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Aplicação: Método de Newton-Raphson Utilize o Método de Newton para encontrar uma aproximação da solução positiva da equação abaixo com uma precisão . Justifique a sua escolha para a aproximação inicial e a convergência do método. Comentário: Justificar significa que a convergência deve ser garantida a priori. Não basta apenas isolar a raiz, fazer as iteradas até que convirja. Neste caso, para a função devemos verificar todas as hipóteses do teorema que garante a convergência a priori da seqüência gerada pela de Newton Solução: Achar um tal que , é equivalente a encontrar um tal que , com Para calcular tal , vamos usar o Método de Newton. Passo1: isolar a raiz Uma forma de determinar um intervalo que contém a raiz pode ser através de um esboço dos gráficos de cada uma das funções. Em azul a exponencial e em vermelho o polinômio de grau 3. Logo escolheremos o intevalo [0,1]. comentário: este método gráfico pode não ser Página 1 de 3Aplicação: Método de Newton-Raphson 28/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\exercicios\zeros_exe_gab_Newton.htm conveniente quando não temos idéia dos gráficos das funções ou mesmo quando elas possuem várias raízes, que podem não ficar claramente definidas por um esboço grosseiro. Passo2: determinar Logo, comentário: nesta parte basta construir função que gera as iteradas de Newton. Passo3: verificação das hipóteses do teorema Vamos conferir que a satisfaz as condições para a convergência do Método de Newton. Para . Temos que � , e portanto . � . � não troca de sinal em . Então a sequência obtida ao aplicar o Método de Newton a converge para a única raiz . comentário: primeiro são verificadas as hipóteses. Caso seja necessário, o intervalo I pode ser diminuído para um subintervalo onde as hipóteses estejam satisfeitas. Lembre que ao isolarmos a raiz, fizemos de modo grosseiro. Escolhendo e fazendo 3 iterações para determinar o comportamento da sequência, temos Página 2 de 3Aplicação: Método de Newton-Raphson 28/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\exercicios\zeros_exe_gab_Newton.htm Observamos que a sequência é decrescente, logo a escolha do valor inicial é correta. comentário: ao fazer as três primeiras iterações, estamos identificando se a seqüência é oscilante ou monótona crescente ou decrescente. 1) No caso dela ser oscilante: a raiz fica confinada entre duas iteradas consecutivas, le o valor aproximado é definido por (xn+1+ xn)/2 e o erro por | xn+1- xn| /2; 2) No caso de seqüências crescentes ou decrescentes temos que usar a aceleração do processo, ou seja somar (subtrair) antes de calcular a próxima iterada 2 se ela for crescente (decrescente). Calculamos agora a solução aproximada, com uma precisão pre-fixada de , Logo, . n 0 1.00000 0.592659 1 0.592659 0.415889 2 0.415889 0.386772 3 0.386772 n 0 1.00000 0.980000 0.581698 Sim 1 0.581698 0.561698 0.408006 Sim 2 0.408006 0.388006 0.386096 Sim 3 0.386096 0.366096 0.386409 Não Página 3 de 3Aplicação: Método de Newton-Raphson 28/8/2009file://F:\DISCIPLINAS\CALC_NUM\exercicios\zeros_exe_gab_Newton.htm
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