(Yi = 1) = 0, 08
Agora vamos considerar a varia´vel aleato´ria Y : Nu´mero de adultos analfabetos.
Y =
300∑
i=1
Yi ∼ Binomial(300; 0, 08)
Podemos aproximar a Binomial pela normal, assim
Y ≈ Normal(24; 22, 08)
2.a)
P(20 ≤ Y ≤ 30) =
30∑
y=20
(
300
y
)
0, 08y0, 92300−y = 0, 7437
Utilizando a aproximac¸a˜o temos
P(20 ≤ Y ≤ 30) = P
(
20− 24√
22, 08
≤ Z ≤ 30− 24√
22, 08
)
=
= P(−0, 85 ≤ Z ≤ 1, 28) = 0, 8992− 0, 1973 = 0, 7019
Utilizando a aproximac¸a˜o com a correc¸a˜o de continuidade temos
P(20 ≤ Y ≤ 30) = P
(
20− 0, 5− 24√
22, 08
≤ Z ≤ 30 + 0, 5− 24√
22, 08
)
=
= P(−0, 96 ≤ Z ≤ 1, 38) = 0, 9167− 0, 1691 = 0, 7476
4
2.b)
P(Y ≤ 40) =
40∑
y=0
(
300
y
)
0, 08y0, 92300−y = 0, 9994
Utilizando a aproximac¸a˜o temos
P(Y ≤ 40) = P
(
Z ≤ 40− 24√
22, 08
)
=
= P(Z ≤ 3, 41) = 0, 9997
Utilizando a aproximac¸a˜o com a correc¸a˜o de continuidade temos
P(Y ≤ 40) = P
(
Z ≤ 40 + 0, 5− 24√
22, 08
)
=
= P(Z ≤ 3, 51) = 0, 9998
2.c)
Agora temos, X ∼ Binomial(270; 0, 08)
P(14 ≤ X ≤ k) = 0, 15⇒ P(X ≤ k)− P(X < 14) = 0, 15
P(X ≤ k) = 0, 15 + 0, 0282 = 0, 1782⇒ k = 17
Utilizando a aproximac¸a˜o temos
X ≈ Normal(270 ∗ 0, 08 = 21, 6; 270 ∗ 0, 08 ∗ 0, 92 = 19, 872)
P(X ≤ k) = 0, 15 + P(X < 14) = 0, 15 + P
(
Z <
14− 21, 6√
19, 872
)
=
= 0, 15 + P (Z < −1, 70) = 0, 15 + 0, 0441 = 0, 1941
P
(
Z ≤ k − 21, 6√
19, 872
)
= 0, 1941⇒ k − 21, 6√
19, 872
= −0, 8629⇒ k = 17, 736
Utilizando a aproximac¸a˜o com correc¸a˜o de continuidade temos
P(X ≤ k) = 0, 15 + P
(
Z <
14− 0, 5− 21, 6√
19, 872
)
=
= 0, 15 + P (Z < −1, 82) = 0, 15 + 0, 0346 = 0, 1846
P
(
Z ≤ k + 0, 15− 21, 6√
19, 872
)
= 0, 1846⇒ k + 0, 5− 21, 6√
19, 872
= −0, 8980⇒ k = 17, 10
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Exerc´ıcio 3
O peso de pacotes de um certo tipo de po´ de cafe´ tem distribuic¸a˜o Normal com
me´dia 1000g e desvio padra˜o 10g.
a) Um pacote e´ considerado dentro do padra˜o se apresentar conteu´do entre 980 e 1020g.
Selecionando-se ao acaso um pacote desse tipo de po´ de cafe´, qual e´ a probabilidade
do mesmo estar dentro do padra˜o?
b) Numa amostra de 500 pacotes, qual e´ a probabilidade aproximada de pelo menos
480 estarem dentro do padra˜o?
c) Sera˜o retirados do mercado os pacotes com conteu´do inferior a` 980g. Qual e´ a
probabilidade de um pacote Selecionando ao acaso ser retirado do mercado?
d) Numa amostra de 100 pacotes, calcule a probabilidade aproximada de que no
ma´ximo 4 sejam retirados do mercado.
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 3
Considere a seguinte varia´vel aleato´ria
Xi ∼ Normal(1000, 102)
3.a)
P(980 ≤ Xi ≤ 1020) = P
(
980− 1000
10
≤ Z ≤ 1020− 1000
10
)
=
= P(−2 ≤ Z ≤ 2) = 0, 9772− 0, 0228 = 0, 9545
3.b)
Considere agora X : Nu´mero de pacotes dentro do padra˜o
X ∼ Binomial(500; 0, 9545)
P(X ≥ 480) =
500∑
x=480
(
500
x
)
0, 9545x0, 0455500−x = 0, 3237
Utilizando a aproximac¸a˜o temos
X ≈ Normal(500 ∗ 0, 9545 = 477, 25; 500 ∗ 0, 9545 ∗ 0, 0455 = 21, 71)
P(X ≥ 480) = 1− P
(
Z ≤ 480− 477, 25√
21, 71
)
= 1− P(Z ≤ 0, 5902) = 1− 0, 7225 = 0, 2775
6
Utilizando a aproximac¸a˜o com correc¸a˜o de continuidade temos
P(X ≥ 480) = 1−P
(
Z ≤ 480− 0, 5− 477, 25√
21, 71
)
= 1−P(Z ≤ 0, 4829) = 1−0, 6854 = 0, 3146
3.c)
P(Xi < 980) = P
(
Z ≤ 980− 1000
10
)
= P(Z ≤ −2) = 0, 0228
3.d)
Considere agora a varia´vel aleato´ria Y : Nu´mero de pacotes que sera˜o retirados do
mercado.
Y ∼ Binomial(100; 0, 0228) ≈ Normal(2, 28; 2, 22)
P(Y ≤ 4) =
4∑
y=0
(
100
y
)
0, 0228y0, 9772100−y = 0, 9214
Utilizando a aproximac¸a˜o temos
P(Y ≤ 4) = P
(
Z ≤ 4− 2, 28√
2, 22
)
= P(Z ≤ 1, 1569) = 0, 8763
Utilizando a aproximac¸a˜o com correc¸a˜o de continuidade temos
P(Y ≤ 4) = P
(
Z ≤ 4 + 0, 5− 2, 28√
2, 22
)
= P(Z ≤ 1, 4922) = 0, 9322
Exerc´ıcio 4
Um distribuidor de sementes sabe, atrave´s de experieˆncias anteriores, que 95% das
sementes que comercializa germinam. Ele vende pacotes de 200 sementes, com garantia
de que pelo menos 180 germinara˜o. Qual e´ a probabilidade aproximada de um pacote na˜o
satisfazer a` garantia?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 4
Considere a seguinte varia´vel aleato´ria
Xi =
{
1, se a i-e´sima semente germina;
0, se a i-e´sima semente na˜o germina;
P(Xi = 1) = 0, 95
Agora considere a varia´vel X : Nu´mero de sementes que germinam.
7
X ∼ Binomial(200; 0, 95) ≈ Normal(190; 9, 5)
P(X < 180) =
179∑
x=0
(
200
x
)
0, 95x0, 05200−x = 0, 0012
Utilizando a aproximac¸a˜o temos
P(X < 180) = P
(
Z <
180−190√
9, 5
)
= P(Z < −3, 24) = 0, 0006
Utilizando a aproximac¸a˜o com correc¸a˜o de continuidade temos
P(X < 180) = P
(
Z <
180− 0, 5− 190√
9, 5
)
= P(Z < −3, 41) = 0, 0003
Exerc´ıcio 5
Numa cidade do litoral de Sa˜o Paulo sabe-se 20% dos habitantes tem algum tipo de
alergia. Sabe-se tambe´m que no grupo de ale´rgicos 50% praticam algum tipo de atividade
f´ısica enquanto que no grupo de na˜o ale´rgicos essa proporc¸a˜o e´ de 40%. Responda a`s
seguintes questo˜es:
a) qual e´ a proporc¸a˜o de pessoas que praticam algum tipo de atividades f´ısica nesta
cidade?
b) Se sorteamos aleatoriamente 200 pessoas dessa cidade, qual a probabilidade de pelo
menos 90 praticarem algum tipo de atividade f´ısica?
Soluc¸a˜o do exerc´ıcio 5
Considere as seguintes varia´veis aleato´rias
Xi =
{
1, se a i-e´sima pessoa e´ ale´rgica;
0, se a i-e´sima pessoa na˜o e´ ale´rgica;
P(Xi = 1) = 0, 2
Yi|Xi = 1 =
{
1, se a i-e´sima pessoa pratica esporte dado que e´ ale´rgica;
0, se a i-e´sima pessoa na˜o pratica esporte dado que e´ ale´rgica;
P(Yi = 1|Xi = 1) = 0, 5
Yi|Xi = 0 =
{
1, se a i-e´sima pessoa pratica esporte dado que na˜o e´ ale´rgica;
0, se a i-e´sima pessoa na˜o pratica esporte dado que na˜o e´ ale´rgica;
P(Yi = 1|Xi = 0) = 0, 4
8
5.a)
P(Yi = 1) = P(Yi = 1|Xi = 1)P(Xi = 1) + P(Yi = 1|Xi = 0)P(Xi = 0) =
= 0, 5 ∗ 0, 2 + 0, 4 ∗ 0, 8 = 0, 1 + 0, 32 = 0, 42
5.b)
Considere agora a varia´vel aleato´ria W : Nu´mero de pessoas que pratica algum tipo
de atividade f´ısica.
W ∼ Binomial(200; 0, 42) ≈ Normal(84; 48, 72)
P(W ≥ 90) =
200∑
w=90
(
200
w
)
0, 42w0, 58200−w = 0, 2150
Utilizando a aproximac¸a˜o temos
P(W ≥ 90) = P
(
Z <
90− 84√
48, 72
)
= P(Z < 0, 8596) = 1− 0, 8050 = 0, 1950
Utilizando a aproximac¸a˜o com correc¸a˜o de continuidade temos
P(W ≥ 90) = P
(
Z <
90− 0, 5− 84√
48, 72
)
= P(Z < 0, 7880) = 1− 0, 7846 = 0, 2154
9