Vetores e Geometria - 2014 - Física-Usp noturno - Lista 1

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Lista de Exerccio de MAT0112 (1
0
semestre 2014)
Turmas: 2014122 e 2014124
Referncias principais(nas quais a lista foi baseada):
1. Reis e Silva: Geometria Analtica
2. Stewart: Calculo I
3. G. Strang,
�
Algebra linear e aplica�c~oes, 4
o
Edi�c~ao, Cengage Learning.
4. S. Lipschutz and M. Lipson,
�
Algebra linear, 3
o
Edi�c~ao, Cole�c~ao Schaum.
1 Parte 1:
1.1 I-Recordao
Problema 1.1. Determine a equa�c~ao da reta do tipo y = mx+ b que passa
por (�1; 2) e (3;�4).
Problema 1.2. Esboce
(a) A reta C = f(x; y) 2 R
2
jx+ 2y = 5g
(b) A regio R = f(x; y) 2 R
2
jx+ 2y > 5g
Problema 1.3. Resolva a desigualdade jx� 3j+ jx+ 2j < 11
Problema 1.4. Determine cos
2
(�), sin
2
(�) em termos de cos(2�).
Problema 1.5. Encontre os valores de x que satisfa�cam a cada uma das
desigualdades:
(a) jx� 2j < 1
(b) jx� 2j > 1
(c) jx� 2j = 1
(d) jx
2
� 4j � 2
1
(e) j3� 2x
2
j � 9
(f) jx� 1j < jx� 2j
Problema 1.6. Encontre os valores de x que satisfa�cam as seguintes de-
sigualdades:
(a) 3x+ 5 < 23
(b) (x� 1)(x� 3) < 0
(c) x
2
� 5x < �6
(d) x
3
+ x
2
� 0
(e)
2x
x�2
� 1
Problema 1.7. Resolva as seguintes equa�c~oes:
(a) x
2
� 5jxj+ 6 = 0
(b) x
2
+ 4jxj � 21 = 0
(c) x
2
+ 4jxj+ 3 = 0
(d) jx
2
� 3xj = 2
(e) (jxj
5
+ j18x
3
j+ 1)(x
2
� 1) = 0
Problema 1.8. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m
3
tem uma
base quadrada. Expresse a �area super�cial da caixa como uma fun�c~ao do
comprimento de um lado da base.
Problema 1.9. Expresse a hipotenusa h do tria^ngulo reta^ngulo com uma
�area de 25 m
2
como uma fun�c~ao do seu per��metro P .
Problema 1.10. A queda de uma pedra em um lago cria ondas circulares
que se espalham a uma velocidade de 60 cm=s.
(a) Expresse o raio desse c��rculo como uma fun�c~ao do tempo t (em segun-
dos).
(b) Se A(r) �area do c��rculo com raio r, encontre a fun�c~ao A �R (onde R(�)
a fun�c~ao obtida no item a) e interprete-a.
2
Problema 1.11. Fa�ca o gr�a�co de cada fun�c~ao, sem desenhar um conjunto
de pontos discretos, mas come�cando com o gr�a�co de uma fun�c~ao b�asica e
ent~ao aplicando as transforma�c~oes apropriadas.
(a) f(x) = (x+ 1)
2
(b) f(x) = 1 + 2 cos(x)
(c) f(x) = sen (x=2)
(d) f(x) =
p
x+ 3
(e) f(x) =
1
2
(x
2
+ 8x)
(f) f(x) =
2
x+1
(g) f(x) = jsen (x)j
1.2 Respostas da Parte 1
Problema 1.1: y =
�3
2
x+
1
2
Problema 1.3: �5 < x < 6
Problema 1.4: cos
2
(�) =
1+cos(2�)
2
, sin
2
(�) =
1�cos(2�)
2
Problema 1.5:
(a) (1; 3)
(b) (�1; 1) [ (3;1)
(c) f1; 3g
(d) (�1;�
p
6) [ [�
p
2;
p
2] [ [
p
6;1)
(e) [�
p
6;
p
6]
(f) (�1; 3=2)
Problema 1.6:
3
(a) (�1; 6)
(b) (1; 3)
(c) (2; 3)
(d) [�1;1)
(e) (�1;�2] [ (2;1)
Problema 1.7
(a) 2;�2; 3;�3 (Dica: pode-se usar que x
2
= jxj
2
).
(b) 3;�3
(c) No tem raizes.
(d) 1; 2; (3 +
p
17)=2; (3�
p
17)=2
(e) 1;�1
Problema 1.8: S(x) = x
2
+
8
x
com x > 0
Problema 1.9: h(P ) =
P
2
�100
2P
Problema 1.10
(a) R(t) = 60t
(b) A �R(t) = 3600�t
2
, a rea do crculo como uma funo do tempo.
4
2 Parte 2: Plano
Problema 2.1. Escreva o vetor (7;�1) como soma de dois vetores, um
paralelo ao vetor (1;�1) e outro paralelo ao vetor (1; 1).
Problema 2.2. Dados A = (1; 3) e B = (2; 2) determine x para que a
reta de�nida pelo ponto m�edio AB e o ponto (x; 0) seja paralela ao vetor
v = (1; 2).
Problema 2.3. Os pontos A = (1;�5), B = (5; 2) e C = (3; 9) so tre^s
v�ertices de um paralelogramo. Ache tre^s pontos, cada um dos quais podendo
ser o seu quarto v�ertice.
Problema 2.4. Determine como deve variar o m�odulo e o sentido F
1
e F
2
(isto �e, por quais cosntantes se deve multiplicar F
1
e F
2
) para qual a resultante
destas foras seja F sendo kFk =
p
3 kF
1
k = 2 e kF
2
k = 1 (o a^ngulo F entre
F
1
30 graus, e o a^ngulo entre �F
1
e F
2
60 graus)
Problema 2.5. Num ponto atuam tre^s for�cas F
1
= (�3;�4) F
2
= (�1; 2),
F
3
= (2; 1).
(a) Elas est~ao em equil��brio?
(b) Mantendo a dire�c~ao e o sentido de F
2
F
3
, como podemos modi�c�a-las
de modo que o sistema �que em equil��brio?
(c)
�
E poss��vel colocar o sistema em equil��brio mantendo-se F
1
e F
2
�xas e
variando apenas o m�odulo e o sentido de F
2
?
Problema 2.6. Calcule a resultante das for�cas F
1
, F
2
e F
3
sabendo que:
1. kF
1
k = 1 e F
1
horizontal
2. F
2
= F
1
+ u
1
onde ku
1
k = 1 e u
1
perpendicular a F
1
3. F
3
= F
2
+ u
2
onde ku
2
k = 1 e u
2
perpendicular a F
2
.
Problema 2.7. Sejam u = (2; 4) e v = (�3; 5). Determine:
(a) o produto escalar de u e v
(b) o a^ngulo entre u e v
5
(c) a projeo P
v
(u) de u em v.
Problema 2.8. Dado o tria^ngulo cujos v�ertices so A = (1; 1) B = (4; 0) e
C = (3; 4), determine:
(a) os a^ngulos A, B, C.
(b) as proje�c~oes dos lados AC e BC sobre o lado AB;
(c) o p�e da altura relativa ao v�ertice C;
(d) a �area do tria^ngulo ABC;
Problema 2.9. Calcule a �area do paralelogramo cujos v�ertices so os pontos
m�edios dos lados do quadrilatero ABCD sendo A = (0; 1), B = (�4;�1),
C = (5;�3) e D = (7; 0).
Problema 2.10. Considere a proje�c~ao de v em u dada por P
u
(v) = (2; 1)
onde u = (4; 2) e kvk = 6. Determine v.
Problema 2.11. Escreva as equa�c~oes da reta (param�etrica e carteziana)
que:
(a) cont�em o ponto (�1; 1) e tem a dire�c~ao do vetor (2; 3)
(b) cont�em os pontos A = (3; 2) e B = (�3; 1)
Problema 2.12. Escreva as equa�c~oes param�etricas da reta que cont�em o
ponto (1; 2) e faz com a reta y = �2x+ 4 um a^ngulo de 60
0
.
Problema 2.13. Determine o a^ngulo menor entre as retas:
(a) 2x+ 3y = 1 e y = �5x+ 8
(b) x+ y + 1 = 0 e x = 1� 2t, y = 2 + 5t
Problema 2.14. Escreva as equa�c~oes param�etricas das seguintes circun-
fere^ncias:
(a) x
2
+ y
2
� 11 = 0
(b) x
2
+ y
2
� x+ 3y � 2 = 0
(c) x
2
+ y
2
� 6y = 0
6
(d) x
2
+ y
2
� 2x� 2y + 1 = 0
Problema 2.15. (a) Uma part��cula percorre a reta de�nida pelos pontos
A = (1; 2) e B = (3;�1) com velocidades constante. Sabendo que no
instante t = 0 a part��cula se encontra em A e que em t = 2 se encontra
em B, determine sua posi�c~ao no instante t.
(b) Em que instante a part��cula se encontra mais pr�oxima do ponto C =
(4;�2)?
Problema 2.16. Num determinado instante t as posi�c~oes de 2 part��culas P
e Q so dadas, respectivamente, por (1 + 2t; 1 + t) e (4 + t;�3 + 6t)
(a) As trajetorias se interseptam? Em caso a�rmativo, onde?
(b) As particulas se chocam?
Problema 2.17. Um m�ovel M
1
parte do ponto A = (0; 4) com velocidade
v = (1;�1) no mesmo instante em que um m�ovel M
2
parte de O = (0; 0)
tamb�em com velocidade constante. Qual deve ser a velocidade de M
2
para
que M
1
e M
2
se choquem em t = 1?
Problema 2.18. A trajet�oria de uma particular dada por:
x = 2 + cos(t)
y = 1 + 2 sin(t);
for
�
8
� t � 2�. Determine o menor valor de t para a qual a part��cula se
encontra a igual dista^ncia dos pontos A = (0; 4) e B = (1; 5).
2.1 Respostas da Parte 2
Problema: 2.1: (7;�1) = (4;�4) + (3; 3)
Problema 2.2: 1=4
Problema 2.3: (�1; 2), (3;�12) e (7; 16)
Problema 2.4: Multiplique F
1
por 1=2 e F
2
por �1.
Problema 2.5:
7
(a) N~ao, a soma dos vetores no se anula,
(b) F
1
+ k
2
F2
+ k
3
F
3
= 0 assim k
2
= 1 e k
3
= 2
(c) pergunta equivalente a F
1
+ kF
2
+ F
3
= 0? Resposta: N~ao
Problema 2.6: (3�
p
2
2
; 2 +
p
2
2
) ou (3 +
p
2
2
; 2�
p
2
2
)
Problema 2.7:
(a) 14
(b) arccos(
7
p
170
170
)
(c) (�
21
17
;
35
17
)
Problema 2.8:
(a) angulo entre AC e AB arccos(3=
p
130)
(b) angulo entre BA e BC arccos(7=
p
170)
(c) angulo entre CA e CB arccos(10=
p
221)
Problema 2.9:
37
4
Problema 2.10: (2 +
p
620
10
; 1�
p
620
5
) ou (2�
p
620
10
; 1 +
p
620
5
)
Problema 2.11:
(a) Eq. param�etricas x = �1+2t e y = 1+3t Eq. cartesiana: 2y� 3x = 5
(b) Eq. param�etrica x = 3� 6t e y = 2� t, Eq. Cartesiana: 6y � x = 9
Problema 2.12: x = 1 + t, y = 2 +
8+5
p
3
11
t; x = 1 + t e y = 2 +
8�5
p
3
11
t;
Problema 2.13:
(a) 45
0
8
(b) arccos(
7
p
58
58
)
Problema 2.14:
(a) x =
p
11 cos(t) e y =
p
11sen (t),
(b) x =
1
2
+
p
18
2
cos(t) e y =
3
2
+
p
18
2
sen (t)
(c) x = 3 cos(t) e y = 3 + 3sen (t)
(d) x = 1 + cos(t) e y = 1 + sen (t)
Problema 2.15:
(a) (1 + t; 2�
3
2
t)
(b) 36=13
Problema 2.16:
(a) trajet�orias se interseptam no ponto (5; 3)
(b) P passa por este ponto em t = 2 e Q no instante t = 1 logo no se
chocam.
Problema 2.17: (1; 3)
Problema 2.18: �=2
9
3 Parte 3: R
3
Problema 3.1. Determine o centro e raio das seguintes esferas:
(a) x
2
+ y
2
+ z
2
� 2x� 4y � 2z = 10
(b) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2y � 10z = 27
(c) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
� 2x+ 6y = 6
(d) x
2
+ y
2
+ z
2
= 3
(e) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x� y = 1
Problema 3.2. Determine a equa�c~ao da esfera que cont�em A = (8; 0; 3) e
B = (�6; 2; 5) e tem como dia^metro a dista^ncia entre A e B.
Problema 3.3. Determine a equa�c~ao da esfera de centro na origem, sabendo
que sua interse�c~ao com um plano paralelo ao plano x; y e distante duas
unidades da origem uma circunfere^ncia de raio 3.
Problema 3.4. Determine t para que o ponto (t; t + 1; t + 2) perten�ca �a
esfera de centro (0; 1; 2) e raio
p
12.
Problema 3.5. Calcule a rea do tria^ngulo cujos v�ertices s~ao:
(a) A = (0; 0; 0), B = (2; 3; 0), C = (0; 0; 5)
(b) A = (2;�1; 1), B = (2; 1;�1), C = (0; 3;�5)
Problema 3.6. Calcule o volume do paralelep��pedo de�nido pelos vetores
u = (2;�1; 1) v = (1; 3; 2) e w = (�1; 4;�3)
Problema 3.7. Sejam u = (2; 1;�3) e v = (1;�2; 1)
(a) Determine um vetor unit�ario simultaneamente perpendicular a u e v.
(b) Determine um vetor w perpendicular a u e v e tal que kwk = 5
Problema 3.8. Seja u um vetor perpendicular a v e w. Sabendo que v e
w formam um a^ngulo de 30
o
e que kuk = 6, kvk = 3 e kwk = 3 calcule hu,
(v � w)i
10
Problema 3.9. Escreva uma equa�c~ao do plano que cont�em o ponto (1; 1; 1)
e perpendicular ao vetor (2;�1; 8)
Problema 3.10. Escreva uma equa�c~ao do plano de�nido pelos pontos:
(a) A = (2;�1; 3), B = (0; 2; 1) e C = (1; 3; 2)
(b) A = (0; 0; 0), B = (2; 1; 0) e C = (1; 0; 0)
(c) A = (0; 0; 2), B = (1; 2; 2) e C = (1; 0; 2)
Problema 3.11. Escreva as equa�c~oes param�etricas da reta de�nida pelos
pontos:
(a) A = (2; 1; 3) e B = (1; 3; 7)
(b) A = (0; 0; 0) e B = (0; 5; 0)
(c) A = (1; 1; 0) e B = (2; 2; 0)
Problema 3.12. Dados A = (2; 3; 6), B = (4; 1;�2) escreva uma equa�c~ao
do plano mediador do segmento AB.
Problema 3.13. (a) Veri�que que o ponto A = (2; 4; 1) pertence esfera
x
2
+ y
2
+ z
2
= 21
(b) Determine o ponto B tal que kB � Ak seja um dimetro desta esfera.
Problema 3.14. Determine os valores a e b para que a reta r
x = 1 + at
y = 2 + bt
z = �1 + 2t
e a reta s
x = 2 + t
y = 1 + bt
z = �1 + 2t
sejam:
11
(a) paralelas,
(b) concorrentes, i.e, se interseptam,
(c) reversa, i.e., no paralelas e n~ao concorrentes.
Problema 3.15. Determine a dista^ncia do ponto (2; 1; 3) a cada um dos
planos:
(a) x� 2y + z = 1
(b) x+ y � z = 0
(c) x� 5z = 8
Problema 3.16. Escreva uma equa�c~ao do plano que cont�em o ponto (1;�2; 3)
e perpendicular a cada um dos planos x+ 2y + 3z = 4 e 2x+ y + z = 2
Problema 3.17. Determine o ponto do plano ax+by+cz = d mais pr�oximo
da origem.
Problema 3.18. Escreva uma equa�c~ao do plano paralelo a 2x� y + 6z = 4
e tangente esfera x
2
+ y
2
+ z
2
� 4x+ 2y = 4
Problema 3.19. O movimento de uma part��cula tal, que no instante t sua
posi�c~ao P (t) = (1 + t; 1� 2t; t).
(a) Em que instante a partcula est�a mais pr�oxima da esfera x
2
+y
2
+z
2
= 1
(b) Qual o ponto desta esfera mais pr�oxima da trajet�oria da part��cula?
3.1 Respostas da Parte 3
Problema 3.1:
(a) centro (1; 2; 1) e raio 4
(b) centro (0;�1; 5) e raio
p
53
(c) centro (
1
2
;
�3
2
; 0) e raio
p
22
2
(d) centro (0; 0; 0) e raio
p
3
12
(e) centro (�1;
1
2
; 0) e raio
3
2
Problema 3.2: (x� 1)
2
+ (y � 1)
2
+ (z � 4)
2
= 51
Problema 3.3: x
2
+ y
2
+ z
2
= 13
Problema 3.4: t = 2 ou t = �2
Problema 3.5:
(a)
p
325
2
(b) 2
p
3
Problema 3.6: 28
Problema 3.7:
(a)
1
p
3
(�1;�1;�1)
(b)
5
p
3
(�1;�1;�1)
Problema 3.8: +27 e �27
Problema 3.9: 2(x� 1)� (y � 1) + 8(z � 1) = 0 ou 2x� y + 8z = 9
Problema 3.10:
(a) x� z + 1 = 0
(b) z = 0
(c) z = 2
Problema 3.11:
(a) x = 2� t, y = 1 + 2t, z = 3 + 4t
13
(b) x = 0, y = t, z = 0
(c) x = 1 + t, y = 1 + t, z = 0
Problema 3.12: x� y � 4z + 7 = 0
Problema 3.13:(b) B = (�2;�4;�1)
Problema 3.14:
(a) a = 1 e b qualquer
(b) impossvel
(c) a 6= 1 e b qualquer
Problema 3.15
(a)
p
6
3
(b) 0
(c)
21
p
26
Problema 3.16: x� 5y + 3z = 20
Problema 3.17 (
ad
a
2
+b
2
+c
2
;
bd
a
2
+b
2
+c
2
;
cd
a
2
+b
2
+c
2
)
Problema 3.18: 2x� y + 6z = 5 +
123
p
41
ou 2x� y + 6z = 5�
123
p
41
Problema 3.19: t =
1
6
14
4 Parte 4:
4.1 Introdu�c~ao aos Sistemas Lineares e Matrizes
Problema 4.1. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
2u+ v + w = 5
4u� 6v = �2
�2u+ 7v + 2w = 9
Problema 4.2 (M��nimos quadrados). Considere (t
1
; b
1
); : : : (t
m
; b
m
) dados
experimentais de um feno^meno linear, e.g., dados que descrevem um objeto
com velocidade uniforme que no tempo t
i
est�a a uma dista^ncia b
i
de um
certo referencial. A�m de encontrar a reta que y = ax + c que est�a mais
pr�oxima dos pontos coletados de�nimos a fun�c~ao de 2 variaveis E(c; a) =
P
m
i=1
(b
i
� c � at
i
)
2
. Veri�que que se (c^; a^) �e ponto cr��tico de E, i.e., se
@E
@c
(c^; a^) = 0 =
@E
@a
(c^; a^); ent~ao (c^; a^) atende:
�
m
P
t
i
P
t
i
P
t
2
i
� �
c^
a^
�
=
�
P
b
i
P
t
i
b
i
�
Problema 4.3 (Matriz de Vandermonde). Dado pontos (t
1
; b
1
); : : : ; (t
n
; b
n
)
existe um �unico polino^mio P de grau n � 1 tal P (t
i
) = b
i
. Veri�que que
encontrar tal polino^mio P equivale a encontrar (c
1
; : : : ; c
n
) que atende:
2
6
6
6
4
1 t
1
t
2
1
� � � t
n�1
1
1 t
2
t
2
2
� � � t
n�1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 t
n
t
2
n
� � � t
n�1
n
3
7
7
75
2
6
6
6
4
c
1
c
2
.
.
.
c
n
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
b
1
b
2
.
.
.
b
n
3
7
7
7
5
Problema 4.4. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
(a)
x� 3y � 2z = 6
2x� 4y � 3z = 8
�3x+ 6y + 8z = �5
15
(b)
x+ 2y � 3z = 1
2x+ 5y � 8z = 4
3x+ 8y � 13z = 7
(c)
x
1
+ 3x
2
� 2x
3
+ 5x
4
= 4
2x
1
+ 8x
2
� x
3
+ 9x
4
= 9
3x
1
+ 5x
2
� 12x
3
+ 17x
4
= 7
Problema 4.5. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
(a)
x+ 2y � z = 3
x+ 3y + z = 5
3x+ 8y + 4z = 17
(b)
x� 2y + 4z = 2
2x� 3y + 5z = 3
3x� 4y + 6z = 7
(c)
x+ y + 3z = 1
2x+ 3y � z = 3
5x+ 7y + z = 7
Problema 4.6. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
2
4
2 1 1
4 �6 0
�2 7 2
3
5
16
Problema 4.7. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
2
4
1 �3 5
2 �4 7
�1 �2 1
3
5
Problema 4.8. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
2
4
1 2 1
2 3 3
�3 �10 2
3
5
Problema 4.9. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversa
da matriz
A =
2
4
2 1 1
4 �6 0
�2 7 2
3
5
Problema 4.10. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversa
da matriz
A =
2
4
1 0 2
2 �1 3
4 1 8
3
5
4.2 Respostas da Parte 4
Problema 4.1: w = 2, v = 1, u = 1
Problema 4.4:
(a) x = 1; y = �3 e z = 2
(b) x = �3� a, y = 2 + 2a, z = a onde a �e um para^metro
(c) o sistema n~ao possui solu�c~ao.
Problema 4.5:
(a) x =
17
3
, y =
�2
3
, z =
4
3
(b) O sistema n~ao possui solu�c~ao
17
(c) x = �10a y = 1 + 7a; z = a onde a �e um para^metro.
Problema 4.6: L =
2
4
1 0 0
2 1 0
�1 �1 1
3
5
; U =
2
4
2 1 1
0 �8 �2
0 0 1
3
5
Problema 4.7: L =
2
4
1 0 0
2 1 0
�1 �
5
2
1
3
5
; U =
2
4
1 �3 5
0 2 �3
0 0
�3
2
3
5
Problema 4.8: L =
2
4
1 0 0
2 1 0
�3 4 1
3
5
; U =
2
4
1 2 1
0 �1 1
0 0 1
3
5
Problema 4.9 A
�1
=
2
4
12
16
�
5
16
�
6
16
4
8
�
3
8
�
2
8
�1 1 1
3
5
Problema 4.10 A
�1
=
2
4
�11 2 2
�4 0 1
6 �1 �1
3
5
18
5 Parte 5
5.1 Introdu�c~ao aos espa�cos e subespa�cos vetoriais e
bases
Problema 5.1. Escreva o polino^mio v(t) = t
2
+4t�3 como uma combina�c~ao
linear dos polino^mios p
1
(t) = t
2
� 2t+ 5; p
2
(t) = 2t
2
� 3t; p
3
(t) = t+ 1
Problema 5.2. Escreva a matriz M =
�
4 7
7 9
�
como combina�c~ao linear
das matrizes: A =
�
1 1
1 1
�
; B =
�
1 2
3 4
�
; C =
�
1 1
4 5
�
:
Problema 5.3. Seja V o espa�co vetorial real dos polino^mios reais. Deter-
mine se W �e ou n~ao um subespa�co de V onde
(a) W �e composto por todos os polino^mios de coe�cientes inteiros.
(b) W �e composto por todos os polino^mios de grau menor ou igual a 6 e
do polino^mio nulo
(c) W �e composto por todos os polino^mios que possuem apenas pote^ncias
pares.
Problema 5.4. Determine se cada um dos conjuntos abaixo de vetores de-
termina ou n~ao uma base de R
3
(a) (1; 1; 1), (1; 0; 1)
(b) (1; 2; 3), (1; 3; 5), (1; 0; 1), (2; 3; 0)
(c) (1; 1; 1) (1; 2; 3), (2;�1; 1)
(d) (1; 1; 2), (1; 2; 5), (5; 3; 4)
19
Problema 5.5. Seja S o espa�co das matrizes sim�etricas reais 2 por 2, i.e., o
espa�cos das matrizes reais A = A
t
ond A
t
�e a transposta de A. Determine a
dimens~ao de S e uma base para S.
Problema 5.6. (a) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(U)
da matriz U =
2
4
1 3 3 2
0 0 3 3
0 0 0 0
3
5
:
(b) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(A) da matriz A =
2
4
1 3 3 2
2 6 9 7
�1 �3 3 4
3
5
:
Problema 5.7. Determine a dimens~ao e uma base do espa�co de solu�c~oes dos
sistemas homoge^neos abaixo:
(a)
x+ 2y + 2z � s+ 3t = 0
x+ 2y + 3z + s+ t = 0
3x+ 6y + 8z + s+ 5t = 0
(b)
x+ 2y + z � 2t = 0
2x+ 4y + 4z � 3t = 0
3x+ 6y + 7z � 4t = 0
(c)
x+ y + 2z = 0
2x+ 3y + 3z = 0
x+ 3y + 5z = 0
Problema 5.8. Demonstre as seguintes a�rma�c~oes:
20
(a) Se m < n ent~ao n~ao podem haver n vetores linearmente independentes
em R
m
.
(b) Sejam f
1
: : : f
m
e g
1
; : : : g
n
bases para um mesmo espa�co vetorial V .
Ent~ao m = n.
(c) Sejam ff
i
g base de um espa�co vetorial W e v 2 W: Ent~ao existe para
cada vetor f
i
somente um n�umero v
i
tal que v =
P
i
v
i
f
i
5.2 Respostas da Parte 5
Problema 5.1: v =
�17
11
p
1
+
14
11
p
2
+
52
11
p
3
Problema 5.2: M = 2A+ 3B � C
Problema 5.3: (a) n~ao, (b) e (c) sim.
Problema 5.4: (a), (b) n~ao , pois dimR
3
= 3. (c) Sim, pois colocando os
vetores como colunas de uma matriz A tre^s por tre^s, podemos observar que
A �e n~ao singular. (d) N~ao pois colocando os vetores como colunas de uma
matriz A observamos que Ax = 0 admite mais de uma solu�c~ao.
Problema 5.5: dimS = 3 e uma base �e: E
1
=
�
1 0
0 0
�
; E
2
=
�
0 1
1 0
�
;
E
3
=
�
0 0
0 1
�
:
Problema 5.6:
(a) dimN(U) �e igual ao n�umero de vari�aveis livres, i.e., 2. Uma base E
1
, E
2
do subespa�co vetorial N(U) pode ser determinada da seguinte forma:
Considere as solu�c~oes de Ux = 0: Ent~ao E
1
�e obtido tomando x
4
= 1
e x
2
= 0 e E
2
tomando-se x
4
= 0 e x
2
= 1. Assim E
1
= (1; 0;�1; 1) e
E
2
= (�3; 1; 0; 0).
(b) Sabemos que PA = LU . Logo A = P
�1
LU . Logo Ax = 0 se e somente
se Ux = 0: Logo N(A) = N(U).
Problema 5.7:
21
(a) Dimens~ao �e 3. Base: v
1
= (�2; 1; 0; 0; 0), v
2
= (5; 0;�2; 1; 0), v
3
=
(�7; 0; 2; 0; 1)
(b) Dimens~ao �e 2. Base v
1
= (�2; 1; 0; 0) v
2
= (�5; 0;�1; 2)
(c) Dimens~ao 0, i.e., o espa�co �e o espa�co vetorial trivial f(0; 0; 0)g.
Problema 5.8: Demonstrado em sala de aula. Para maiores detalhes
consulte livro de Strang, cap��tulo 2.
22